2.4 Niet natuurlijke exponenten >

Hoofdstukken > Verbanden

In deze paragraaf spreken we af wat we onder $a^{x}$ (met $a > 0$ ) zullen verstaan als $x$ niet natuurlijk is, dus niet $0, 1, 2, \dots$ .
We doen dat zó, dat de rekenregels die we in de vorige paragraaf gezien hebben, ook nu weer gelden.

Gebroken exponenten

We gaan weer verder met de bacteriekolonie die zich elk uur verdubbelt. De deling van de bacteriën vindt natuurlijk niet precies op de hele uren plaats. De ene bacterie zal zich eerder delen dan de andere. We mogen wel aannemen dat het delingsproces goed gespreid is in de tijd. We willen nu weten hoeveel keer zo groot het aantal bacteriën per half uur wordt.

Anneke denkt dat het aantal bacteriën elk half uur $1 \frac{1}{2}$ keer zo groot wordt.

Laat zien dat dat niet strookt met het gegeven dat het aantal bacteriën per uur twee keer zo groot wordt.

Anneke doet een nieuwe poging: het aantal bacteriën wordt elk half uur $1,4$ keer zo groot.

Laat zien dat ook dat niet klopt.

Hoeveel keer zo groot wordt het aantal bacteriën per half uur?

Zoek dat getal in drie decimalen nauwkeurig.

Het gezochte getal uit de vorige vraag noemen we de groeifactor per half uur.
Noemen we deze groeifactor $x$ , dan is de groeifactor per uur $x \cdot x = x^{2}$
Dus: $x = \sqrt{2} \approx 1,4142...$

Zoek de groeifactor per $20$ minuten (dat is $\frac{1}{3}$ uur).

Betekenis van $2^{\frac{1}{3}}$
Een bacteriekolonie wordt elk uur

2

keer zo groot.
Dan wordt de kolonie elke

20

minuten

2^{\frac{1}{3}}

keer zo groot.
(

20

minuten is

\frac{1}{3}

uur.)

Betekenis van $2^{\frac{4}{5}}$
Een bacteriekolonie wordt elk uur

2

keer zo groot.
Dan wordt de kolonie elke

48

minuten

2^{\frac{4}{5}}

keer zo groot.
(

48

minuten is

\frac{4}{5}

uur.)

Zeg precies wat de betekenis is van $6^{\frac{2}{3}}$ in termen van de groei van een bacteriekolonie.
Teken op de GR de grafiek van $y = 6^{x}$ .
Lees uit de grafiek af hoe groot $6^{\frac{2}{3}}$ ongeveer is.
Bereken met de rekenmachine de derde macht van dat getal.
Leg uit dat ${(6^{\frac{2}{3}})}^{3} = 36$ .

Dezelfde opdracht voor $6^{1 \frac{1}{3}}$ .
Hoe groot is ${(6^{1 \frac{1}{3}})}^{3}$ (zonder rekenmachine)?

Het kwadraat van $x^{\frac{1}{2}}$ is $x$ , dus $x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x}$ ;
De derde macht van $x^{\frac{1}{3}}$ is $x$ , dus $x^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{x}$ ;
De vierde macht van $x^{\frac{1}{4}}$ is $x$ , dus $x^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{x}$ .

De $n$ -de macht van $x^{\frac{1}{n}}$ is $x$ , dus $x^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{x}$ , $n = 2, 3, 4, \dots$ .

In de vorige opgave heb je ook gezien: $6^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{6^{2}}$ en $6^{\frac{4}{3}} = \sqrt[3]{6^{4}}$ .
Verder zou volgens rekenregel 1 voor machten moeten gelden:
$\sqrt[3]{6} \cdot \sqrt[3]{6} = 6^{\frac{1}{3}} \cdot 6^{\frac{1}{3}} = 6^{\frac{2}{3}}$ enzovoort.
We maken dus de volgende afspraak.

Afspraak
Voor alle positieve getallen $a$ , $p$ en $q$ met $p$ en $q$ geheel geldt:
$a^{\frac{p}{q}} = \sqrt[q]{a^{p}} = {\sqrt[q]{a}}^{p}$ .

