Gegeven een functie $f$ met daarop de punten $A$ en $B$, met eerste coördinaat $a$ en $b$.

De gemiddelde groeisnelheid van $f$ op het interval $[a,b]$ is: $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$.
Het is de richtingscoëfficiënt (helling) van lijnstuk $AB$.
Vaak schrijven we $\Delta x$ in plaats van $b-a$ en $\Delta y$ in plaats van $f(b)-f(a)$. Dan is $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$.
We noemen $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ een differentiequotiënt (een quotiënt van verschillen).

Bij het berekenen van de gemiddelde groeisnelheid is een rekenschema handig. We geven een voorbeeld.
Bereken de gemiddelde groeisnelheid van $y=4x-x^3$ op het interval $[1;\mathrm{1,01}]$.
Rekenschema

$x=1$	$\to$	$y=3$
$\underset{¯}{x=\mathrm{1,01}}$	$\to$	$\underset{¯}{y=\mathrm{3,009699}}$
$\Delta x=\mathrm{0,01}$	$\to$	$\Delta y=\mathrm{0,009699}$

Dus de gemiddelde groeisnelheid op $[1;\mathrm{1,01}]$ is $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\mathrm{0,9699}$.

De groeisnelheid van $f(x)$ is het getal dat aangeeft hoeveel keer zo snel $f(x)$ groeit in verhouding tot $x$.

De groeisnelheid voor $x=a$ vind je door in $\frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}$ het getal $\Delta x$ naar $0$ te laten naderen.
De gevonden waarde noteer je met $f^{\prime }(a)$.
De functie $f^{\prime }$ heet de afgeleide functie van $f$.
Bij een functie de afgeleide bepalen heet: de functie differentiëren.
Raaklijn
Als $P$ het punt op de grafiek van $f$ met eerste coördinaat $a+\Delta x$ is, nadert lijn $AP$ de raaklijn in $A$ als $\Delta x$ naar $0$ nadert.
De raaklijn in $A$ aan de grafiek van $f$ is de lijn door $A$ met $f^{\prime }(a)$ als richtingscoëfficiënt.
Als je op een punt van de grafiek inzoomt, wordt de grafiek bij dat punt (bijna) recht. De raaklijn in dat punt is die rechte lijn.

Somregel
als $s(x)=f(x)+g(x)$ dan $s^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)+g^{\prime }(x)$.

Veelvoudregel
als $g(x)=c\cdot f(x)$ voor een zeker getal $c$, dan $g^{\prime }(x)=c\cdot f^{\prime }(x)$.

De afgeleide van enkele functies
Als $f:x\to ax+b$, dan $f^{\prime }(x)=a$.
Als $f:x\to x^2$, dan $f^{\prime }(x)=2x$.
Als $f:x\to x^3$, dan $f^{\prime }(x)=3x^2$.
Uit het voorgaande volgt:
als $f:x\to a{x}^3+b{x}^2+cx+d$, dan $f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c$.

Als $f:x\to 3-2x$, dan $f^{\prime }(x)=\mathrm{‐}2$.
Als $f:x\to 3x^2-2x+1$, dan $f^{\prime }(x)=6x-2$.
Als $f:x\to 3x^3+3x^2-2x+1$, dan $f^{\prime }(x)=9x^2+6x-2$.

Zie de figuur hieronder.
$f(x)$ is maximaal voor $x=\mathrm{‐2}$, het maximum is $3$.
$f(x)$ is minimaal voor $x=1$, het minimum is $\mathrm{‐2}$.

Bij een gladde functie geldt:
als $f(x)$ maximaal of minimaal is voor $x=a$, dan $f^{\prime }(a)=0$.