Gemiddelde groeisnelheid berekenen

Gegeven een functie $f$ . De invoer is $x$ , de uitvoer $f (x)$ .
Als de invoer verandert, dan verandert ook de uitvoer.
In dit hoofdstuk houden we ons bezig met de vraag hoeveel keer zo snel de uitvoer groeit als de invoer. We noemen dat de groeisnelheid.
Als de grafiek van de functie niet recht is, is de groeisnelheid niet constant. Die hangt af van het punt waarin je kijkt.

Een formule bij de grafiek van opgave 2 is:
$y = x^{3} - 10 x^{2} + 50 x$ , hierbij zijn $y$ de kosten per honderden euro en $x$ het aantal honderden stuks.

Bereken met hoeveel de kosten stijgen als de productie toeneemt van $200$ naar $201$ stuks.

Opmerking:

In de economie spreekt men van marginale kosten (of marginale opbrengst of marginale winst). Hiermee wordt bedoeld de extra kosten die je maakt om één exemplaar extra te produceren.

We kijken nog eens naar de optrekkende auto van opgave 7.
Voor de afgelegde afstand $s$ (in meters) na $t$ seconden geldt: $s = t^{2}$ .
Je wilt de snelheid van de auto op een bepaald moment weten, zeg op $t = 3$ .
Je krijgt een goede benadering van die snelheid als je de gemiddelde snelheid berekent op een klein interval waarin $t = 3$ ligt, bijvoorbeeld het interval $[2,9; 3]$ .

Bereken de gemiddelde snelheid van de auto op het tijdsinterval $[2,9; 3]$ .

Ook op het tijdsinterval $[3; 3,01]$ .

Welke van de twee bovenstaande berekeningen geeft de beste benadering van de snelheid van de auto op $t = 3$ ?

Benader de snelheid van de auto op $t = 5$ met behulp van de gemiddelde snelheid op het tijdsinterval $[4,9; 5]$ .

Is de snelheid die je in het vorige onderdeel groter of kleiner dan de snelheid op $t = 5$ ?
Licht je antwoord toe.

In de vorige twee opgaven hebben we de gemiddelde stijging van een functie op een interval bekeken. (In opgave 12 was dat de gemiddelde stijging van de functie $y = x^{3} - 10 x^{2} + 50 x$ op het interval $[2; 2,01]$ .)
In opgave 12 stelt die gemiddelde stijging de marginale kosten voor en inopgave 13 de gemiddelde snelheid. Wat we in de vorige opgaven gedaan hebben doen we in de volgende opgave voor een abstracte functie. We spreken dan niet van (gemiddelde) snelheid, maar van (gemiddelde) groeisnelheid.

Hiernaast en op het werkblad is de grafiek van een functie $f$ getekend.

Lees de gemiddelde groeisnelheid van $f$ op het interval $[‐ 1,1]$ af uit de grafiek.

De toename van x noteren we met $Δ x$ en de toename van $y$ met $Δ y$ .
Op het interval $[‐ 1,1]$ is $Δ x = 2$ en $Δ y = 6$ .
De gemiddelde groeisnelheid van $y$ op $[‐ 1,1]$ is $\frac{Δ y}{Δ x} = 3$ .
Deze is gelijk aan de gemiddelde helling van de grafiek op het interval $[‐ 1,1]$ .

Geef $Δ x$ en $Δ y$ in de grafiek op het werkblad aan.

Bepaal $Δ x$ en $Δ y$ op $[‐ 1,2]$ en bereken daarmee de gemiddelde groeisnelheid van $y$ op $[‐ 1,2]$ .

Hoe kun je (zonder te rekenen) in de grafiek zien dat de gemiddelde groeisnelheid van $y$ op $[‐ 1,1]$ groter is dan de gemiddelde groeisnelheid op $[‐ 2,1]$ ?

$g$ is de functie die door $(0,0)$ gaat en constante groeisnelheid $1$ heeft.

Teken de grafiek van $g$ op het werkblad en geef een formule voor $g$ .

Bepaal de punten van de grafiek van $f$ waar de groeisnelheid even groot is als de groeisnelheid van $g$ .
Hoe heb je dat gedaan?

