1

In Angelsaksische landen wordt de temperatuur vaak gegeven in graden Fahrenheit. Wij doen dat in graden Celsius. De temperatuur in graden Fahrenheit noemen we $F$ ; in graden Celsius noemen we hem $C$ . Er geldt: $F = 1,8 C + 32$ .

a

Bereken de temperatuur in graden Celsius (in twee decimalen) als deze in graden Fahrenheit $100$ bedraagt.

b

Is $C \sim F$ ?

c

Geef een formule voor $C$ uitgedrukt in $F$ .

Anne heeft een thermometer met beide schalen. Zowel op de Celsius- als de Fahrenheitschaal staat een streepje om de graad.

d

Op welke schaal staan de streepjes het dichtst bij elkaar?

e

Neem over en vul gehele getallen in: per … streepjes op de Celsiusschaal staan … streepjes op de Fahrenheitschaal.

2

Oude klokken hebben een slinger. Die zorgt ervoor dat het uurwerk regelmatig loopt. De slingertijd van een klok is de tijd die nodig is voor één volledige slingerbeweging (bijvoorbeeld van helemaal links naar helemaal rechts en terug). Hoe langer de slinger is, hoe langzamer hij heen en weer gaat, dus hoe groter de slingertijd is. Uit proeven blijkt dat de slingertijd evenredig is met de wortel van de lengte van de slinger.
In formule: $T = c \cdot \sqrt{L}$ .
Hierbij is $T$ de slingertijd in seconden en $L$ de lengte van de slinger in cm.
We bekijken een bepaalde klok. Als de lengte van de slinger $64$ is, is de slingertijd $0,8$ .

a

Geef de formule voor de slingertijd $T$ , uitgedrukt in de lengte van de slinger $L$ .
Wat is de evenredigheidsconstante $c$ ?

b

$L \sim T^{2}$ , dus de lengte van de slinger is evenredig met het kwadraat van de slingertijd.
Laat dit zien en bepaal de bijbehorende evenredigheidsconstante bij de klok hierboven.

c

Hoeveel slingeringen maakt de klok in een uur?

3

We laten een kogel een vrije val maken, met beginsnelheid $0$ . De tijd die de kogel valt noemen we $t$ (in seconden), de valweg noemen we $s$ (in meters) en de snelheid van de kogel noemen we $v$ (in m/s). Zoals je misschien wel weet, gelden (bij benadering) de volgende formules:
$s = 5 t^{2}$ en $v = 10 t$ .

a

Bereken de snelheid op het moment dat de kogel $80$ meter gevallen is.

b

Bereken het aantal meters dat de kogel gevallen is op het moment dat de kogel met een snelheid van $15$ m/s valt.

Als je $s$ weet, kun je $v$ berekenen, en omgekeerd. In beide gevallen gaat dat in twee stappen, namelijk via $t$ :
$s \to t \to v$ en $v \to t \to s$ .

c

Welke van deze twee kettingen heb je gebruikt bij vraag a en welke bij vraag b?

d

Geef een formule voor $t$ uitgedrukt in $s$ .

e

Je kunt ook een rechtstreekse formule geven voor $s$ uitgedrukt in $v$ .
Doe dat.

4

We komen terug op de remweg van een auto (opgave 47).
Een auto rijdt met een snelheid van $v$ km/u. Als de auto plotseling uit alle macht moet remmen (men spreekt dan van een noodstop), legt hij nog een aantal meters af voordat hij stil staat. Dat aantal meters is de remweg $r$ . Volgens een vuistregel geldt dat $r \sim v^{2}$ , met evenredigheidsconstante $0,0075$ .

a

Bereken met welke snelheid de auto reed, als zijn remweg bij een noodstop $100$ meter bedraagt.

b

Geef een formule voor $v$ , uitgedrukt in $r$ . Schrijf de formule in de vorm $v = a \cdot r^{b}$ , met $a$ en $b$ in twee decimalen.