Voorbeeld:

Soms komt een macht met een gebroken exponent mooi uit, bijvoorbeeld: $27^{\frac{1}{3}}$ . De derde macht van dit getal is $27$ . Dus moet dat getal wel $3$ zijn!
We kennen nu ook $27^{\frac{2}{3}}$ , als volgt:
$27^{\frac{2}{3}} = {(27^{\frac{1}{3}})}^{2} = 3^{2} = 9$ .

Bereken op deze manier ook zonder rekenmachine de volgende machten. Je kunt natuurlijk wel je rekenmachine gebruiken om je antwoord te controleren.

$1000^{\frac{1}{3}}$ , $1000^{\frac{2}{3}}$ , $16^{\frac{1}{4}}$ , $16^{\frac{3}{4}}$ , $49^{\frac{1}{2}}$ , $49^{1 \frac{1}{2}}$

Rekenen met gebroken exponenten

Bereken zonder rekenapparaat:
$64^{\frac{1}{2}}$ , $64^{\frac{1}{3}}$ , $64^{\frac{1}{6}}$ , $64^{\frac{5}{6}}$ .
Leg uit hoe je hieraan komt.

Test zonder rekenmachine of de regels 1, 2, 3 en 4 ook voor gebroken exponenten gelden in de volgende gevallen:

$64^{\frac{1}{2}} \cdot 64^{\frac{1}{3}} = 64^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}$
$64^{\frac{1}{2}} : 64^{\frac{1}{3}} = 64^{\frac{1}{2} ‐ \frac{1}{3}}$
${(64^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{3}} = 64^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}}$
$64^{\frac{1}{3}} \cdot 1000^{\frac{1}{3}} = {(64 \cdot 1000)}^{\frac{1}{3}}$

In het vervolg gaan we ervan uit dat de rekenregels ook voor machten met gebroken exponenten gelden.

Voorbeeld:

In het volgende gebruiken we de rekenregels voor machten met gebroken exponent.
${(a^{\frac{1}{3}})}^{7} = a^{\frac{7}{3}}$ (Regel 3)
$a \cdot a^{\frac{1}{2}} = a^{1 \frac{1}{2}}$ (Regel 1)
Dus: $\frac{{(a^{\frac{1}{3}})}^{7}}{a \cdot a^{\frac{1}{2}}} = a^{\frac{7}{3} ‐ 1 \frac{1}{2}} = a^{\frac{5}{6}}$ (Regel 2 en het voorgaande)

Vereenvoudig als in het voorbeeld.

$\frac{{(a^{4})}^{\frac{1}{2}}}{{(a^{\frac{1}{4}})}^{5}}$	$\frac{b^{3} \cdot b^{\frac{1}{3}}}{{(b^{\frac{1}{2}})}^{6}}$
$\frac{{(c^{12})}^{\frac{2}{3}}}{c^{\frac{1}{2}} \cdot c^{\frac{1}{3}} \cdot c^{\frac{1}{6}}}$	$\frac{{(d^{\frac{4}{3}})}^{\frac{3}{2}}}{{(d^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}}$

Voorbeeld:

$\sqrt[3]{x^{4}} = {(x^{4})}^{\frac{1}{3}} = x^{\frac{4}{3}}$

Schrijf zo ook zonder worteltekens:

$\sqrt{a^{3}}$

$\sqrt[3]{b^{2}}$

$\sqrt{\sqrt{c}}$

$\sqrt[3]{\sqrt{d^{5}}}$

Leg uit dat voor elke $x > 0$ geldt: $x^{1 \frac{1}{2}} = x \sqrt{x}$ .

Teken op de GR in één window met $0 < x \leq 2$ de grafieken van $y = x$ , $y = x^{1 \frac{1}{2}}$ en $y = x^{2}$ .