Een formule voor $f (x)$ is: $f (x) = ‐ x^{3} + 4 x$ .
Waarschijnlijk heb je bij vraag f het punt op de grafiek van $f$ gezocht waar die even steil loopt als de grafiek van $g$ .
Dat gebeurt ongeveer in de punten met eerste coördinaat $‐ 1$ en $1$ .

Je kunt dat controleren met de GR door inzoomen.
Je kunt dit onderdeel ook in de "GeoGebra applet" bekijken.
Met de schuifknop kun je de lijn $y = x$ naar het punt $(1,3)$ schuiven.
Als je uitvergroot zie je dat beide grafieken ongeveer even steil lopen.

Als je ver genoeg inzoomt op de grafiek van $f$ in $(1,3)$ , zie je (bijna) geen verschil meer tussen de grafiek van $f$ en de lijn door $(1,3)$ met helling $1$ . De helling van $f$ in $(1,3)$ is $1$ (ongeveer) en de lijn $y = x + 2$ is een vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van $f$ in dat punt.

Je kunt de helling van de grafiek in een punt goed 'zien' op de GR door in te zoomen. Een berekening van die helling kun je maken door de gemiddelde groeisnelheid te bepalen op een heel klein interval waar de eerste coördinaat van dat punt in ligt.

Bereken met behulp van de formule van $f (x)$ de gemiddelde groeisnelheid op het interval $[0,99; 1,01]$ .

Rekenschema

Om de gemiddelde groeisnelheid (helling) te berekenen is een rekenschema handig.
Bijvoorbeeld om de gemiddelde groeisnelheid te berekenen bij $s = t^{2}$ op het tijdsinterval $[3; 3,01]$ , zie opgave 13.
Rekenschema

$t = 3$	$\to$	$s = 9$
$\underline{t = 3,01}$	$\to$	$\underline{s = 9,0601}$
$Δ t = 0,01$	$\to$	$Δ s = 0,0601$

dus de gemiddelde groeisnelheid is $\frac{Δ s}{Δ t} = 6,01$ .

Of om de gemiddelde groeisnelheid van $y = ‐ x^{3} + 4 x$ te bepalen op $[0,99; 1,01]$ , zie opgave 14.
Rekenschema

$x = 0,99$	$\to$	$y = 2,989701$
$\underline{x = 1,01}$	$\to$	$\underline{y = 3,009699}$
$Δ x = 0,02$	$\to$	$Δ y = 0,019998$

dus gemiddelde groeisnelheid is $\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{0,019998}{0,02} = 0,9999$ .

Een boom groeit van zaadje tot $8$ meter hoog in $20$ jaar. Hiernaast staat de grafiek van de hoogte $h$ (in m) na $t$ jaar.

Wat is de gemiddelde groeisnelheid van de boom op $[0,20]$ ?

Hoe ziet de grafiek bij een boom met een constante groei van $0,4$ meter per jaar eruit?

Een formule bij de grafiek is: $h = ‐ 0,002 t^{3} + 0,06 t^{2}$ .

Bereken met rekenschema de groeisnelheid van de boom op $[3; 3,01]$ in één decimaal.

Wat denk je dat de groeisnelheid van de boom op $t = 3$ is?

De groeisnelheid van de functie $f$ in het punt met eerste coördinaat $a$ is de helling van de raaklijn aan de grafiek in het punt met eerste coördinaat $a$ .
Als je een formule van $f (x)$ hebt, dan kun je de helling in het punt met eerste coördinaat $a$ goed benaderen door de gemiddelde groei $\frac{f (b) - f (a)}{b - a}$ van $f (x)$ op het interval $[a, b]$ uit te rekenen.
Die benadering is beter, naarmate $b$ dichter bij $a$ gekozen wordt.
Met de $Δ$ -notatie kunnen we dit ook zó opschrijven:
met $Δ x = b - a$ en $Δ y = f (b) - f (a)$ is $\frac{f (b) - f (a)}{b - a} = \frac{Δ y}{Δ x}$ .

De gemiddelde helling van een functie $f$ op het interval $[a, b]$ is een quotiënt van twee verschillen namelijk $Δ y = f (b) - f (a)$ gedeeld door $Δ x = b - a$ .
Daarom noemt men $\frac{f (b) - f (a)}{b - a}$ en $\frac{Δ y}{Δ x}$ ook wel een differentiequotiënt.
$Δ$ (Griekse hoofdletter delta) staat voor differentie, dit betekent verschil.)

