2.6 In stappen berekenen >

Hoofdstukken > Verbanden

Een Hyundai i20 rijdt $1$ op $20$ . Eurobenzine kost $1,70$ per liter (prijzen van 2013). Als je weet hoeveel km ( $R$ ) een reis lang is, kun je berekenen hoeveel liter ( $B$ ) benzine die reis kost. Vervolgens kun de benzinekosten $K$ (in euro) van de reis berekenen. Er zijn twee stappen: $R \to B$ en $B \to K$ en daarmee vind je $R \to K$ .

Geef een formule voor $B$ , uitgedrukt in $R$ .

Geef een formule voor $K$ , uitgedrukt in $B$ .

Geef een formule voor $K$ , uitgedrukt in $R$ .

Neem aan: er is een verband tussen de variabelen $A$ en $B$ en een verband tussen de variabelen $B$ en $C$ . Dan is er een verband tussen $A$ en $C$ .
In het volgende zoeken we een formule voor dat laatste verband als we formules van de eerste twee verbanden hebben. In de voorgaande opgave heb je hier een voorbeeld van gezien.

Van een kubus noemen we de ribbe $r$ (in cm), de totale oppervlakte (dus van zes grensvlakken) $A$ (van het Engelse 'Area', in ${cm}^{2}$ ) en de inhoud $V$ (in ${cm}^{3}$ ).

Druk $A$ en $V$ uit in $r$ .

Bereken $r$ en vervolgens $A$ exact als $V = 5$ en daarna in twee decimalen.

Als je $V$ weet, kun je $r$ uitrekenen, en met $r$ kun je dan $A$ uitrekenen: $V \to r \to A$

Laat zien dat $A = 6 \cdot V^{\frac{2}{3}}$ .

Omgekeerd: als je $A$ kent, kun je via $r$ de waarde van $V$ uitrekenen, volgens de ketting: $A \to r \to V$ .

Bereken $r$ en vervolgens $V$ exact als $A = 5$ en daarna in twee decimalen.

Geef een formule voor $V$ in de vorm: $V = a \cdot A^{b}$ , met $a$ en $b$ in twee decimalen.

Bekijk nog eens de formules $H = 0,12 G^{0,67}$ en $S = 0,06 G^{1,1}$ , met $H$ het hersengewicht, $G$ het lichaamsgewicht en $S$ het skeletgewicht van een zoogdier (in gram).
Als je het skeletgewicht kent, kun je daaruit het lichaamsgewicht 'terugrekenen' en daaruit het hersengewicht: $S \to G \to H$ .

Bereken het hersengewicht van een zoogdier met skeletgewicht $100$ gram.

Herschrijf de formule $S = 0,06 G^{1,1}$ tot een formule van de vorm $G = a \cdot S^{b}$ . Rond de constanten $a$ en $b$ af op twee decimalen.

Vul nu in de formule $H = 0,12 G^{0,67}$ voor $G$ in, wat je in het vorige onderdeel gevonden hebt.
Herleid dit tot een formule van de vorm: $H = p \cdot S^{q}$ . Rond de constanten $p$ en $q$ af op twee decimalen.

Al eerder heb je de formule ontmoet die het verband legt tussen het gewicht van een ei en het gewicht van de moedervogel: $E = 0,3 \cdot G^{\frac{3}{4}}$ . Hierin is $E$ het eigewicht en $G$ het lichaamsgewicht, beide in grammen.
Het aantal dagen dat nodig is om een ei uit te broeden hangt ook van de vogelsoort af: $T = 9,1 \cdot G^{\frac{1}{6}}$ . Hierin is $T$ de broedtijd in dagen.

Een kolibri heeft $11$ dagen nodig om zijn eitjes uit te broeden. Hoe zwaar (of beter hoe licht) is een kolibri volgens deze formule?

Laat zien dat $G \approx 5 \cdot E^{\frac{4}{3}}$ .

Het ei van de prehistorische vogel Aepyornis woog $10$ kg.

Bereken de tijd (in hele dagen) die de Aepyornis volgens de formules nodig had voor het uitbroeden van zijn monsterei.

We kunnen de formules schakelen: $E \to G \to T$ .
Stel een formule op waarin $T$ wordt uitgedrukt in $E$ .

We bekijken drie functies: $y = x^{2}$ , $z = y + 7$ , $u = \sqrt{z}$ .

Bereken $u$ als $x = 3$ .

Geef een rechtstreekse formule voor $u$ , uitgedrukt in $x$ .

We laten $x$ alle mogelijke waarden aannemen.
Welke waarden kan $y$ dan aannemen? En $z$ ? En $u$ ?

Lloyd’s is een organisatie die zich bezighoudt met het opstellen van regels voor de controle op de zeewaardigheid van schepen. Volgens deze regels moet de diameter $D$ van de schroefas voldoen aan de volgende formule: $D = 79,78 \sqrt[3]{\frac{P}{R}}$ .
In deze formule is $D$ uitgedrukt in mm, het vermogen $P$ uitgedrukt in pk en het toerental $R$ in tpm (toeren per minuut).
Soms is de asdiameter bekend, bijvoorbeeld wanneer alleen de motor moet worden vervangen. Dan is het handig om de formule anders te schrijven.
We gaan uit van een asdiameter van $30$ mm.

Herschrijf de formule hierboven zo dat je een formule krijgt waarin $P$ uitgedrukt wordt in $R$ .

Voor de variabelen $a$ , $b$ en $c$ geldt: $3 a b = c$ en $\frac{a^{2}}{c} = \frac{b}{2}$ .
Door in de tweede formule $c$ te vervangen door $3 a b$ , krijg je een verband met alleen de variabelen $a$ en $b$ .

Druk $a$ uit in $b$ .

Druk $c$ uit in $b$ .

Als je van een viervoeter de dikte en het lichaamsgewicht kent, is zijn lengte ook min of meer bepaald. Hij kan niet langer dan een zekere waarde zijn, vanwege het “doorzakeffect”. De dikte noemen we $D$ (in cm), het lichaamsgewicht $G$ (in gram) en de maximale lengte $L$ (in cm). Iemand heeft de volgende formules opgesteld: $G \cdot L^{2} = 680 \cdot D^{4}$ en $L \cdot D^{2} = G$ .

Druk met behulp van de eerste formule $G$ uit in $L$ en $D$ .

Vul de uitdrukking die je in het vorige onderdeel voor $G$ gevonden hebt in de tweede formule in. Je krijgt een formule voor het verband tussen $L$ en $D$ .

Laat zien dat die formule te herschrijven is tot $L^{3} = 680 D^{2}$ .

De formule uit het vorige onderdeel kun je schrijven in de vorm: $L = c \cdot \sqrt[3]{D^{2}}$ , voor een of andere constante $c$ .

Wat is het verband tussen $c$ en $680$ ?

Leid ook een formule af die $G$ uitdrukt in $D$ .
Schrijf de formule in de vorm: $G = a \cdot D^{b}$ , met $a$ en $b$ in twee decimalen nauwkeurig.

(hint)

Gebruik de formules

G = L D^{2}

L = 8,79 \cdot D^{\frac{2}{3}}

Bereken $L$ en $D$ voor een Indische olifant van $4000$ kg. Geef je antwoorden in dm nauwkeurig.