1

In een fabriek wordt een chemisch product gemaakt dat per kilogram verkocht wordt. De winst hangt af van de hoeveelheid die geproduceerd wordt. Hieronder en op het werkblad is de grafiek van de winstfunctie getekend.

In de buurt van de $400$ kg loopt de grafiek bijna horizontaal.

a

Wat betekent dat voor de winst van de fabrikant? En voor de gemiddelde winst per kilogram?

b

Hoe groot is de gemiddelde winst per kg als de fabrikant $100$ kg van zijn product verkoopt? En als hij $200$ kg verkoopt? En als hij $450$ kg verkoopt?

c

Teken de rechte lijn door de punten $(0,0)$ en $(600,280)$ van de grafiek.
Verklaar dat de richtingscoëfficiënt van deze lijn gelijk is aan de gemiddelde winst per kg bij $600$ kg.

d

Is de gemiddelde winst bij een hoeveelheid van $600$ kg groter of kleiner dan bij een hoeveelheid van $200$ kg?
Beantwoord deze vraag met tekenen zonder te rekenen.

e

Bij welke hoeveelheid is de gemiddelde winst per kg het kleinst?
En bij welke hoeveelheid het grootst?

f

Bij welke hoeveelheid is de gemiddelde winst per kg weer net zo groot als bij een verkoop van $100$ kg?

g

Schets de grafiek van de gemiddelde winst per kg.

2

Bij deze opgave kun je een werkblad gebruiken.
De (variabele) kosten bij de productie van een bepaald type auto zijn in een grafiek weergegeven.

a

Hoe groot zijn de kosten bij een productie van $7000$ auto's?

b

Hoe groot zijn de gemiddelde kosten per auto bij een productie van $7000$ auto's (in euro's per auto)?

Zeg bij elk van de volgende vragen hoe je het antwoord met behulp van de grafiek kunt vinden (bijvoorbeeld door een geschikte lijn te trekken).

c

Bij welk ander aantal auto's zijn de gemiddelde kosten per auto even hoog als bij $7000$ auto's?

d

Bij welk aantal geproduceerde auto's zijn de gemiddelde kosten het kleinst?

e

Wat zijn de marginale kosten bij een productie van $7000$ auto's.

f

Bij welk aantal geproduceerde auto's zijn de marginale kosten het kleinst?

3

In de vorige opgave is het verband tussen het aantal geproduceerde auto's en de kosten in een grafiek weergegeven. Dit verband kan benaderd worden met de formule: $K = \frac{1}{8} a^{3} - 2 a^{2} + 12 a$ , waarbij $a$ het aantal auto's in duizendtallen is en $K$ de kosten in miljoenen euro's.

a

Bereken de kosten als er $7000$ auto's geproduceerd worden, dus als $a = 7$ .

b

Bereken de marginale kosten bij een productie van $7000$ auto's.
Let op de eenheid: miljoenen euro's per duizend auto's, dus duizenden euro's per auto.

c

Bij welke productie zijn de marginale kosten gelijk aan $2000$ euro per auto?

d

Bij welke productie zijn de marginale kosten het kleinst?

e

Toon aan dat de gemiddelde kosten per auto bij een productie van $7000$ auto's even groot zijn als bij een productie van $9000$ auto's.

Voor de gemiddelde kosten $G K$ per auto geldt de volgende formule: $G K = \frac{1}{8} a^{2} - 2 a + 12$ . ( $G K$ in duizenden euro's per auto, $a$ in duizendtallen.)

f

Toon dat aan.

g

Bij welke productie zijn de gemiddelde kosten het kleinst?

h

Vergelijk de antwoorden die je in deze opgave met behulp van de formules gevonden hebt met de antwoorden die je in de vorige opgave met behulp van de grafiek gevonden hebt.

4

Een fabrikant van usb-sticks verkoopt per week $100.000$ usb-sticks voor € $1,20$ per stuk.
Bij een marktonderzoek blijkt dat elk dubbeltje prijsverhoging leidt tot een afzetdaling van $10.000$ stuks en elk dubbeltje prijsverlaging tot een afzetstijging van $10.000$ stuks.

a

Hoeveel usb-sticks verkoopt de fabrikant per week als de prijs per stuk $1,30$ euro is?

Noem de prijs (in euro's) $p$ en de afzet $q$ .

b

Neem onderstaande tabel over en vul hem in.

$p$	$0,90$	$1,00$	$1,10$	$1,20$	$1,30$
$q$				$100.000$

c

Teken de grafiek van $p$ als functie van $q$ (dus $q$ langs de horizontale as en $p$ langs de verticale as).

d

Druk $p$ uit in $q$ .

De wekelijkse opbrengst $O$ krijg je door prijs en afzet te vermenigvuldigen.
Er geldt: $O = 2,2 q - 0,00001 q^{2}$ .

e

Toon dat aan.

Misschien vind je het meer voor de hand liggen om $O$ als functie van $p$ te schrijven; economen schrijven $O$ echter gewoonlijk als functie van $q$ .