Opmerking:

Kijk nog eens goed naar de eenheden waarin de groeisnelheid wordt uitgedrukt.

In opgave 3:
$t$ de tijd in uur,
$s$ de afstand in km,
de gemiddelde groeisnelheid van $s$ is in km/u;
In opgave 12:
$x$ het aantal stuks (in honderdtallen),
$y$ de kosten in honderden euro,
de gemiddelde groeisnelheid van $y$ is in honderden euro per honderd stuks, dus in euro per stuk;
In opgave 13:
$t$ de tijd in seconden,
$s$ de afstand in meter,
de gemiddelde groeisnelheid van $s$ is in m/s.

In opgave 6 hebben we de helling van de raaklijn gemeten in het punt $P (4,3)$ aan de grafiek van $y = 1 \frac{1}{2} \sqrt{x}$ .

Benader die helling in drie decimalen met behulp van de gemiddelde groeisnelheid op het interval $[3,99; 4,01]$ .

Van gemiddelde groeisnelheid naar groeisnelheid

We bekijken de rit van de auto uit opgave 7 vanaf een bepaald moment ( $t = 0$ ).
Voor de afstand $s$ (in meters) die de auto na $t$ sec heeft afgelegd geldt: $s = t^{2}$ .
We willen exact weten hoe snel de auto rijdt op tijdstip $t = 4$ .

Bereken de gemiddelde snelheid van de auto op de intervallen $[4; 4,01]$ en op $[3,99; 4]$ .

Neem over en vul in.

$t = 4$	$\to$	$s = 16$
$\underline{t = 4 + Δ t}$	$\to$	$\underline{s = 16 + ... \cdot Δ t + {(Δ t)}^{2}}$
	$\to$	$Δ s = ... \cdot Δ t + {(Δ t)}^{2}$

dus de gemiddelde groeisnelheid is $\frac{Δ s}{Δ t} = 8 + Δ t$ .

Met je antwoord uit b kun je je antwoorden van a controleren. Het eerste antwoord door voor $Δ t = 0,01$ te nemen.

Hoe kun je tweede antwoord van onderdeel a controleren? Voer die controle uit.

Hoe dichter $Δ t$ bij $0$ komt, hoe beter $\frac{Δ s}{Δ t}$ de snelheid op tijdstip $4$ benadert.

Tot welke waarde nadert $\frac{Δ s}{Δ t}$ als $Δ t$ naar $0$ nadert?

Conclusie: de snelheid van de auto op tijdstip $4$ is $8$ .

Neem over en vul in.

$t = 3$	$\to$	$s = 9$
$\underline{t = 3 + Δ t}$	$\to$	$\underline{s = ... + ... \cdot Δ t + {(Δ t)}^{2}}$
	$\to$	$Δ s = .... \cdot Δ t + {(Δ t)}^{2}$

Dus de gemiddelde groeisnelheid is $\frac{Δ s}{Δ t} = 6 + Δ t$ .

Hoe volgt uit het vorige onderdeel met welke snelheid de auto op tijdstip $3$ rijdt?

Bereken ook de exacte snelheid van de auto op tijdstip $5$ .

$y = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x$
We berekenen de groeisnelheid van $y$ als $x = 3$ .

Neem over en vul in.

$x = 3$	$\to$ $y = ...$
$x = 3 + Δ x$	$\to$ $y = ... +_\cdot Δ x + ... {(Δ x)}^{2}$

Dus $\frac{Δ y}{Δ x} = ... Δ x + ...$ , de groeisnelheid is dus: $...$ .

Bereken, zoals in het vorige onderdeel de groeisnelheid als $x = 2$ en als $x = 0$ .

Hiernaast en op het werkblad is de grafiek van de functie getekend. Je hebt het volgende berekend.

In het punt $O (0,0)$ is de groeisnelheid $‐2$ ,
in het punt $P (3, ‐1 \frac{1}{2})$ is de groeisnelheid $1$ ,
in het punt $Q (2, ‐2)$ is de groeisnelheid $0$ .

Teken op het werkblad in $O$ de lijn met richtingscoëfficiënt $‐ 2$ , in $P$ de lijn met richtingscoëfficiënt $1$ en in $Q$ de lijn met richtingscoëfficiënt $0$ .
De lijnen die je in die punten getekend hebt sluiten daar het beste aan bij de grafiek. Het zijn raaklijnen aan de grafiek.

