4.8 Voorwaardelijke kansen >

Hoofdstukken > Verdelingen

Vraag 16 van de Nationale Wetenschapsquiz 2003 luidde als volgt.
Met een steekproef testen we de deelnemers aan de tiende Nationale Wetenschapsquiz op een verboden pepmiddel. Stel dat tien procent van de deelnemers het pepmiddel gebruikt. De test is slechts voor negentig procent zuiver. Een deelnemer blijkt pep-positief. Hoe groot is de kans dat hij het pepmiddel daadwerkelijk heeft gebruikt?
a) Minder dan vijftig procent.
b) Vijftig procent.
c) Meer dan vijftig procent.

Voor alle duidelijkheid: met de zinsnede "de test is voor slechts negentig procent zuiver" wordt bedoeld dat de test in $10$ % van de gevallen een verkeerde uitslag geeft. Dus $10$ % van de gebruikers wordt pep-negatief getest en $10$ % van de niet-gebruikers wordt pep-positief getest.

Teken een stroomdiagram bij deze test uitgaande van $200$ deelnemers waarvan $10$ % gebruikers.

Hoeveel procent van de deelnemers wordt pep-positief getest?

Hoeveel procent van de deelnemers wordt pep-positief getest en is ook gebruiker?

Wat is het goede antwoord op vraag 16 van de Nationale Wetenschapsquiz 2003? Leg uit.

Opmerking:

In de vorige opgave was er sprake van twee percentages:

het percentage met een positieve uitslag überhaupt,
het percentage met een positieve uitslag onder de pep-gebruikers.

Bij het tweede percentage gaat het niet over de hele populatie, maar over een select deel daarvan. Er wordt dan een voorwaarde aan de deelnemer gesteld. Zo’n voorwaarde heeft meestal invloed op het percentage.

Met tabellen

Met behulp van gegevens in tabellen kunnen we bepaalde kansen eenvoudig aflezen. Soms staan er aantallen in de tabel, soms ook kansen. In het eerste geval spreken we van een frequentietabel, in het tweede geval van een kanstabel.

Voorbeeld 1. Kleurenblindheid
Uit een onderzoek onder $1000$ personen ( $527$ mannen en $473$ vrouwen) komen de volgende gegevens over kleurenblindheid en geslacht naar voren.

Op de onderste rij en in de rechterkolom staan de randtotalen. Met behulp van de tabel kunnen we snel een aantal kansen schatten:

De kans dat iemand kleurenblindheid is, is $\frac{49}{1000} = 4,9$ %.
De kans dat iemand kleurenblindheid en man is, is $\frac{42}{1000} = 4,2$ %.

Je kunt ook kijken naar kansen in een deel van de data, bijvoorbeeld alleen naar de mannen of alleen naar de kleurenblinde mensen.

De kans dat een man kleurenblind is, is $\frac{42}{527} \approx 8,0$ %.

Zie de tabel in voorbeeld 1.

Wat is de kans dat een vrouw kleurenblind is?

Wat is de kans dat een kleurenblind persoon een vrouw is?

Het is duidelijk dat kleurenblindheid afhankelijk is van het geslacht. Bij mannen komt kleurenblindheid immers veel vaker voor dan bij vrouwen.
Mucoviscidose (taaislijmziekte) is de meest voorkomende erfelijke, niet-besmettelijke longziekte. Ongeveer $1400$ Nederlanders hebben deze ziekte. Mucoviscidose is onafhankelijk van het geslacht.

Hoeveel Nederlandse vrouwen ongeveer hebben mucoviscidose?

Het al dan niet beoefenen van een sport is in Nederland nagenoeg onafhankelijk van het geslacht.

Zeg in eigen woorden wat dat betekent.

Of men een dagelijkse roker is, is wel afhankelijk van het geslacht.

Zeg in eigen woorden wat dat betekent.

Een autoreparatiebedrijf heeft twee verfspuiters in dienst, Willem en John. Willem spuit $60$ % van alle auto's. Bij regelmatige controles is gebleken dat $4$ % van de auto's die door Willem gespoten werden, niet aan de kwaliteitseisen voor spuitwerk voldeed. Bij John was dit $8$ %.

Maak een frequentietabel bij bovenstaande gegevens.
Ga bijvoorbeeld uit van $1000$ auto’s.

Hoeveel procent van de auto's voldoet niet aan de kwaliteitseisen?

Hoeveel procent van de auto’s die aan de kwaliteitseisen voldoen, is door Willem gespoten?

Hoeveel procent van de auto’s die niet aan de kwaliteitseisen voldoen, is door Willem gespoten?

De meeste slagmannen bij honkbal hebben een voorkeur voor linkshandige of rechtshandige werpers. Zo ook John: hij slaat bij een linkshandige werper slechts $15$ % honkslagen en bij een rechtshandige werper $35$ %.
In de competitie waarin John speelt is $20$ % van de werpers linkshandig.

Maak een frequentietabel bij deze gegevens.

Wat is de kans dat John een honkslag slaat tegenover een willekeurig gekozen werper?

Hoeveel procent van John's honkslagen slaat hij tegenover een rechtshandige werper?

Zo nu en dan vindt in ons land een tuberculose-uitbraak plaats. Om mensen in de omgeving die ook besmet zijn op te sporen wordt de zogenaamde Mantoux-test gebruikt. Deze test is rond 1900 ontwikkeld door de Franse arts Charles Mantoux. De test werkt niet feilloos: van degenen met een TBC-besmetting reageert $98$ % positief op de test. Bovendien reageert $1$ % van degenen die niet besmet zijn ook positief op de test. Daarom worden mensen die positief reageren nogmaals getest met dezelfde test. Deze hertest geeft een nieuwe uitslag, onafhankelijk van de eerste test.
Stel dat er in een stad met $250.000$ inwoners $100$ gevallen van TBC-besmetting zijn (dat is $0,04$ %).
We maken een tabel voor het geval dat alle inwoners van die stad getest worden.

