2.5 Machtsverbanden >

Hoofdstukken > Verbanden

Biologen proberen verbanden in de natuur vast te leggen in formules. Veel van die verbanden zijn machtsverbanden. Een voorbeeld hiervan vind je in de laatste opgaven van de vorige paragraaf, opgave 49 en opgave 50.

Toenemend en afnemend stijgend

Als $y$ evenredig is met een macht van $x$ , noemen we het verband van $y$ en $x$ een machtsverband.
Dus een machtsfunctie is een verband van de vorm $y = c \cdot x^{α}$ , voor zekere getallen $c$ en $α$ .

Voorbeeld:

Hoe groter een zoogdier, hoe groter zijn hersenen. Er is een verband tussen het hersengewicht $H$ en lichaamsgewicht $G$ van een dier (beide in gram).
Het verband blijkt een machtsverband. De grafiek ziet er ongeveer uit als in het eerste plaatje.
Hier is sprake van afnemende stijging.

Hoe zwaarder een zoogdier, hoe zwaarder zijn skelet. Het verband tussen het skeletgewicht $S$ en $G$ ziet er ongeveer uit als in het tweede plaatje.
Hier is sprake van toenemende stijging.

In deze paragraaf bekijken we verbanden van de vorm:
$y = c \cdot x^{α}$ . Hierbij hoeft het getal $α$ niet geheel te zijn. Voor niet gehele exponenten $α$ zijn de verbanden alleen gedefinieerd voor positieve getallen $x$ . We zullen in deze paragraaf als invoer steeds positieve waarden nemen. Verder nemen we de constanten $α$ en $c$ steeds positief.

Teken op je GR de grafieken van $y = x^{α}$ voor $α = \frac{1}{2}$ , $\frac{1}{3}$ , $\frac{2}{3}$ en ook voor $α = 1 \frac{1}{2}$ , $2$ en $3$ .

Alle machtsfuncties $y = x^{α}$ met $α > 0$ zijn stijgend (als $x > 0$ ).

Onderzoek op de GR of de grafiek van $y = x^{1,6}$ onder of boven de grafiek van $y = x^{1,7}$ ligt.

Onderzoek op de GR of de grafiek van $y = x^{0,6}$ onder of boven de grafiek van $y = x^{0,7}$ ligt.

Voor welke waarden van $α$ heeft de functie $y = x^{α}$ toenemende stijging en voor welke $α$ afnemende stijging?

In de voorbeelden hierboven zijn er getallen $a$ en $b$ zó, dat $H \sim G^{a}$ en $S \sim G^{b}$ .
Kun je iets zeggen over de getallen $a$ en $b$ ?

Voor kleine dieren geldt: $H = 0,12 G^{0,67}$ , met $H$ het hersengewicht en $G$ het lichaamsgewicht in gram.

Een muis heeft een gewicht van ongeveer $120$ gram.
Wat kunnen we aan hersengewicht van die muis verwachten? Geef je antwoord in twee decimalen.

Het verband tussen het skeletgewicht $S$ en het lichaamsgewicht $G$ beide in gram wordt gegeven door de formule $S = 0,06 G^{1,1}$ .

Een hert weegt ongeveer $150$ kg.
Hoeveel kg vlees (inclusief orgaanvlees) heeft het hert naar verwachting op zijn botten?

In het plaatje en op het werkblad staan de machtsfuncties voor $α = 1$ , $α = 2$ , $α = 3$ , $α = 4$ en $α = 5$ .

Wat zijn de twee gemeenschappelijke punten van de grafieken van machtsfuncties?
Kun je dat met behulp van de formule $y = x^{α}$ verklaren?

Kleur op het werkblad de grafiek van $y = x^{2}$ rood en de grafiek van $y = x^{4}$ groen.

Kun je uitleggen waarom de grafiek van $y = x^{4}$ onder die van $y = x^{2}$ ligt als $0 < x < 1$ ?

In het plaatje staat de grafiek van een machtsfunctie $y = x^{α}$ .

Zoek uit hoe groot $α$ ongeveer is. Beschrijf je werkwijze.

Terugrekenen

Er is een skelet van een mammoet gevonden. Het skelet weegt ongeveer $2000$ kg. Om het gewicht van de mammoet te berekenen, moet je 'terugrekenen' met de formule
$S = 0,06 G^{1,1}$ . Hoe dat gaat, bekijken we nu.

Bekijk het verband $y = x^{2}$ met $x > 0$ .

