Wat is een tweedegraads functie?

In deze paragraaf bekijken we de groeisnelheid van tweedegraadsfuncties.
Een tweedegraadsfunctie is van de vorm $y = a x^{2} + b x + c$ voor zekere getallen $a$ , $b$ en $c$ , waarbij $a \neq 0$ .

Gegeven is de tweedegraadsfunctie $y = 3 x^{2} + 2$ .

Wat moet je hierboven voor $a$ , $b$ en $c$ nemen om deze functie te krijgen?

In klas 3 zijn tweedegraads functies uitvoerig aan de orde geweest.

Hoe hebben we die functies daar meestal genoemd?

Waarom staat hierboven $a \neq 0$ ?

Hoe ziet de grafiek van een tweedegraads functie eruit?

Gegeven $y = \frac{1}{2} x^{2} + 2 x - 4$ .
De grafiek is een parabool.

Bepaal de coördinaten van de top exact.

(hint)

Kwadraatafsplitsen, zie ook rekentechniek.

Bereken exact de waarden van $x$ waarvoor $y = 0$ .

Bereken exact voor welke $x$ geldt: $y < 0$ .

Opmerking:

In de Rekentechniek vind je meer over tweedegraads functies.

De groeisnelheid van een lineaire en een kwadratische functie

Gegeven is de functie $f : x \to 2 x + 3$ .

Teken de grafiek.

Wat is de gemiddelde groeisnelheid van $f$ op het interval $[0,10]$ ? En op $[‐3,1]$ ?

Wat is de groeisnelheid van $f$ in het punt met eerste coördinaat $3$ ?
En met eerste coördinaat $‐2$ ?
En met eerste coördinaat $a$ ?

Gegeven is de functie $f : x \to π x - 2$ .

Hoe ziet de grafiek van $f$ eruit?

Wat is de groeisnelheid in het punt met eerste coördinaat $a$ ?

Hieronder is de grafiek van het verband $y = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x$ getekend. De grafiek is een parabool met top $(2, ‐ 2)$ . In opgave 18 heb je de helling van de grafiek in het punt met eerste coördinaat $2$ en $3$ berekend. In deze opgave probeer je met deze applet de helling van de grafiek in enkele punten te bepalen.

Neem de tabel over en vul hem in met behulp van de applet. Rond de hellingen af op gehele getallen.
De resultaten van opgave 18 zijn al ingevuld.

$x$ -coördinaat	$‐ 1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
helling				$0$	$1$

Als je het goed gedaan hebt, zit er een mooie regelmaat in deze hellingen.

Voorspel op grond van de regelmaat in de tabel de helling van de grafiek in het punt met eerste coördinaat $10$ .

Druk de helling in het punt met $x = a$ uit in $a$ .

$f : x \to x^{2}$
Met de GR kun je de groeisnelheid van $f (x)$ in het punt met eerste coördinaat $2$ goed benaderen met $\frac{f (2 + 0,001) - f (2)}{0,001}$ .

Welke waarde vind je op die manier?

Bereken met de GR $\frac{f (3 + 0,001) - f (3)}{0,001}$ .
Dit is een goede benadering voor de groeisnelheid van $f (x)$ in het punt met eerste coördinaat $3$ .
Benader met de GR op dezelfde manier de groeisnelheid in de punten met eerste coördinaat $4$ en $5$ .

Als je naar de regelmaat kijkt, kun je misschien wel voorspellen wat de groeisnelheid in het punt met eerste coördinaat $20$ ongeveer is.

Wat denk je dat die is? Reken je vermoeden na met de GR.

Gegeven is een functie $f$ . Je kunt de groeisnelheid van $f (x)$ in het punt met eerste coördinaat $x$ goed benaderen met:
$\frac{f (x + 0,001) - f (x)}{0,001}$ .

De oppervlakte van het vierkant met zijden $x$ noemen we $O (x)$ , dus $O (x) = x^{2}$ .
We gaan de groeisnelheid van de oppervlakte exact berekenen als de zijde $20$ is. Als de zijde van het van het vierkant groeit van $20$ tot $20 + Δ x$ , groeit de oppervlakte met $Δ O$ .
Er geldt: $Δ O = 40 Δ x + {(Δ x)}^{2}$ .

Laat dat met het plaatje hiernaast zien.

Dus: $\frac{Δ O}{Δ x} = 40 + Δ x$ .

Wat volgt hieruit voor de exacte groeisnelheid van $O (x)$ als $x = 20$ ?

We kunnen met een rekenschema de groeisnelheid in elk ander punt berekenen.
De manier om dat in de wiskunde te doen is: werken met een variabele als eerste coördinaat.

