1

a

${(x + y)}^{3} = {(x + y)}^{2} (x + y) = (x^{2} + 2 x y + y^{2}) (x + y)$ en
$(x^{2} + 2 x y + y^{2}) (x + y) = (x^{2} + 2 x y + y^{2}) x + (x^{2} + 2 x y + y^{2}) y$ , dus $(x^{2} + 2 x y + y^{2}) (x + y) = x^{3} + 2 x^{2} y + x y^{2} + x^{2} y + 2 x y^{2} + y^{3} = x^{3} + 3 x^{2} y + 3 x y^{2} + y^{3}$

b

Voor $x = a$ invullen en voor $y = Δ x$ geeft:
$Δ y = a^{3} + 3 a^{2} Δ x + 3 a {(Δ x)}^{2} + {(Δ x)}^{3} - a^{3} = 3 a^{2} Δ x + 3 a {(Δ x)}^{2} + {(Δ x)}^{3}$ .

c

$\frac{Δ y}{Δ x} = 3 a^{2} + 3 a \cdot Δ x + {(Δ x)}^{2}$

d

$3 a^{2}$

2

a

$f^{'} (x) = 2 \cdot 3 x^{2} - 3 \cdot 2 x + 1 = 6 x^{2} - 6 x + 1$

b

$f^{'} (x) = 2 - 3 x^{2}$
$f^{'} (x) = 6 x^{2} - 4 x + 3$
$f^{'} (x) = 6 x^{2} - 8 x + 3$
$f (x) = 2 (x^{2} - 1) (x - 1) = 2 x^{3} - 2 x^{2} - 2 x + 1$ , dus $f^{'} (x) = 6 x^{2} - 4 x - 2$ .

3

a

Omdat de helling van de lijn door de punten met eerste coördinaat $2$ en eerste coördinaat $2,01$ een goede benadering is voor de helling van de raaklijn aan de grafiek in het punt met eerste coördinaat $2$ , en dat is $y^{'} (2)$ .

b

$y^{'} (x) = 3 x^{2} - 20 x + 50$ , dus $y^{'} (2) = 22$ .
Hetzelfde.

4

a

$y^{'} (x) = 3 x^{2} - 20 x + 50$ , de discriminant hiervan is kleiner dan $0$ , dus de grafiek van $y^{'}$ is een dalparabool die de $x$ -as niet snijdt, dus de parabool ligt erboven.

b

Dat is een stijgende functie, want de helling is overal positief.

5

a

-

b

$f^{'} (x) = 4 - 3 x^{2}$
Voor de eerste coördinaat $x$ van de gavraagde punten geldt: $f^{'} (x) = 0$ , dus $4 - 3 x^{2} = 0$ , dus $x = \pm \sqrt{\frac{4}{3}} = \pm \frac{2}{3} \sqrt{3}$ .

c

De lijn gaat door $(0,0)$ en heeft richtingscoëfficiënt $f^{'} (0) = 4$ , dus een vergelijking is $y = 4 x$ .

6

a

Voor $x = ‐10$ en voor $x = 30$ . Daar is de raaklijn horizontaal.

b

Als $‐10 < x < 30$ , daar is de functie dalend.

c

Als $x \approx 12$ , daar gaat de grafiek het steilst naar beneden.

d

$f^{'} (x) = 0,003 x^{2} - 0,06 x - 0,9$

e

$f^{'} (x) = 0,003 x^{2} - 0,06 x - 0,9 = 0$ , dus
$x^{2} - 20 x - 300 = 0$ , dus
$(x - 30) (x + 10) = 0$ , dus
$x = ‐ 10$ of $x = 30$

7

$f^{'} (x) = x^{2} - 2 x - 3$
$f^{'} (x) = 0$ als $x = 3$ of $x = ‐1$ .
Als $x = 3$ , dan is $f (x)$ minimaal.
Als $x = ‐ 1$ , dan is $f (x)$ maximaal.
$f^{'} (x) = 1 \frac{1}{2} x^{2} - 2 x - 2$
$f^{'} (x) = 0$ als $x = 2$ of $x = ‐ \frac{2}{3}$ .
Als $x = 2$ , dan is $f (x)$ minimaal.
Als $x = ‐ \frac{2}{3}$ , dan is $f (x)$ maximaal.
$f^{'} (x) = ‐ x^{2} + 4 x$
$f^{'} (x) = 0$ als $x = 4$ of $x = 0$ .
Als $x = 4$ , dan is $f (x)$ maximaal.
Als $x = 0$ , dan is $f (x)$ minimaal.
$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 6 x + 9 = 3 {(x - 1)}^{2}$ , dus $f^{'} (x) \geq 0$ voor alle $x$ en alleen maar $0$ als $x = 2$ , dus $f$ is een stijgende functie; er is geen maximum en ook geen minimum.

8

a

$f^{'} (x) = 3 x^{2}$ , dus de helling in $P$ is $f^{'} (3) = 27$ .

b

$y = 27 x - 54$

c

Lijn $O P$ heeft helling $9$ .
In een punt met eerste coördinaat $x$ van de grafiek van $f$ is de helling $9$ als $f^{'} (x) = 9$ . Dus $x = \pm \sqrt{3}$ .
$f (\pm \sqrt{3}) = \pm 3 \sqrt{3}$ , dus in de punten $(\sqrt{3},3 \sqrt{3})$ en $(‐ \sqrt{3}, ‐ 3 \sqrt{3})$ .

d

De helling van de raaklijn in $Q$ is $f^{'} (1) = 3$ , dus een vergelijking van de raaklijn is: $y = 3 x + b$ voor een of ander getal $b$ .
Omdat $Q$ op de raaklijn ligt, geldt $b = ‐ 2$ .
Een vergelijking van de raaklijn is: $y = 3 x - 2$ , deze snijdt de $y$ -as in het punt $(0,‐2)$ .

9

Het punt met eerste coördinaat $20$ is het punt $(20, ‐ 22)$ .
De richtingscoëfficiënt van de raaklijn is $f^{'} (20) = ‐ 0,9$ .
Een vergelijking van de raaklijn is dan $y = ‐ 0,9 x - 4$ .
Deze snijdt de $y$ -as in $(0, ‐ 4)$ .
Met de GR kun je een vergelijking van de raaklijn in $(20, ‐ 22)$ geven.
De constante $b$ in de vergelijking $y = a x + b$ is dan de tweede coördinaat van $P$ .