Gegeven een functie $f$ met daarop een punt $A$ met eerste coördinaat $a$ .
De waarde die je krijgt door in $\frac{f (a + Δ x) - f (a)}{Δ x}$ het getal $Δ x$ naar $0$ te laten naderen, is de groeisnelheid van $f (x)$ in $A$ .
We noemen die waarde ook de helling van de grafiek van $f$ in $A$ .

Als $P$ het punt op de grafiek van $f$ met eerste coördinaat $a + Δ x$ is, nadert lijn $A P$ de raaklijn in $A$ . De raaklijn in $A$ aan de grafiek van $f$ is de lijn door $A$ met de groeisnelheid als richtingscoëfficiënt.

Opmerking:

Bekijk de applet demo_raaklijn waar de grafiek van bovenstaande functie is getekend.
Met de schuifknop $a$ kun je de positie van $A$ op de grafiek variëren: de eerste coördinaat van $A$ is $a$ . Het punt $P$ op de grafiek van de functie heeft eerste coördinaat $a + Δ x$ .
Je kunt met een schuifknop de eerste coördinaat van $A$ en $Δ x$ kiezen.
Naarmate $Δ x$ dichter bij $0$ gekozen wordt, 'nadert' lijn $A B$ de raaklijn.

Van een toren valt een steen. Voor de valweg $s (t)$ (in meters) na $t$ seconden geldt bij benadering: $s (t) = 5 t^{2}$ .
Hiernaast staat de grafiek.
De steen valt steeds sneller.

Hoe zie je dat aan de grafiek?

De toren is $125$ meter hoog.

Bereken het exacte tijdstip waarop de steen op de grond komt.

We gaan de snelheid berekenen waarmee de steen op de grond komt, dus als $t = 5$ .

Bereken de gemiddelde snelheid waarmee de steen valt op het tijdsinterval $[4,99; 5]$ .

De gemiddelde snelheid van de steen tussen $t = 5$ en $5 + Δ t$ is: $\frac{s (5 + Δ t) - s (5)}{Δ t}$ .
Dit is te vereenvoudigen tot $50 + 5 \cdot Δ t$ .

Laat dat met een berekening zien.

Je kunt dit gebruiken om je antwoord op c te controleren.

Wat moet je dan voor $Δ t$ nemen?

Wat is de snelheid op $t = 5$ , denk je?
Geef je antwoord in m/s en in km/u.

Naarmate $Δ t$ dichter bij $0$ komt, komt $50 + 5 \cdot Δ t$ dichter bij $50$ .
De snelheid op $t = 5$ is exact $50$ .

De (groei)snelheid als $t = 3$ kun je goed benaderen door de gemiddelde groeisnelheid te berekenen op een klein interval waar $3$ in ligt, bijvoorbeeld $[3; 3,01]$ . De lijn door de punten van de grafiek met eerste coördinaat $3$ en $3,01$ is een goede benadering voor de raaklijn aan de grafiek in het punt met eerste coördinaat $3$ .

De groeisnelheid tussen $t = 3$ en $3 + Δ t$ is $30 + 5 \cdot Δ t$ .

Reken dat na.

Wat is de exacte snelheid van de steen op $t = 3$ ?

Opmerking:

Om de groeisnelheid van een functie $f$ voor een bepaalde $a$ uit te rekenen, kun je in $\frac{f (a + Δ x) - f (a)}{Δ x}$ niet zo maar $0$ invullen voor $Δ x$ .
Waarom niet?
Daarom spreken we van de waarde waarnaar bijvoorbeeld $\frac{s (5 + Δ x) - s (5)}{Δ x}$ nadert als $Δ x$ naar $0$ nadert.

Hieronder staat de grafiek van een of andere functie.
Het punt $A (4,2)$ ligt op de grafiek.

Iemand (die een formule van de functie kent) benadert de helling in $A$ van de grafiek als volgt. Hij kiest het punt $P$ op de grafiek met eerste coördinaat $4,001$ en berekent de helling van de lijn door $A$ en $P$ .

Is zijn antwoord groter of kleiner dan de precieze helling in het punt $A$ ?
Licht je antwoord toe.

En als hij in plaats van $P$ het punt $Q$ op de grafiek gekozen had met eerste coördinaat $3,999$ ?