5

Een bloemenhandelaar rijdt regelmatig van Aalsmeer naar Keulen en terug. Met het inladen en het afleveren van de vracht is $2$ uur gemoeid. De totale tijd $T$ (in uren) dat de vrachtwagen voor de rit bezet is, hangt verder af van de snelheid waarmee hij rijdt. Zijn gemiddelde snelheid (tussen vertrek en aankomst) noemen we $v$ (in km/u). De retourafstand Aalsmeer-Keulen is $260$ km.

a

Geef een formule voor $T$ uitgedrukt in $v$ .

b

Geef een formule voor $v$ uitgedrukt in $T$ .

6

Op $26$ december $2004$ werd Zuidoost-Azië getroffen door een tsunami. Een tsunami is één heel lange golf die bij de kust heel hoog wordt. De tsunami had rampzalige gevolgen voor een aantal kustgebieden. Dit kwam door de enorme hoeveelheid water die door deze tsunami werd meegevoerd. Bij tsunami’s is het volgende verband gevonden tussen waterdieptes en golfhoogtes: $h_{2} = {(\frac{d_{1}}{d_{2}})}^{0,25} \cdot h_{1}$ .
Hierin is $h_{1}$ de golfhoogte bij waterdiepte $d_{1}$ en $h_{2}$ de golfhoogte bij waterdiepte $d_{2}$ ; $h_{1}$ , $d_{1}$ , $h_{2}$ en $d_{2}$ zijn in meters.
De tsunami van $26$ december $2004$ ontstond in een gebied met waterdiepte $1$ km en golfhoogte $60$ cm. Met deze gegevens en de formule kunnen we voor het verdere verloop van deze tsunami het verband tussen de waterdiepte $d$ en de golfhoogte $h$ beschrijven met de formule: $h = 3,37 d^{‐ 0,25}$ .

a

Toon dit aan.

b

Druk $d$ uit in $h$ .
Schrijf de formule in de vorm $d = ... \cdot h^{...}$ .

7

In tornado’s kunnen hoge windsnelheden bereikt worden. De zwaarte of heftigheid van een tornado wordt intensiteit genoemd. Er zijn verschillende schalen om de intensiteit van een tornado uit te drukken in een getal. Zo is er de Fujita-schaal die in 1971 is ontwikkeld. Voor de intensiteit op de Fujita-schaal geldt de volgende formule: $F = {(\frac{v}{6,3})}^{\frac{2}{3}} - 2$ . Hierin is $v$ de maximale windsnelheid in de tornado in m/s en $F$ de intensiteit van de tornado op de Fujita-schaal. $F$ wordt afgerond op een geheel getal. In een zware tornado worden maximale windsnelheden van ongeveer $280$ km/u bereikt.

a

Bereken de intensiteit van deze tornado op de Fujita-schaal.

Een tornado met intensiteit $4$ op de Fujita-schaal komt niet zo vaak voor.

b

Bereken de minimale waarde van $v$ in zo’n tornado. Rond je antwoord af op één decimaal.

8

Naast de $F$ -schaal uit de voorgaande opgave is er een andere schaal voor de intensiteit van tornado’s, de in 1972 ontwikkelde Torro-schaal $T$ . Het verband tussen $v$ en $T$ wordt gegeven door de formule: $v = 2,39 {(T + 4)}^{\frac{3}{2}}$ . Hierin is $v$ de maximale windsnelheid in de tornado in m/s en $T$ de intensiteit van de tornado op de Torro-schaal. $T$ wordt afgerond op een geheel getal.
Er bestaat een lineair verband tussen de onafgeronde $F$ - en $T$ -waarden. Dit lineaire verband kan worden beschreven met een formule van de vorm $F = a T + b$ .

Bereken de waarden van $a$ en $b$ . Rond je antwoorden af op twee decimalen.

9

Gegeven: $y \sim \sqrt[3]{x}$ en $z \sim x^{2}$ . Als $x = 4$ dan $y = 2$ en $z = 16$ .

Ga na: $y^{6} \sim z$ en bereken de evenredigheidsconstante.

