5A.8 Rekentechniek

In de rekentechniek wordt de stof over kwadratische vergelijkingen en kwadratische functies uit de derde klas herhaald.

Los de volgende vergelijkingen in $x$ exact op.

$x^{2} = 4$	$x^{2} = 5$
${(x - 1)}^{2} = 4$	${(x - 1)}^{2} = 5$
$2 {(x - 1)}^{2} = 4$	$2 {(x - 1)}^{2} + 3 = 9$
$2 {(x + 1)}^{2} + 5 = 5$	$2 {(x + 1)}^{2} + 5 = 3$

Als je de vergelijking ${(x - 1)}^{2} = 4$ op moet lossen, kom je er nog wel uit als je de haakjes wegwerkt, je kunt dan ontbinden.
Met ontbinden lukt je dat waarschijnlijk niet als je de haakjes wegwerkt bij ${(x - 1)}^{2} = 5$ .
Je lost de vergelijking ${(x - 1)}^{2} = 5$ handig op als volgt.
${(x - 1)}^{2} = 5$
$x - 1 = \sqrt{5}$ of $x - 1 = ‐ \sqrt{5}$
$x = 1 + \sqrt{5}$ of $x = 1 - \sqrt{5}$
En $2 {(x - 1)}^{2} = 4$ oplossen gaat handig zo.
$2 {(x - 1)}^{2} = 4$
${(x - 1)}^{2} = 2$
$x - 1 = \sqrt{2}$ of $x - 1 = ‐ \sqrt{2}$
$x = 1 + \sqrt{2}$ of $x = 1 - \sqrt{2}$

Als je de haakjes wegwerkt bij ${(x - 1)}^{2} = 5$ ,
krijg je $x^{2} - 2 x - 4 = 0$ .
Om $x^{2} - 2 x - 4$ te herschrijven tot ${(x - 1)}^{2} - 5$ moet je de omgekeerde weg bewandelen. Dat noemen we kwadraatafsplitsen.
Dus:
$x^{2} - 6 x + 10$ $\to$ [KWADRAATAFSPLITSEN] $\to$ ${(x - 3)}^{2} + 1$
$x^{2} - 5 x + 10$ $\to$ [KWADRAATAFSPLITSEN] $\to$ ${(x - 2 \frac{1}{2})}^{2} + 3 \frac{3}{4}$
$2 x^{2} - 8 x + 9$ $\to$ [KWADRAATAFSPLITSEN] $\to$ $2 {(x - 2)}^{2} + 1$

Ga na dat bovenstaande juist is door de haakjes in de vormen 'rechts' weg te werken.

Het volgende vind je wat uitgebreider in hoofdstuk 28 van 3 vwo.

De maten (in m) van een L-vormig gazon staan in figuur 1.

figuur 1

figuur 2

Druk de oppervlakte van de figuur 1 in $x$ uit.

We vullen het L-vormige gazon aan tot een vierkant gazon.
Zie figuur 2.

Wat is de oppervlakte van het stuk dat erbij is gekomen?

De oppervlakte van de L-vorm is het verschil in oppervlakte van twee vierkanten.

Neem over en vul in.
$x^{2} + 6 x = {(x + 3)}^{2} -_$

Het kwadraatafsplitsen van $x^{2} + 6 x - 10$ gaat als volgt.

$x^{2} + 6 x - 10$	$x^{2} + 6 x$ vervangen door ${(x + 3)}^{2} - 9$
${(x + 3)}^{2} - 9 - 10$	Vereenvoudigen
${(x + 3)}^{2} - 19$

Los met kwadraatafsplitsen op: $x^{2} + 6 x = 11$ .

We bekijken de vorm $x^{2} + 12 x$ . Denk hier een plaatje bij zoals getekend is.

Neem over en vul in: $x^{2} + 12 x = {(x +_)}^{2} -_$ .

Los op: $x^{2} + 12 x = 4$ .

Los op: $x^{2} + 12 x + 4 = 0$ .

We hebben steeds de oppervlakte van een L-vorm geschreven als het verschil in oppervlakte van twee vierkanten, bijvoorbeeld $x^{2} + 10 x = {(x + 5)}^{2} - 25$ .

We noemen dit, zoals gezegd, kwadraatafsplitsen.
We gebruiken dit bij het oplossen van vergelijkingen.

Voorbeeld:

Los op:

$x^{2} + 10 x + 12$	$=$	$0$	$x^{2} + 10 x$ vervangen door ${(x + 5)}^{2} - 25$
${(x + 5)}^{2} - 25 + 12$	$=$	$0$	Vereenvoudigen
${(x + 5)}^{2} - 13$	$=$	$0$	PLUS 13
${(x + 5)}^{2}$	$=$	$13$
$x = ‐ 5 + \sqrt{13}$	of	$x = ‐ 5 - \sqrt{13}$

Splits het kwadraat af. (De eerste is als voorbeeld voorgedaan.)

$x^{2} - 20 x = {(x - 10)}^{2} - 100$

$x^{2} - 7 x = {(x - 3 \frac{1}{2})}^{2} -_$

$x^{2} - 8 x$

$x^{2} + 11 x$

$x^{2} - 21 x$

$x^{2} + x$

$x^{2} - x$

Kwadraatafsplitsen kun je ook gebruiken om het maximum of minimum van een kwadratische functie te vinden. Dat bekijken we in de volgende opgave.