Vul de tabel in zonder GR.

$x$	$7$	$10$
$y$			$7$	$a$

Conclusie: als $x^{2} = a$ , dan $x = \sqrt{a}$ ofwel $x = a^{\frac{1}{2}}$ .

Bekijk het verband $y = x^{\frac{2}{3}}$ .
Je kunt dit verband beschrijven met de ketting

Leg dit uit.

Vul de tabel in zonder GR.

$x$	$1000$	$10$	${\sqrt{64}}^{3} = 512$
$y$			$64$	$a$

Schrijf ${\sqrt{a}}^{3}$ zonder wortel als macht van $a$ .

Gegeven is de vergelijking $x^{\frac{2}{3}} = a$ . Blijkbaar is $x = a^{\frac{3}{2}}$ oplossing van de vergelijking.

Laat dat door invullen zien.

Bereken met de rekenmachine $5^{3 \frac{1}{2}}$ .
Neem vervolgens de uitkomst tot de macht $\frac{2}{7}$ .
Een mooie uitkomst! Dit kan ook zonder rekenmachine.
Laat dat met de rekenregels voor machten zien.

Waarom is $5^{3 \frac{1}{2}}$ oplossing van de vergelijking $x^{\frac{2}{7}} = 5$ ?

Gegeven is de vergelijking $x^{α} = a$ , met $x$ en $a$ positief.

Laat zien dat $x = a^{\frac{1}{α}}$ , oplossing van de vergelijking is.

Waarom heeft de vergelijking $x^{α} = a$ maar één oplossing?

Als $x^{α} = a$ , met $x$ en $a$ positief, dan $x = a^{\frac{1}{α}}$ , voor alle $α \neq 0$ .

Voorbeeld:

Voor welke $x$ geldt: $0,1 x^{0,2} = 0,3$ ?

Oplossing

$0,1 x^{0,2}$	$=$	$0,3$	Deel door $0,1$
$x^{0,2}$	$=$	$3$	Als $x^{α} = a$ , dan $x = a^{\frac{1}{α}}$
$x$	$=$	$3^{\frac{1}{0,2}} = 3^{5} = 243$

Hoe groter een dier, hoe meer hersenen hij heeft. Voor een volwassen dier geldt: $H = 0,008 \cdot G^{0,767}$ , met $H$ het hersengewicht en $G$ het lichaamsgewicht in kg.

Een volwassen mens heeft een hersengewicht van (ongeveer) $1375$ gram.

Wat is het lichaamsgewicht van een dier met een dergelijk hersengewicht? Geef je antwoord in kg nauwkeurig.

In het voorgaande hadden we het volgende verband tussen het gewicht $G$ en het skeletgewicht $S$ van een zoogdier:
$S = 0,06 \cdot G^{1,1}$ , beide in grammen.

Bereken het gewicht van een mammoet met een skeletgewicht van $2000$ kg.

Voorbeeld:

Bereken langs algebraïsche weg in drie decimalen het positieve getal $x$ waarvoor $10 x = \sqrt[3]{x}$ .

Oplossing

$10 x$	$=$	$\sqrt[3]{x}$	$\sqrt[3]{\dots} = {(\dots)}^{\frac{1}{3}}$
$10 x$	$=$	$x^{\frac{1}{3}}$	Delen door $x^{\frac{1}{3}}$
$10 x^{\frac{2}{3}}$	$=$	$1$	Delen door $10$
$x^{\frac{2}{3}}$	$=$	$0,1$	Als $x^{α} = a$ , dan $x = a^{\frac{1}{α}}$
$x$	$=$	${0,1}^{\frac{3}{2}}$

Dus $x = 0,032$ .

Bereken langs algebraïsche weg in drie decimalen het positieve getal $x$ waarvoor geldt:

$2 x^{0,3} = 5$

$x^{2} \sqrt{x} = 10$

$\sqrt[4]{x^{3}} = 10$

$\sqrt{x} = 10 \sqrt[3]{x}$

We bekijken een formule waarin het huidoppervlak $H$ van een mens is uitgedrukt in zijn lichaamsgewicht $G$ en zijn lengte $L$ :
$H = 0,007 \cdot G^{0,425} \cdot L^{0,725}$ met $H$ in $m^{2}$ , $G$ in kg en $L$ in cm.
Iemand heeft een huidoppervlakte van $2 m^{2}$ .

