Als de verkochte hoeveelheid $400$ stuks bedraagt en er wordt meer verkocht, neemt de winst nauwelijks toe.
Dan neemt de gemiddelde winst af.

$50:100=\mathrm{0,50}$ euro ;
$150:200=\mathrm{0,75}$ euro ;
$230:450=\mathrm{0,51}$ euro

Beide zijn gelijk aan $280:600$ (euro/kg).

Kleiner, want de lijn door $(\mathrm{0,0})$ en $(\mathrm{200,155})$ loopt steiler.

$550$ kg (Teken een raaklijn vanuit de oorsprong die de grafiek aan de onderkant raakt.) ;
$250$ kg (Teken een raaklijn vanuit de oorsprong die de grafiek aan de bovenkant raakt.)

$470$ kg
Teken de lijn door de oorspong en het punt van de grafiek bij $100$ kg.
Deze snijdt de grafiek ook in het punt bij $470$ kg.

$29$ miljoen euro

$\mathrm{29.000.000}:7.000$, dus ongeveer $4.000$ euro/auto

Bij $9000$ auto's.
Trek de lijn door $(\mathrm{0,0})$ en $(\mathrm{7,29})$; deze snijdt de grafiek in $(\mathrm{9,37}\frac{1}{2})$.

Bij $8000$ auto's. Trek vanuit $(\mathrm{0,0})$ de lijn die de grafiek aan de onderkant raakt; dat is de lijn met kleinste helling die nog een punt met de grafiek gemeen heeft; het raakpunt is $(\mathrm{8,32}\frac{1}{2})$.

$2140$ euro/auto. Trek de raaklijn aan de grafiek in het punt $(\mathrm{7,29})$; lees de richtingscoëfficiënt van die raaklijn af.

$5500$ auto's. Zoek het punt waar de grafiek het minst steil loopt.

$\frac{1}{8}\cdot 7^3-2\cdot 7^2+12\cdot 7=\mathrm{28,875}$ miljoen euro

$MK=\frac{3}{8}{a}^2-4a+12$, dus $M(7)=\mathrm{2,375}$, dus $\mathrm{2,375}$ miljoen euro per $1000$ auto's, dus $2375$ euro per auto.

$\frac{3}{8}{a}^2-4a+12=2$ dus $a=4$ of $a=6\frac{2}{3}$.
Dus bij $4000$ en bij $6667$ auto's.

Als $M{K}^{\prime }=0$, dus als $\frac{3}{4}a-4=0$, dus als $a=5\frac{1}{3}$.
Of: de functie $MK$ heeft als grafiek een dalparabool. Bepaal vervolgens de coördinaten van de top.

$(\frac{1}{8}\cdot 7^3-2\cdot 7^2+12\cdot 7):7=4\frac{1}{8}$ en $(\frac{1}{8}\cdot 9^3-2\cdot 9^2+12\cdot 9):9=4\frac{1}{8}$

$GK=\frac{K}{a}=\frac{1}{8}{a}^2-2a+12$

$G{K}^{\prime }=0$, dus als $\frac{1}{4}a-2=0$, dus $a=8$.

-

$90.000$ stuks

De grafiek is een rechte lijn die gaat door de punten $(q,p)=(120.000;1)$ en $(q,p)=(110.000;\mathrm{1,10})$.

De richtingscoëfficiënt van de lijn uit het vorige onderdeel is $\mathrm{‐0,00001}$.
Dus een vergelijking is: $p=\mathrm{2,2}-\mathrm{0,00001}q$.

$O=q\cdot p=\mathrm{2,2}q-\mathrm{0,00001}{q}^2$

$MO=O^{\prime }=\mathrm{2,2}-\mathrm{0,00002}q$

$\mathrm{2,2}-\mathrm{0,00002}q=0$ als $q=110.000$.
De opbengst is dan maximaal.
De prijs is dan $\mathrm{1,10}$ euro en de opbrengst $121.000$ euro.

€ $7000$

$MK=\mathrm{0,0000038}q+\mathrm{0,058}$

$q=110.000$, dan $W=121.000-36.370=84.630$ euro

$W=(\mathrm{2,2}q-\mathrm{0,00001}{q}^2)-(\mathrm{0,0000019}{q}^2+\mathrm{0,058}q+7000)$, dus
$W=\mathrm{‐0,0000119}{q}^2+\mathrm{2,142}q-7000$

De helling van de winstgrafiek, dus de "snelheid" waarmee de winst toeneemt.

$MW=\mathrm{‐}\mathrm{0,0000238}q+\mathrm{2,142}$

$MW=MO-MK$

$MW=0$ als $q=90.000$, dan $W=89.390$.

$MW=0$, dus $MO=MK$.

-

$x=\frac{2}{3}$ , $x=1\frac{1}{3}$

$f^{\prime }(x)=9x^2-18x+8$, $f^{\prime }(\frac{2}{3})=f^{\prime }(1\frac{1}{3})=0$

Voor $x=\frac{2}{3}$ maximaal en voor $x=1\frac{1}{3}$ minimaal.

$12\cdot 15=180$ cm²

$\frac{y}{x}=\frac{45}{18}$, dus $y=2\frac{1}{2}$.

$O=x\cdot (45-y)=45x-2\frac{1}{2}{x}^2$

$y$ is een kwadratische functie van $x$ en de coëfficiënt van $x^2$ is negatief.

$x=9$

$O\text{'}=45-5x$ en $45-5x=0$ als $x=9$.

In stand I.

$y^2=900-x^2$ (stelling van Pythagoras), dus
$W=x\cdot y^2=x(900-x^2)=900x-x^3$

$W^{\prime }=900-3x^2$, dus $W^{\prime }=0$ als $x=\sqrt{300}=10\sqrt{3}$.

-

Tussen $0$ en $15$ cm.

$b=30-2x$, $l=80-2x$, $i=x(30-2x)(80-2x)$

-

Tussen $6$ en $7$. Maak een tabel met stapgrootte $1$ voor $i$.

$x\approx \mathrm{6,7}$ en $i\approx 7408$

$i(x)=4x^3-220x^2+2400x$, dus
$i^{\prime }=12x^2-440x+2400$ en $12x^2-440x+2400=0$ als $x=6\frac{2}{3}$.

$6\frac{2}{3}$ bij $16\frac{2}{3}$ bij $66\frac{2}{3}$ cm