We berekenen de groeisnelheid van $O (x)$ in het punt met eerste coördinaat $a$ .
Zeg dat de zijde van het vierkant groeit met $Δ x$ , en de oppervlakte met $Δ O$ .

Neem over en vul aan:

$x = a$	$\to$	$y = a^{2}$
$x = a + Δ x$	$\to$	$y = a^{2} + ... \cdot Δ x + {(Δ x)}^{2}$

Dus: $\frac{Δ O}{Δ x} = ... + Δ x$ .

Wat is de exacte groeisnelheid van $O (x)$ in het punt met eerste coördinaat $a$ ?

Ga na dat het resultaat in het vorige onderdeel in overeenstemming is met wat je in opgave 25 gevonden hebt.

Gegeven is de functie $f : x \to x^{2}$ .
De groeisnelheid van $f (x)$ in $x = a$ is $2 a$ .
Anders gezegd: de helling van de raaklijn in het punt van de grafiek met eerste coördinaat $a$ is $2 a$ .

Gegeven is de functie $f$ met $f (x) = x^{2}$ .

Bereken exact in welk punt van de grafiek de helling $3$ is.

In welk punt van de grafiek is de helling $‐ 10$ ?

De somfunctie en zijn groeisnelheid

We kennen de groeisnelheid van de functies $f : x \to x^{2}$ en van $g : x \to 2 x$ . In het volgende bekijken we hoe je hieruit de groeisnelheid van de somfunctie van $f$ en $g$ , dat is de functie $x \to x^{2} + 2 x$ kunt vinden.

Als $f$ en $g$ twee functies zijn, dan noemen we de functie $s$ met $s (x) = f (x) + g (x)$ (voor alle $x$ ) de somfunctie van $f$ en $g$ .

Een boot vaart de sluis door. Ad loopt op de boot naar voren.
We bekijken de situatie vanaf een bepaald moment $t = 0$ .
Na $t$ seconden is Ad $a (t)$ meter van de achtersteven verwijderd. De achtersteven van de boot is dan $b (t)$ meter van de sluis weg.

Als $a (10) = 75$ en $b (10) = 15$ , hoe ver is Ad dan van de sluis verwijderd?

De afstand van Ad tot de sluis noemen we $d (t)$ , dan geldt: $d (t) = a (t) + b (t)$ .
Op een bepaald moment $t$ loopt Ad met een snelheid van
$1$ m/s. De boot vaart op hetzelfde moment met een snelheid van $8$ m/s.

Met welke snelheid verwijdert Ad zich van de sluis?

De groeisnelheid van $d (t) =$ de groeisnelheid van $a (t) +$ de groeisnelheid van $b (t)$ .

Algemeen

Neem aan, je hebt twee functies $y_{1}$ en $y_{2}$ .
We bekijken $y = y_{1} + y_{2}$ .
We maken een rekenschema om het verband tussen de groeisnelheden van $y$ , $y_{1}$ en $y_{2}$ te berekenen als $x = 2$ .
Neem aan: als $x = 2$ , dan $y_{1} = 3$ en $y_{2} = 5$ , dus $y = 8$ .

Rekenschema

$x = 2$	$\to$	$y = 8$
$x = 2 + Δ x$	$\to$	$y_{1} = 3 + Δ y_{1}$
	$\to$	$y_{2} = 5 + Δ y_{2}$
dus
$x = 2 + Δ x$	$\to$	$y = 8 + Δ y_{1} + Δ y_{2}$

Dus:

\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{Δ y_{1} + Δ y_{2}}{Δ x} = \frac{Δ y_{1}}{Δ x} + \frac{Δ y_{2}}{Δ x}

.
Als

Δ x

naar

0

nadert vind je hieruit:
De groeisnelheid van

y =

de groeisnelheid van

y_{1} +

de groeisnelheid van

y_{2}

We voeren een korte notatie in.

Afspraak
Gegeven is een functie $f$ .
De groeisnelheid van $f (x)$ als $x = a$ noteren we met $f^{'} (a)$ .
De functie $f^{'}$ noemen we de afgeleide functie van f.
Bij een gegeven functie de afgeleide functie bepalen, noemen we de functie differentiëren.

We hebben gezien:

Als $f (x) = x^{2}$ , dan $f^{'} (a) = 2 a$ , dus $f^{'} (x) = 2 x$ (opgave 26),
als $f (x) = 2 x + 3$ , dan $f^{'} (x) = 2$ (opgave 23).

In opgave 28 en daarna hebben we het volgende gezien.

Somregel
Als $f (x) = g (x) + h (x)$ , dan $f^{'} (x) = g^{'} (x) + h^{'} (x)$ .