Schrijf zonder worteltekens:

$x^{2} \sqrt{x}$	$x \sqrt[3]{x}$	$\frac{x}{\sqrt[3]{x}}$
$\frac{x^{2}}{x \sqrt[4]{x}}$

Negatieve exponenten

We bekijken nog eens de bacteriekolonie die zich elk uur verdubbelt. Op een gegeven ogenblik is er een aantal bacteriën. Drie uur daarvoor waren er minder bacteriën.

Hoeveel keer zoveel?

In overeenstemming hiermee spreken we af dat $2^{-3} = \frac{1}{8}$ .

Als je dan $3$ uur teruggaat in de tijd, wordt de kolonie $2^{-3}$ keer zo groot.

Zeg precies wat de betekenis is van $6^{-1,5}$ in termen van de groei van een bacteriekolonie.

Leg aan de hand van de groei van een bacteriekolonie uit dat $6^{-1,5} \cdot 6^{-2,3} = 6^{-3,8}$ .

We spreken af: $a^{- p} = \frac{1}{a^{p}}$ , voor $a > 0$ en $p > 0$ .
In woorden: $a^{- p}$ en $a^{p}$ zijn elkaars omgekeerde.

Als rekenregel 1 ook geldt voor negatieve exponenten, dan moet gelden: $a^{- p} \cdot a^{p} = a^{0}$ .
Ga na dat dat inderdaad het geval is.

Als rekenregel 2 ook geldt voor negatieve exponenten, dan moet gelden: $a^{p} : a^{- p} = a^{2 p}$ .
Ga na dat dat inderdaad het geval is.

Door de afspraken die we gemaakt hebben over $a^{x}$ (met $a > 0$ ) als $x$ niet natuurlijk is, gelden de volgende rekenregels ook als de exponent niet natuurlijk is.

Rekenregels voor machten

$a^{x} \cdot a^{y} = a^{x + y}$
$a^{x} : a^{y} = a^{x - y}$
${(a^{x})}^{y} = a^{x \cdot y}$
${(a \cdot b)}^{x} = a^{x} \cdot b^{x}$

Deze regels gelden voor alle positieve getallen

a

b

, en willekeurige getallen

x

y

Laat met behulp van regel 3 zien dat: ${(\frac{1}{a})}^{p} = a^{- p}$ , ( $a > 0$ ).

Voorbeeld:

$4^{-2} = \frac{1}{4^{2}} = \frac{1}{16}$
$8^{‐ \frac{2}{3}} = {(2^{3})}^{‐ \frac{2}{3}} = 2^{3 \cdot ‐ \frac{2}{3}} = 2^{‐ 2} = \frac{1}{2^{2}} = \frac{1}{4}$

Bereken zonder rekenmachine, gebruik de rekenregels.
(Werk van links naar rechts.)

$4^{‐ \frac{1}{2}}$	$4^{‐ 1 \frac{1}{2}}$
${(\frac{1}{9})}^{‐ \frac{1}{2}}$	${(\frac{1}{9})}^{‐ 1 \frac{1}{2}}$
${0,001}^{‐ \frac{2}{3}}$	${0,001}^{‐ 1 \frac{2}{3}}$
${(2 \frac{1}{2})}^{‐ 1}$	${({(\frac{1}{2})}^{4})}^{‐ \frac{1}{2}}$

Schrijf als macht van $x$ , dus in de vorm: $x^{...}$ .

$\frac{{(x^{2})}^{3}}{x^{‐ 1}}$

${(x \sqrt{x} \sqrt[3]{x})}^{6}$

Schrijf de volgende vormen zonder haakjes, zo eenvoudig mogelijk.

${(2 x)}^{3} \cdot 2 x^{3}$

${(2 x)}^{‐ 2} \cdot 2 x^{3}$

Je kunt nog meer oefenen met mini-loco - Rekenregels voor machten .

Er draaien acht planeten om de zon. Onze aarde doet $1$ jaar over één omloop. Mercurius en Venus doen korter over een rondje, de andere planeten doen er langer over. Algemeen: hoe verder een planeet van de zon staat, des te langer is zijn omlooptijd. Aan de astronoom Johannes Kepler (1571-1630) danken we de volgende formule:
$T = 0,2 R^{1 \frac{1}{2}}$ . Hierin is $R$ de afstand tot de zon in miljoenen km en is $T$ de omlooptijd in dagen.

