1

In onderstaande grafiek is het prijsverloop van olie, aardgas en steenkool weergegeven in de periode van 1973 tot 1984 (prijzen in guldens per kWh).

De prijs van steenkool bereikte in de periode van 1973 tot en met 1984 twee keer een maximum.

a

Hoe groot zijn deze maximale prijzen?

b

Wanneer steeg volgens de grafiek de prijs van steenkool het snelst? Met welke snelheid (ongeveer)?

c

Wanneer steeg de prijs van aardgas sneller dan die van steenkool?

d

Wanneer was het prijsverschil tussen olie en aardgas het grootst?
Wat weet je van de hellingen van de beide grafieken bij dat tijdstip?

2

Trajectcontrole is een methode die de overheid gebruikt om het naleven van de maximumsnelheid te controleren (uit Wikipedia). Neem aan: op twee punten die $1$ km van elkaar liggen wordt het tijdstip gemeten waarop een voertuig passeert. Er geldt een maximum snelheid van $120$ km/u.

a

Wat is de minimale tijd die een auto over die afstand moet doen om de maximum snelheidslimiet niet te overtreden?

b

Wat is er aan te merken op dit soort meting?

Een automobilist rijdt op de eerste $500$ m van het traject gemiddeld $150$ km/u.

c

Wat moet zijn gemiddelde snelheid op de tweede $500$ meter zijn om niet gesnapt te worden? ( $90$ km/u is niet het juiste antwoord!)

3

$f : x \to \frac{1}{2} x^{2}$ en $g : x \to x$

a

Bereken voor welke $x$ geldt: $f^{'} (x) = g^{'} (x)$ .

b

Controleer je antwoord op a met behulp van de grafieken van $f$ en $g$ .
Licht je antwoord toe.

c

Controleer je antwoord op a met behulp van de grafieken van $f^{'}$ en $g^{'}$ .
Licht je antwoord toe.

4

De grafiek hiernaast geeft weer hoe de waarde van een bepaald type auto afhangt van zijn leeftijd.
De waardestijging is op elk moment negatief. De waardedaling is het tegengestelde daarvan; die is dus positief.

a

Hoe groot is de gemiddelde waardedaling in de eerste drie jaar? Geef het antwoord in euro's per jaar.

b

Wanneer was de waardedaling het kleinst?

c

Hoe groot was de waardedaling per dag toen de auto twee jaar oud was?

5

Een monopolist weet uit ervaring dat zijn wekelijkse afzet $q$ afhangt van de prijs $p$ die hij per product vraagt, volgens de formule $q = ‐ \frac{1}{5} p + 12$ .
De opbrengst $O$ is het product van $p$ en $q$ .

a

Druk $O$ uit in $q$ .

Voor de kosten $K$ geldt: $K = 10 q + 45$ .
De winst $W$ is het verschil van $O$ en $K$ : $W = O - K$ .

b

Druk $W$ uit in $q$ .

De hellingfuncties van $O$ , $K$ en $W$ zijn respectievelijk de marginale opbrengst $M O$ , de marginale kosten $M K$ en de marginale winst $M W$ .

c

Druk $M O$ , $M K$ en $M W$ uit in $q$ .

d

Welk verband is er tussen $M O$ , $M K$ en $M W$ ?

e

Teken in één window de grafieken van $O$ , $K$ en $W$ .

f

Teken in één window de grafieken van $M O$ , $M K$ en $M W$ .

g

Hoe kun je in de figuur van vraag f zien bij welke afzet de totale opbrengst maximaal is?
Klopt dat met de figuur van vraag e?
Licht je antwoord toe.

h

Op welke twee manieren kun je in de figuur van vraag f zien bij welke afzet de totale winst maximaal is?

i

Controleer je antwoord op vraag h op twee manieren in de figuur van vraag e.

j

Hoe zie je aan de grafiek van $K$ dat de marginale kosten constant zijn?

k

Lees af bij welke afzet de monopolist winst maakt.
Controleer je antwoord met een berekening.

6

Het komt in de farmaceutische industrie nog al eens voor dat een bepaald bedrijf een medicament ontwikkelt dat zo aan de behoeften voldoet dat het door geen middel van een andere producent vervangen kan worden. De producent kan dan de prijs min of meer vrij bepalen.
LIVARAN is zo'n medicament. De samenhang tussen de vraag naar LIVARAN en de prijs kan worden beschreven door de formule: $p = 16 - 0,00001 \cdot q$ .
Hierbij is $p$ de prijs in euro's per milligram LIVARAN en $q$ de verkochte hoeveelheid in mg.

Voor $q$ geldt de beperking: $200.000 \leq q \leq 1.000.000$ .

a

Tussen welke grenzen ligt de prijs per mg LIVARAN?

b

Hoe groot is de omzet als er $500.000$ mg LIVARAN verkocht wordt?

c

Bereken die waarde van $q$ waarvoor de omzet maximaal is.
Hoe hoog is in dit geval de prijs per mg LIVARAN?

Voor de vervaardiging van LIVARAN zijn de vaste kosten $1.200.000$ euro; hierbij komt (gemiddeld) $4$ euro per mg.

d

Bereken de winst bij verkoop van $500.000$ mg LIVARAN.

e

Bereken langs algebraïsche weg de maximale winst.

7

Bereken van de volgende drie functies exact de punten van de grafiek waar de raaklijn horizontaal is. Ga vervolgens met de GR na of de functie daar minimaal, maximaal of geen van beide is.

$y = 2 x^{3} + 6 x + 5$
$y = x^{3} + 9 x^{2} + 27 x$
$y = x^{3} + {(x + 1)}^{2} - 3 x + 3$

8

Laat met behulp van de afgeleide functie zien dat de functie $f (x) = ‐ x^{3} + x^{2} - x + 10$ een dalende functie is.

9

$f : x \to 2 x^{2} - 3 x + 1$

a

Bereken exact de waarden van $x$ met $f (x) = 0$ .

Laat $x$ toenemen van $2$ tot $2 + Δ x$ . Dan neemt $f (x)$ toe met $Δ f$ .

b

Laat zien dat $Δ f = 2 {(Δ x)}^{2} + 5 Δ x$ .

c

Tot welke waarde nadert $\frac{Δ f}{Δ x}$ exact als $Δ x$ naar $0$ nadert?

d

Hoe kun je je antwoord op c controleren met $f^{'} (x)$ ?

10

Hiernaast staan in één plaatje de grafiek van een functie $f$ en een deel van de grafiek van $f^{'}$ .
De grafiek van $f$ is symmetrisch in de $y$ -as.

a

Maak de grafiek van $f^{'}$ op het werkblad af.

Op de grafiek van $f$ ligt het punt $P (‐ 1, ‐ \frac{3}{4})$ en op de grafiek van $f^{'}$ het punt $(‐ 1,1)$ .

b

Geef een exacte vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van $f$ in $P$ .

c

Hoe zie je aan de grafiek van $f^{'}$ in welk punt links van de $y$ -as de grafiek van $f$ het snelst stijgt?

11

Twee foto's vanuit hetzelfde standpunt van dezelfde auto: stilstaand en rijdend. De rijdende auto werd gefotografeerd met een sluitertijd van $\frac{1}{15}$ sec. De auto is $4,36$ meter lang.

Op de rechter foto is de auto $30$ % langer.

Maak op basis van de rechter foto een schatting van de snelheid van de auto in km/u.