Neem de frequentietabel over en vul hem verder in.

Wat is de kans op tuberculose na een positieve uitslag van de test?

Wat is de kans op tuberculose na een negatieve uitslag van de test?

Wat is de kans op tuberculose na een positieve test en een positieve hertest?

Met kansen

Als je de kansen weet, kun je die omzetten in aantallen, door uit te gaan van een geschikt totaal aantal. Welk totaal aantal je kiest doet er niet toe. Je kunt daarom ook met kansen rekenen. Schrijf die kansen in de tabel als (decimale) breuken, niet als percentages. Percentages werken vaak verwarrend. Is de gevraagde kans eenmaal berekend, dan mag deze natuurlijk weer als percentage worden genoteerd.

Voorbeeld 2. Defecte producten
Machine I, machine II en machine III maken alledrie hetzelfde product. Machine I neemt $50$ % van de productie voor zijn rekening, machine II $30$ % en machine III $20$ %. Machine I produceert $1$ % defecten, machine II $2$ % en machine III $3$ %.
Om de gegevens overzichtelijk weer te geven maken we een kanstabel. Voor de drie machines staan hierin de fracties goede en defecte producten. Eerst zetten we rechtsonder de totale kans $1$ neer. Vervolgens leiden we uit de gegevens de randtotalen $0,5$ , $0,3$ en $0,2$ af. Vervolgens kunnen we de kansen van de binnenste cellen van de tabel berekenen. Ten slotte kunnen we hiermee de randtotalen van de fracties goede en defecte producten berekenen. Dit alles leidt tot de volgende kanstabel (met kansen in drie decimalen).

Zodoende hebben we de volgende kansen bepaald.
Het percentage goede producten $=$ de kans op een goed product $=$ $0,983$ $=$ $98,3$ %.
De kans dat een defect product door machine II is gemaakt is $0,006 : 0,017 = 0,353 = 35,3$ %.

Als je het lastig vindt met kansen te werken, kun je ook een frequentietabel maken door van een aantal van bijvoorbeeld $1000$ producten uit te gaan.

Notatie
Kansen worden vaak kort en bondig als volgt genoteerd.

Gewone kansen: “De kans op een goed product” wordt $P$ (goed product).
Voorwaardelijke kansen: “De kans dat een defect product door machine II is gemaakt” wordt
$P$ (machine II | defect product).

Voor de verticale streep staat de eigenschap waarnaar we op zoek zijn: hier de producten die door machine II zijn geproduceerd. Na de verticale streep staat de voorwaarde: hier de defecte producten.We zijn dus geïnteresseerd in het deel van de defecte producten dat door machine II is geproduceerd.
De letter $P$ staat voor ‘Probabilitas’; dat is Latijn voor ‘kans’.

$30$ % van de eredivisiewedstrijden voetbal eindigt in een gelijkspel. Dus $P$ (gelijkspel) $= 0,3$ .
Hoe wordt deze kans beïnvloed in de volgende voorwaardelijke kansen?
$P$ (gelijkspel | een van de ploegen is Ajax),
$P$ (gelijkspel | ruststand is $4 ‐ 0$ ),
$P$ (gelijkspel | de spelers krijgen bij winst $1000$ euro).

Maak bij de volgende opgaven telkens eerst zelf een geschikte (frequentie- of kans-)tabel.

Van de Nederlandse automobilisten is $58$ % man en $42$ % vrouw. Van de mannelijke automobilisten ontvangt jaarlijks $55$ % één of meerdere bekeuringen wegens te hard rijden. Bij de vrouwelijke automobilisten is dat percentage slechts $10$ %.

Hoeveel procent van de Nederlandse automobilisten ontvangt jaarlijks één of meerdere bekeuringen wegens te hard rijden?

Hoeveel procent van de bekeurde automobilisten is een man?

Het vak statistiek wordt op een bepaalde faculteit afgesloten met een tentamen en eventueel een hertentamen. Op basis van resultaten uit de afgelopen jaren is bekend dat $55$ % van de studenten uiteindelijk (na een eventueel hertentamen) een voldoende haalt voor dit vak. Van de studenten die gedurende de collegeperiode regelmatig opgaven geoefend hebben, haalt $80$ % uiteindelijk een voldoende voor dit vak. Het percentage studenten dat regelmatig oefent wordt geschat op $35$ %.

Iemand beweert dat oefenen voor statistiek weinig zin heeft.

Wordt de bewering door deze gegevens ondersteund?

Hoeveel procent van de studenten die uiteindelijk een voldoende hebben voor statistiek, heeft regelmatig geoefend?

Voor de productie van gevoelige druktoetsen heeft een fabriek twee machines in bedrijf. De machines zijn even goed: de kans op een foute druktoets is bij beide machines $0,65$ %.
Machine I neemt $60$ % van de productie voor zijn rekening, machine II de overige $40$ %.

Maak een kanstabel:

Is het goed-zijn van een druktoets onafhankelijk van de machine? Dat wil zeggen: is de kans dat een druktoets goed is op beide machines hetzelfde?

Iemand werpt twee keer met een dobbelsteen.

Is het aantal ogen bij de tweede worp onafhankelijk van het aantal ogen bij de eerste worp?

Iemand trekt twee kaarten uit een stapeltje van vier kaarten: twee boeren en twee azen.

Is het resultaat (boer of aas) bij de tweede kaart onafhankelijk van het resultaat bij de eerste kaart?
Licht je antwoord toe.