Voorbeeld:

We passen de somregel toe op de functie $f : x \to x^{2} + 3 x + 5$
Dan $f = g + h$ met $g : x \to x^{2}$ en $h : x \to 3 x + 5$ .
Dan $g^{'} (x) = 2 x$ en $h^{'} (x) = 3$ . Dus $f^{'} (x) = 2 x + 3$ .

Geef een formule voor $f^{'} (x)$ als

$f (x) = x^{2} + 4 x - 5$
$f (x) = x^{2} - 4 x + 5$
$f (x) = x^{2} - \frac{1}{2} x + 20$
$f (x) = {(x - 1)}^{2}$

Na de Middeleeuwen kwam in Europa het wetenschappelijke denken weer op gang. De oude Grieken werden bestudeerd, met name de werken van Archimedes. Allerlei problemen stonden in de belangstelling, meestal van mechanische of meetkundige aard. Vaak kwamen de vragen neer op het berekenen van de helling van een grafiek. Uiteindelijk is hier in de zeventiende eeuw een mooie theorie uit ontstaan: de differentiaalrekening. Deze werd gelijktijdig ontwikkeld in Engeland door Newton en onafhankelijk daarvan door Leibniz in Duitsland.

Newton 1642 - 1727

Leibniz 1646 - 1716

De oppervlakte van de rechthoek in figuur 1 noemen we $O (x)$ .

figuur 1

figuur 2

Geef een formule voor $O (x)$ en daarna voor $O^{'} (x)$ met behulp van de somregel.

We berekenen een formule voor $O^{'} (x)$ met behulp van een rekenschema.
Als $x$ toeneemt van $a$ tot $a + Δ x$ , neemt $O$ toe met $Δ O$ (het oker deel in figuur 2.)
Er geldt: $Δ O = 2 a Δ x + 2 Δ x + {(Δ x)}^{2}$ .

Laat met behulp van de tekening in figuur 2 zien.

Welke formule vind je hieruit voor $O^{'} (a)$ ?
Klopt dit met wat je in onderdeel b gevonden hebt?
Dus $O^{'} (x) = 2 x + 2$ .

Gegeven de functies $f$ en $g$ met $f (x) = x^{2} + 2 x$ en
$g (x) = x^{2} + 2 x - 3$ .
Hiernaast staan de grafieken getekend.

Hoe kun je de grafiek van $g$ uit de grafiek van $f$ maken?

Voor de functie $h$ geldt: $h (x) = f (x) + 10$ .

Hoe kun je de grafiek van $h$ uit de grafiek van $f$ maken?

De gemiddelde helling van $f$ op het interval $[‐2,1]$ is $1$ , reken maar na.

Kun je nu ook zonder te rekenen zeggen wat de gemiddelde helling van $g$ op het interval $[‐2,1]$ is?
En van $h$ ? Licht je antwoord toe.

Wat voor de gemiddelde helling geldt, geldt ook voor de helling in een punt. Dus heb je het volgende.

Gegeven een functie $f$ . Voor de functie $g$ geldt: er is een getal $c$ zó, dat $g (x) = f (x) + c$ voor alle $x$ . Dan ontstaat de grafiek van $g$ door die van $f$ over $c$ eenheden verticaal te verschuiven.
Er geldt: $g^{'} (x) = f^{'} (x)$ voor alle $x$ .

Opmerking:

Je kunt bovenstaande ook zien als een speciaal geval van de somregel.
Hoe?

Een veelvoud van een functie en zijn groeisnelheid

In de figuur staan in één plaatje de grafieken van de functies $f$ en $g$ met $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2}$ en $g (x) = x^{2} - 1$ .
Er geldt: $g (x) = 2 \cdot f (x)$ voor alle $x$ .

Hoe krijg je een punt op de grafiek van $g$ uit die van de grafiek van $f$ met dezelfde eerste coördinaat?
(Vergelijk bijvoorbeeld de punten $A$ en $B$ .)

De gemiddelde groeisnelheid van $f$ op het interval $[0,3]$ is $1 \frac{1}{2}$ , reken maar na.

Hoe vind je hieruit de gemiddelde groeisnelheid van $g$ op dat interval? Licht je antwoord toe.

Hieronder staan in één plaatje de grafieken van de functies $f$ en $g$ met $f (x) = x^{2} + 2 x - 3$ en $g (x) = ‐ \frac{1}{2} x^{2} - x + 1 \frac{1}{2}$ .
Er geldt: $g (x) = ‐ \frac{1}{2} \cdot f (x)$ , voor alle $x$ .

Hoe kun je de grafiek van $g$ uit die van $f$ maken?

Bereken exact de gemiddelde groeisnelheid van $f$ op het interval $[‐2,1 \frac{1}{2}]$ .

