In deze paragraaf zoeken we een formule voor de afgeleide van een derdegraadsfunctie.
Een derdegraadsfunctie is van de vorm
voor zekere getallen , ,
en waarbij
.
Als we de afgeleide van hebben, zijn we klaar (waarom?).
Dit gebeurt in de volgende opgave.
Neem bovenstaande over en vul op de stippellijnen het passende in.
Als ,
dan .
We laten toenemen tot
,
dan neemt toe met .
Laat met behulp van het vorige onderdeel zien dat
.
Schrijf zo eenvoudig mogelijk.
Tot welke waarde nadert als steeds dichter bij komt?
Dus als , dan is de groeisnelheid voor gelijk aan .
Als , dan .
Gegeven de functie met
.
Dan .
Ga na: als dan: .
Geef een formule voor als
In opgave 2 had je de fabrikant met de volgende productiekosten-grafiek. Hierbij is in honderden stuks en in honderden euro.
Een formule die goed bij de grafiek past is:
.
In opgave 12 hebben we de marginale kosten bij een productie van stuks
berekend met een rekenschema.
is een goede benadering voor die marginale kosten.
Waarom?
Bereken en vergelijk dat met het antwoord dat je in opgave 12 gevonden hebt.
Veronderstel: bij een productie van stuks zijn de kosten
.
Dan worden de marginale kosten bij een productie van stuks gegeven door .
Vaak worden de marginale kosten genoteerd met .
We gaan verder met de vorige opgave.
Er geldt:
voor alle .
Laat dat langs algebraïsche weg zien.
Wat betekent dat voor de grafiek van ?
Hiernaast staat weer de grafiek van de functie ,
zie ook opgave 14.
Er geldt: .
Laat dat zien.
Er zijn twee punten op de grafiek waar de raaklijn aan de grafiek horizontaal is.
Bereken de eerste coördinaten van die punten exact.
Bereken exact een vergelijking van de raaklijn aan de grafiek in het punt .
Hieronder staat de grafiek van een functie .
Lees uit de grafiek af voor welke ongeveer de groeisnelheid van
gelijk aan is.
Licht je antwoord toe.
Lees uit de grafiek af voor welke geldt: .
Licht je antwoord toe.
Lees uit de grafiek af voor welke waarde van
ongeveer de groeisnelheid van
minimaal is.
Licht je antwoord toe.
Er geldt: .
Geef een formule voor .
Bereken exact voor welke waarden van de groeisnelheid van gelijk aan is.
Bekijk het plaatje bij de vorige opgave.
We zeggen: is maximaal voor ,
het maximum is en
minimaal voor ,
het minimum is .
Als een (gladde) functie voor een bepaalde waarde van minimaal of maximaal
is, dan is .
De functie
heeft als grafiek de gebroken lijn hiernaast. Voor
liggen de punten van de grafiek op de lijn
en voor op de lijn
.
Voor bestaat de groeisnelheid niet want:
op elk interval links van is de groeisnelheid en op elk
interval rechts van is de groeisnelheid .
is wel minimaal voor .
wordt wel de absolute waarde wordt ook wel geschreven als
. Het is de afstand van
het getal tot
op de getallenlijn.
De functie is ook op de GR te vinden.
Bereken van de volgende functies exact de waarden van waarvoor
.
Gebruik vervolgens de GR om na te gaan of er voor die waarden van een maximale of minimale waarde (of geen van beide) bereikt wordt, door de grafiek
in een omgeving van
het punt met eerste coördinaat te tekenen.
Gegeven een functie .
Als voor een zeker getal ,
dan hoeft de functie voor die waarde van
niet perse maximaal of minimaal te zijn, zie de laatste functie van de vorige opgave.
Het is verstandig om de grafiek van in een WINDOW waarin ligt te tekenen om
vast te stellen of voor
maximaal, minimaal of geen van beide is.
De punten en liggen op de grafiek van de functie .
Bereken exact de helling van de grafiek van in het punt .
Stel langs algebraïsche weg een vergelijking op van de raaklijn aan de grafiek van
in het punt .
Bereken exact in welke punten van de grafiek de raaklijn evenwijdig aan de lijn is.
Laat zien dat de raaklijn aan de grafiek in de -as snijdt in het punt .
Met de GR kun je een vergelijking van een raaklijn in een punt van de grafiek van
een functie produceren.
Hiermee kun je controleren of je een vraag zoals in opgave 45 (bij benadering) goed beantwoord hebt.
Gegeven is de functie met , zie opgave 43. De raaklijn in het punt met eerste coördinaat snijdt de -as in .
Bereken de coördinaten van exact.
Controleer het antwoord met de GR.