10

De buitenkant van je lichaam is je lichaamsoppervlak. Gegevens over iemands lichaamsoppervlak worden bijvoorbeeld gebruikt voor risicoanalyse bij bestrijdingsmiddelen. De schadelijke stoffen hierin kunnen via de huid in het lichaam worden opgenomen. In een rapport van het RIVM (Rijksinstituut voor Volksgezondheid en Milieu) is een tabel te vinden waarin onder andere de lichaamsoppervlakte is af te lezen. Een gedeelte van deze tabel staat hieronder.

Bij jonge kinderen is het hoofd ten opzichte van de rest van het lichaam relatief groot. Als kinderen ouder worden, groeien de armen en handen en de benen en voeten sneller dan de rest van het lichaam.
Het aandeel van armen en handen in de lichaamsoppervlakte is voor kinderen in de periode van $1,5$ jaar tot $17,5$ jaar gestegen van $18,15%$ naar $21,0%$ . Ook het aandeel van de benen en voeten is in die $16$ jaar groter geworden.

a

Onderzoek of de relatieve toename van het aandeel van armen en handen groter is dan de relatieve toename van het aandeel van benen en voeten.

Eugène Dubois (1858-1940)

Er zijn ook formules waarmee we de lichaamsoppervlakte kunnen berekenen. Voor volwassen vrouwen is de formule van Dubois de meest gebruikte: $S_{Dubois} = 0,007184 \cdot L^{0,725} \cdot M^{0,425}$ . In deze formule is $S_{Dubois}$ de lichaamsoppervlakte in $m^{2}$ , $L$ de lichaamslengte in cm en $M$ het lichaamsgewicht in kg.
Als een lichaam groter wordt, dan zal de lichaamsoppervlakte ook groter worden. Kunnen we dit ook zien aan de formule van Dubois? Hoe zit het bijvoorbeeld als alle lengtematen (lengte, breedte, hoogte) van een lichaam $2$ keer zo groot worden? Bij een kubus wordt in dat geval de oppervlakte $4$ keer en het volume $8$ keer zo groot. Wordt de uitkomst van de formule van Dubois dan ook $4$ keer zo groot? Hiertoe vergelijken we $S_{Dubois(2)} = 0,007184 \cdot {(2 L)}^{0,725} \cdot {(8 M)}^{0,425}$ met
$S_{Dubois(1)} = 0,007184 \cdot L^{0,725} \cdot M^{0,425}$ . We gaan er hierbij van uit dat het lichaamsgewicht ( $M$ ) evenredig is met het volume.

b

Toon met behulp van deze formules (zonder getallenvoorbeelden) aan dat de formule van Dubois inderdaad bij verdubbeling van lengtematen een verviervoudiging van de lichaamsoppervlakte $S_{Dubois}$ oplevert.

Voor het berekenen van de lichaamsoppervlakte bij kinderen worden vooral de volgende twee formules gebruikt:
$S_{Mosteller} = \sqrt{\frac{1}{3600} \cdot L \cdot M}$ (formule van Mosteller)
$S_{Haycock} = 0,024265 \cdot L^{0,3964} \cdot M^{0,5378}$ (formule van Haycock).
Ook in deze formules is $S$ de lichaamsoppervlakte in $m^{2}$ , $L$ de lichaamslengte in cm en $M$ het lichaamsgewicht in kg.
Om de formules beter met elkaar te kunnen vergelijken is het handig om de formule van Mosteller in dezelfde vorm te schrijven als de formule van Haycock.

c

Schrijf de formule van Mosteller in de vorm: $S = c \cdot L^{a} \cdot M^{b}$ en licht toe hoe je je antwoord gevonden hebt.

11

Los de volgende vergelijkingen in $x$ algebraïsch op.
Geef de oplossing in twee decimalen nauwkeurig.

a

$\sqrt[4]{x^{5}} = 2 x$

b

$x \sqrt{x} = 10 \sqrt[3]{x}$

c

$x^{2} \sqrt{2 x} = 10$