Hoe vind je hieruit de gemiddelde groeisnelheid van $g$ op dat interval? Licht je antwoord toe.

Gegeven zijn de functies $f$ en $g$ . Veronderstel: er is een getal $c$ zó, dat $g (x) = c \cdot f (x)$ voor alle $x$ .
Dan ontstaat de grafiek van $g$ door de grafiek van $f$ ten opzichte van de $x$ -as met factor $c$ te vermenigvuldigen.

Veelvoudregel
Als er een getal $c$ is, zó, dat $g (x) = c \cdot f (x)$ voor alle $x$ , dan $g^{'} (x) = c \cdot f^{'} (x)$ .

Voorbeeld:

De afgeleide van $f : x \to ‐ 2 x^{2} + 3 x - 7$ vind je als volgt:
$f (x) = g (x) + h (x)$ met $g (x) = ‐ 2 x^{2}$ en $h (x) = 3 x - 7$ .
$g^{'} (x) = ‐ 4 x$ (veelvoudregel) en $h^{'} (x) = 3$ , dus $f^{'} (x) = ‐ 4 x + 3$ (somregel).

Geef een formule voor $f^{'} (x)$ als

$f (x) = 2 x^{2}$
$f (x) = ‐ \frac{1}{2} x^{2}$
$f (x) = 2 x^{2} - \frac{1}{2} x + 20$
$f (x) = ‐ \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} x + 20$
$f (x) = {(2 x + 1)}^{2}$

De parabool in opgave 24 is de grafiek van de functie $f$ met $f (x) = \frac{1}{2} {(x - 2)}^{2} - 2$ .

Geef een formule voor $f^{'} (x)$ en controleer hiermee de tabel die je in opgave 24a gemaakt hebt.

Differentiëren toepassen

Gegeven is de functie $f : x \to 2 x^{2} - 4 \frac{1}{2} x + 2$ .
De grafiek staat in het plaatje hiernaast.

Geef een formule voor $f^{'} (x)$ .

Op de grafiek ligt een punt waar de raaklijn horizontaal is.

Bereken de eerste coördinaat van dat punt exact met behulp van de afgeleide.

(hint)

In dat punt is dus de groeisnelheid $0$ .

Het punt $P (2,1)$ ligt op de grafiek. In het plaatje is de raaklijn in $P$ aan de grafiek getekend.

Bereken exact de richtingscoëfficiënt van die raaklijn.

Geef een vergelijking van de raaklijn.

(hint)

Die lijn gaat door

P

en heeft richtingscoëfficiënt

3 \frac{1}{2}

.
Als je meer hulp nodig hebt: zie het voorbeeld eronder.

Voorbeeld:

Vergelijking van een raaklijn opstellen
Gegeven is $f : x \to x^{2} + x + 2$ .
Op de grafiek ligt het punt $P (1,4)$ .
We bepalen langs algebraïsche weg een vergelijking van de raaklijn in $P$ aan de grafiek van $f$ .
$f^{'} (x) = 2 x + 1$ , de eerste coördinaat van $P$ is $1$ dus de richtingscoëfficiënt van de raaklijn is: $f^{'} (1) = 3$ .
Een vergelijking van de raaklijn is: $y = 3 x + b$ voor een of ander getal $b$ . De raaklijn gaat door $P$ dus: $4 = 3 \cdot 1 + b \Rightarrow b = 1$ .
Een vergelijking van de raaklijn is dus: $y = 3 x + 1$ .

We bekijken nog eens de rit van de auto uit opgave 7.
Er geldt: $s = t^{2}$ , waarbij $s$ de afgelegde weg in meters na $t$ seconden is.
De snelheid van de auto vind je door de functie $s$ te differentiëren, dus voor de snelheid $v$ op tijdstip $t$ geldt: $v = 2 t$ .
Vanaf $t = 1$ rijdt de auto met constante snelheid verder.
De grafiek gaat als rechte lijn verder.

Geef een exacte vergelijking van die lijn: $s = ... t + ...$ .

(hint)

Die lijn raakt de grafiek van de grafiek van

s = t^{2}

(1,1)

en heeft richtingscoëfficiënt

...

Controleer met de formule uit het vorige onderdeel je antwoord op opgave 7d.

Bereken exact wanneer de auto $100$ meter heeft afgelegd (vanaf $t = 0$ ).

In opgave 19 viel een steen van een toren. Na $t$ seconden was hij $s$ meter gevallen. Het verband tussen $s$ en $t$ is: $s = 5 t^{2}$ .

Na hoeveel seconden exact is de snelheid van de steen $40$ m/s?

Wat is de exacte snelheid van de steen na $40$ meter vallen?