De aarde is (gemiddeld) $149,5$ miljoen km van de zon verwijderd.
Bereken hiermee de omlooptijd. Klopt het redelijk?

Saturnus is veel verder van de zon verwijderd dan de aarde: $1427$ miljoen km.
Bereken de omlooptijd van Saturnus in jaren.

We bekijken het verband $y = x^{3}$ .
Bij invoer $3$ is de uitvoer $27$ .

Als je de invoer $2$ keer zo groot maakt, hoeveel keer zo groot wordt dan de uitvoer?

Neem een willekeurige invoer.

Laat zien dat de uitvoer bij verdubbeling van de invoer $8$ keer zo groot wordt.

Een auto rijdt met een snelheid van $v$ km/u. Als de auto plotseling uit alle macht moet remmen (men spreekt dan van een noodstop), legt hij nog een aantal meters af voordat hij stil staat. Dat aantal meters is de remweg $r$ .
Volgens een vuistregel geldt: $r = 0,0075 v^{2}$ .

Bij een snelheid van $20$ km/u is de remweg $3$ meter.

Hoeveel keer zo lang is de remweg als de snelheid $2$ keer zo hoog is?

De snelheid is $32$ km/u.

Hoeveel keer zo lang wordt de remweg nu als de snelheid $2$ keer zo hoog wordt?

Bereken met welke snelheid de auto reed, als zijn remweg bij een noodstop $170$ meter bedraagt.

We gaan verder met de vorige opgave.

Laat met een berekening zien dat algemeen geldt: de remweg wordt $4$ keer zo lang bij een snelheid die $2$ keer zo groot is.

(hint)

Vergelijk

r

als je

v

invult met

r

als je

2 v

invult.

Het warmteverlies van een dier hangt af van zijn huidoppervlakte: via een grotere huid gaat meer warmte verloren dan via een kleinere huid. De warmteproductie hangt af van zijn volume: een groot dier produceert meer warmte dan een klein dier. Biologen vergelijken daarom de huidoppervlakte $H$ (in $m^{2}$ ) met het lichaamsgewicht $G$ (in kg).
Het verband tussen $H$ en $G$ wordt gegeven door de formule $H = c \cdot G^{\frac{2}{3}}$ . De constante $c$ hangt af van de vorm van het dier en is dus per diersoort verschillend. Een paar voorbeelden:
$c_{koe} = 0,09$ , $c_{aap} = 0,12$ , $c_{egel} = 0,075$ , en $c_{muis} = 0,09$ .
Voor een koe en een muis geldt dus: $H = 0,09 \cdot G^{\frac{2}{3}}$ . Een koe weegt gemiddeld $500$ kg, een muis $0,05$ kg.

Bereken de huidoppervlakte van een koe en van een muis.

Hoe verhouden zich de lichaamsgewichten van een koe en een muis?
En hoe de huidoppervlakten?

We gaan verder met de vorige opgave.

Stel dat van een diersoort twee formaten voorkomen. De formaten hebben dezelfde vorm, dus ook dezelfde constante $c$ . Het grote formaat is $8$ keer zo zwaar als het kleine formaat.

Bereken algebraïsch hoe zich dan de huidoppervlakten van de twee formaten verhouden.

(hint)

Stel dat het gewicht van het kleine formaat

g

is. Dan is het gewicht van het grote formaat

8 \cdot g

.
Wat zijn dan de huidoppervlaktes van beide formaten (uitgedrukt in

g

)? Laat zien dat de huidoppervlakte van het grote formaat

4

keer zo groot is als van het kleine formaat.

Dezelfde vraag als in het vorige onderdeel maar nu is het grote formaat $7$ keer zo zwaar als het kleine.

Grotere dieren kunnen gemakkelijker extreme kou verdragen dan kleine dieren.

Kun je dat gezien de formule verklaren?