Hoe lang is die persoon als hij $80$ kg weegt (bereken het antwoord langs algebraïsche weg in cm nauwkeurig)?

Hoe zwaar is die persoon als hij $1,75$ meter lang is (bereken het antwoord langs algebraïsche weg in één decimaal)?

Voorbeeld:

Gegeven is het verband $y = 0,3 x^{2,2}$ . Druk $x$ uit in $y$ .
Schrijf het resultaat in de vorm $x = a \cdot y^{b}$ , met $a$ en $b$ in twee decimalen.

Oplossing

$y$	$=$	$0,3 x^{2,2}$	Deel door $0,3$
$x^{2,2}$	$=$	$\frac{y}{0,3} = \frac{1}{0,3} y$	Als $y = x^{α}$ , dan $x = y^{\frac{1}{α}}$
$x$	$=$	${(\frac{1}{0,3} y)}^{\frac{1}{2,2}}$	Rekenregel 3 toepassen: ${(p \cdot q)}^{r} = p^{r} \cdot q^{r}$
$x$	$=$	${(\frac{1}{0,3})}^{\frac{1}{2,2}} \cdot y^{\frac{1}{2,2}} \approx 1,73 \cdot y^{0,45}$

Druk $x$ uit in $y$ .
Schrijf het resultaat in de vorm $x = a \cdot y^{b}$ , met $a$ en $b$ in twee decimalen nauwkeurig.

$y = 6,2 x^{1,2}$

$y = 0,21 x^{0,7}$

Druk $x$ uit in $y$ .
Geef een exact antwoord zonder gebroken exponenten, gebruik zonodig een wortel.

$y = 4 x^{2}$

$y = \frac{1}{2} \sqrt[3]{x}$

Hoe groter de vogelsoort, hoe groter de eieren. Na een onderzoek van $800$ vogelsoorten kwam de ornitholoog Rahn tot een formule die het verband legt tussen het gewicht van een ei en het gewicht van de moedervogel: $E = 0,3 \cdot G^{\frac{3}{4}}$ . Hierin is $E$ het eigewicht en $G$ het lichaamsgewicht, beide in grammen.

Een grauwe gans weegt $2,5$ kilogram.

Hoe zwaar zijn de eieren van de grauwe gans volgens de formule? Geef je antwoord in gram nauwkeurig.

Van de prehistorische vogel Aepoyornis die op Madagascar leefde heeft men een fossiel ei gevonden. Men schat dat het ei $10$ kg heeft gewogen.

Hoe zwaar moet de Aepoyomis volgens de formule geweest zijn? Geef je antwoord in kg nauwkeurig.

Geef een formule voor $G$ , uitgedrukt in $E$ . Schrijf de formule in de vorm: $G = a \cdot E^{b}$ , met $a$ en $b$ in twee decimalen.

We kijken nog even naar de formule $E = 0,3 \cdot G^{\frac{3}{4}}$ in de vorige opgave.

Is $E$ evenredig met $G$ ?

$E^{4}$ is evenredig met $G^{3}$ .

Wat is de evenredigheidsconstante?

Zoals we gezien hebben wordt het verband bij zoogdieren tussen het skeletgewicht $S$ en het lichaamsgewicht $G$ in gram gegeven door de formule $S = 0,06 G^{1,1}$ .
Voor grotere dieren zou je liever een formule hebben met het verband tussen skeletgewicht en het lichaamsgewicht in kg. Noem het skeletgewicht in kg $s$ en het lichaamsgewicht in kg $g$ .

Wat is het verband tussen $S$ en $s$ (en tussen $G$ en $g$ )?

Laat zien dat uit de formule $S = 0,06 G^{1,1}$ volgt dat
$s = 0,12 g^{1,1}$ .

(hint)

Voor $S = 1000 s$ en voor $G = 1000 g$ invullen in $S = 0,06 G^{1,1}$ geeft ...

De opgewekte energie van een windmolen is evenredig met de derde macht van de windsnelheid. Als het "halve" kracht waait, is de energie-opbrengst nog geen 13% van de opbrengst bij "volle" kracht.

Toon dit aan.

(hint)

$P = c \cdot w^{3}$ , waarbij $c$ de evenredigheidsconstante is, $P$ de opgewekte energie en $w$ de windsnelheid. Neem aan $v$ de volle kracht van de windsnelheid.
De energieopbrengst is dan $P = c \cdot v^{3}$ .
Als $w = \frac{1}{2} v$ , dan $P = \dots$