De helling van de opbrengstgrafiek (met $O$ als functie van $q$ ) is de marginale opbrengst (de "snelheid" waarmee de opbrengst toeneemt).

f

Druk de marginale opbrengst $M O$ uit in $q$ .

g

Bij welke afzet is $M O$ gelijk aan $0$ ?
Wat weet je van de opbrengst bij deze afzet?
Hoe groot zijn de prijs en de opbrengst dan?

5

Een intern onderzoek in het bedrijf leert de fabrikant van de vorige opgave dat de wekelijkse kosten $K$ (in euro's) kunnen worden benaderd met de formule
$K = 0,0000019 q^{2} + 0,058 q + 7000$ .

a

Hoeveel bedragen de kosten als er niets geproduceerd wordt (dat zijn de vaste kosten)?

b

Schrijf de marginale kosten $M K$ als functie van $q$ .

De winst $W$ is het verschil van de opbrengst en de kosten:
$W = O - K$ .

c

Hoe groot is de winst als de opbrengst zo groot mogelijk is?

d

Schrijf de winst $W$ als functie van $q$ .

e

Wat wordt bedoeld met marginale winst?

f

Schrijf de marginale winst $M W$ als functie van $q$ .

g

Hoe kun je de formule voor de marginale winst afleiden uit de formules voor de marginale opbrengst en de marginale kosten?

h

Bij welke afzet is de winst maximaal? Hoe groot is de maximale winst?

i

Wat weet je bij die afzet van $M O$ en $M K$ ?
Licht je antwoord toe.

6

$f : x \to 3 x^{3} - 9 x^{2} + 8 x$

a

Teken op de GR met window $‐1 \leq x \leq 3$ en $‐1 \leq y \leq 5$ de grafiek van $f$ .

b

Zoek op de GR uit in welke punten de raaklijn horizontaal is.

c

Ga na of de afgeleide functie daar $0$ is.

d

Voor welke $x$ is $f (x)$ minimaal en voor welke $x$ maximaal?

7

Uit de driehoekige lap stof hiernaast moet een rechthoekig stuk stof geknipt worden.

a

Zie het plaatje hieronder.

Bereken hoe groot de oppervlakte van de rechthoek is bij een breedte van $12$ cm. Gebruik gelijkvormigheid.

Bekijk het plaatje hieronder.

Noem de breedte van de rechthoek $x$ (cm) en de oppervlakte $O$ (cm²).

b

Toon aan dat $y = 2 \frac{1}{2} x$ .

Er geldt: $O = 45 x - 2 \frac{1}{2} x^{2}$ .

c

Toon dat aan.

De grafiek van $O$ is een bergparabool.

d

Hoe zie je dat aan de formule?

e

Bepaal met de GR bij welke waarde van $x$ de oppervlakte $O$ het grootst is.

f

Bereken ook met differentiëren de eerste coördinaat van de top van deze parabool.

8

Het gewicht dat een balk kan dragen, hangt af van de breedte en van de dikte van die balk.
Een balk heeft een doorsnede van $20$ bij $50$ cm.

a

In welke stand heeft hij de grootste draagkracht, denk je, in stand I of stand II?

De draagkracht is maximaal als het zogenaamde weerstandsmoment zo groot mogelijk is.
Het weerstandsmoment van een balk met breedte $x$ cm en dikte $y$ cm wordt gegeven door de formule $W = x \cdot y^{2}$ .

Uit een boom met een diameter van $30$ cm wordt een balk met een breedte van $x$ cm gezaagd.

b

Toon aan dat $W = 900 x - x^{3}$ .

c

Bereken exact voor welke $x$ $W$ maximaal is.

d

Controleer dat op de GR.

9

Uit een rechthoekig stuk karton van $30$ bij $80$ cm worden in de hoeken vier vierkantjes weggeknipt. Daarna worden de zijkanten langs de stippellijnen gevouwen en met plakband tot een doosje (zonder deksel) geplakt.
Noem de zijde van het ingeknipte vierkant $x$ . We gaan kijken wat de inhoud van het doosje is voor verschillende waarden van $x$ .
De breedte van het doosje noemen we $b$ , de lengte $l$ en de inhoud $i$ , alle in cm.

a

Tussen welke waarden kan $x$ gekozen worden?

b

Druk $b$ en $l$ uit in $x$ .
Druk $i$ uit in $x$ .

c

Maak op de GR een tabel voor $i$ als functie van $x$ . Laat $x$ oplopen met stappen van $1$ .

Als $x$ toeneemt van $0$ tot $15$ , neemt de inhoud $i$ eerst toe en daarna af.

d

Tussen welke gehele getallen ligt de waarde van $x$ waarbij de inhoud maximaal is? Bepaal die waarden met de GR.

e

Bepaal met de grafiek op de GR voor welke $x$ de inhoud maximaal is en hoe groot die maximale inhoud is.

f

Bereken exact voor welke $x$ geldt: $i^{'} (x) = 0$ .

g

Wat zijn dus de exacte afmetingen van het doosje met maximale inhoud?