Gegeven is de functie $f : x \to x^{2} - 4 x - 3$ .

Splits het kwadraat af van $f (x)$ , dus schrijf $f (x)$ in de vorm: $f (x) = {(x -_)}^{2} -_$ , met de juiste getallen op de invulstrepen.

Welke waarden kan ${(x - 2)}^{2}$ bereiken?

Voor welke $x$ is $f (x)$ minimaal?
Wat is de minimale waarde van $f (x)$ ?

Als coëfficiënt vóór x² niet 1 is.

Voorbeeld:

Bekijk hoe je kwadraat afsplitst bij vormen waarin de coëfficiënt vóór $x^{2}$ niet $1$ is.

$y = 2 x^{2} + 4 x - 7$	de coëfficiënt van $x^{2}$ buiten haakjes brengen
$y = 2 (x^{2} + 2 x) - 7$	binnen de haakjes kwadraatafsplitsen
$y = 2 ({(x + 1)}^{2} - 1) - 7$	de buitenste haakjes wegwerken
$y = 2 {(x + 1)}^{2} - 2 - 7$	vereenvoudigen
$y = 2 {(x + 1)}^{2} - 9$

Voorbeeld

$y = ‐ x^{2} + 4 x - 7$	de coëfficiënt van $x^{2}$ buiten haakjes brengen
$y = ‐ (x^{2} - 4 x) - 7$	binnen de haakjes kwadraatafsplitsen
$y = ‐ ({(x - 2)}^{2} - 4) - 7$	de buitenste haakjes wegwerken
$y = ‐ {(x - 2)}^{2} + 4 - 7$	vereenvoudigen
$y = ‐ {(x + 1)}^{2} - 3$

Gegeven is de functie $y = 2 x^{2} + 4 x - 7$ , zie het eerste voorbeeld.

Wat is de minimale waarde die $y$ kan bereiken?
Voor welke $x$ gebeurt dat?

Gegeven is de functie $y = ‐ x^{2} + 4 x - 7$ , zie het tweede voorbeeld.

Waarom bereikt $y$ nu een maximale waarde?
Wat is deze maximale waarde en voor welke waarde van $x$ wordt die bereikt?

Je kunt de antwoorden op de vorige onderdelen ook met differentiëren beantwoorden.

Voer dat uit.

Splits van de volgende vormen het kwadraat af.

$3 x^{2} + 3 x + 4$
$‐ x^{2} + 5 x + 4$
$\frac{1}{2} x^{2} - 3 x - 2$

a b c

-formule

Met behulp van kwadraatafsplitsen kun je de $a b c$ -formule bewijzen, zie hoofdstuk 29.5 van 3 vwo.
We citeren.

Of de vergelijking $a x^{2} + b x + c = 0$ oplossingen heeft, is te bepalen met de waarde van $D = b^{2} - 4 a c$ . We noemen dit getal de discriminant van de vergelijking.
Discriminare (Latijn) betekent: onderscheid maken. (Hier wordt onderscheid gemaakt tussen het aantal oplossingen.)

De $a b c$ -formule (wortelformule)
De vierkantsvergelijking $a x^{2} + b x + c = 0$ met $a \neq 0$ heeft

geen oplossingen als $D < 0$ ,
één oplossing als $D = 0$ , namelijk: $x = ‐ \frac{b}{2 a}$ en
twee oplossingen als $D > 0$ namelijk:
$x = \frac{‐ b + \sqrt{D}}{2 a}$ of $x = \frac{‐ b - \sqrt{D}}{2 a}$ .

Voorbeeld:

$7 x^{2} - 6 x + 1 = 0$
Deze vergelijking krijg je uit $a x^{2} + b x + c = 0$ door $a = 7$ , $b = ‐ 6$ en $c = 1$ in te vullen.
$D = {(‐ 6)}^{2} - 4 \cdot 7 \cdot 1 = 36 - 28 = 8$ (dus de vergelijking heeft twee oplossingen)
$\sqrt{D} = \sqrt{8} = 2 \sqrt{2}$
De oplossingen van de vergelijking zijn:
$x = \frac{‐ (‐ 6) + 2 \sqrt{2}}{14}$ of $x = \frac{‐ (‐ 6) - 2 \sqrt{2}}{14}$ , dus
$x = \frac{3}{7} + \frac{1}{7} \sqrt{2}$ of $x = \frac{3}{7} - \frac{1}{7} \sqrt{2}$

In de $a b c$ -formule komt $a$ in de noemer voor.
Dus $a$ mag niet $0$ zijn in de vergelijking $a x^{2} + b x + c = 0$ .
Als $a = 0$ , pas je de $a b c$ -formule natuurlijk ook niet toe.

Kun je de vergelijking dan toch oplossen?

Los de volgende vierkantsvergelijkingen op met de $a b c$ -formule. Kijk goed naar het voorbeeld.

$2 x {}^{2}- 3 x - 35 = 0$	$4 x = 1 + 4 x^{2}$
$2 x^{2} + 4 x - 1 = 0$	${(x - 3)}^{2} = 5 - 3 x$
$7 x^{2} - 6 x + 2 = 0$	$5 x - 3 x^{2} = 0$
$\frac{1}{2} x^{2} - 3 x - 4 \frac{1}{2} = 0$