Van alles over regelmatige veelhoeken

Een regelmatige veelhoek is een veelhoek waarvan alle zijden even lang zijn en alle hoeken even groot.

Hierboven zijn zes regelmatige veelhoeken op volgorde van het aantal hoekpunten naast elkaar in een band gezet, telkens met een zijde op de onderrand. De bovenrand wordt beurtelings met een hoekpunt of met een hele zijde geraakt. Je zou kunnen zeggen dat de figuren dezelfde hoogte hebben.

Zet de figuren (op het oog) op volgorde van grootte van oppervlakte.

De figuren zijn niet zo gemakkelijk in oppervlakte te vergelijken. Vooral de vijfhoek en zevenhoek zijn lastig.

Hoe weet je zeker dat de achthoek kleiner is dan het vierkant?

De zeshoek en de driehoek zijn prima te vergelijken. Dat doe je door de zeshoek te verdelen in zes gelijkzijdige driehoeken en de driehoek in dezelfde driehoeken te verdelen.

Hoe verhouden de oppervlakten van de driehoek en de zeshoek zich?

Op het werkblad staat een regelmatige vijfhoek, zevenhoek en negenhoek. Kopieer die op stevig papier en knip ze uit.
We gaan de vijfhoek inpakken met een reep papier. Knip (of beter snijd) zelf zo'n reep, op de juiste breedte.

Leg de reep langs een zijde en sla hem om bij een zijde, zoals hiernaast.
Doe hetzelfde bij de volgende zijde en probeer op die manier de vijfhoek 'in te pakken'. Lukt dat precies?

Pak zo ook de regelmatige zevenhoek in.

En doe hetzelfde bij de regelmatige negenhoek.

Hoe verloopt het inpakken bij een regelmatige driehoek? Probeer dit eerst te tekenen en voer het daarna eventueel ter controle uit.

Als je het inpakken bij een regelmatige achthoek wilt uitvoeren, blijkt dat niet te lukken.

Waarom lukt dat niet? Teken de situatie.

Plaats twee spiegels verticaal op tafel, zodat ze een hoek vormen. Het is handig als je ze met plakband aan elkaar vastmaakt. Het is de bedoeling dat je de hoek tussen de spiegels kunt variëren. Zet het paar spiegels op een gekleurd stuk papier, zo dat het stuk tussen de spiegels een gelijkbenige driehoek is. Het stuk wordt gespiegeld, zodat je een veelhoek te zien krijgt. Zie foto. Of het een driehoek, vierkant, vijfhoek,... wordt, hangt af van de hoek die de spiegels met elkaar maken.

Onder welke hoek tussen de spiegels moet je de spiegels plaatsen zodat je een vierkant krijgt?

En bij welke hoek krijg je een regelmatige zevenhoek?

We herhalen eerst een aantal bekende bekende feitjes over hoeken uit de onderbouw.

De som van de hoeken van een driehoek is $180 °$ .
Een gestrekte hoek is $180 °$ .
Een totale draaiing rondom een punt is $360 °$ .
De twee basishoeken van een gelijkbenige driehoek zijn gelijk.

We gaan op twee manieren berekenen hoe groot de hoeken zijn van een regelmatige zevenhoek.

Manier 1: 'schelp-methode'
Als je vanuit een van de hoekpunten de diagonalen trekt, wordt de zevenhoek verdeeld in 5 driehoeken. Hun hoeken vormen samen precies de hoeken van de zevenhoek.

Hoe groot zijn (dus) de hoeken van de zevenhoek samen?

Hoe groot is dus elke hoek van de zevenhoek?

Manier 2: 'taart-methode'
Je kunt de zevenhoek vanuit het midden in 7 gelijke driehoeken verdelen.

Hoe groot (exact) is de hoek van zo'n 'taartstukje' in het midden van de zevenhoek?
Hoe groot zijn de andere twee hoeken van zo'n stuk?

Wat vind je nu voor de hoek van de zevenhoek?
Ga na dat dit hetzelfde antwoord geeft als vraag b.

Bereken ook hoe groot een hoek is van de regelmatige vijfhoek, zeshoek en achthoek.

Geef een formule voor de hoek van een regelmatige $n$ -hoek.

Hieronder staat een foto van de zijgevel van een gebouw met appartementen in Nijmegen. In het bovenste stuk kun je de helft van een regelmatige twaalfhoek herkennen.
(Onder de hoekpunten genummerd met 1 en 7 loopt de muur in werkelijkheid verticaal; op de foto is dat vertekend.)

Hoe groot is elk van de hoeken?

Een diagonaal is een verbindingslijnstuk tussen twee hoekpunten van een veelhoek die geen buren zijn van elkaar. Een driehoek heeft geen diagonalen.

Hoeveel diagonalen heeft elk van de ander vijf regelmatige veelhoeken van opgave 48?

Geef een formule voor het aantal diagonalen van een regelmatige $n$ -hoek.

De diagonalen van een vierkant zijn even lang. De diagonalen van de vijfhoek zijn ook even lang.

Hoe zit dat bij de regelmatige zeshoek, zevenhoek en achthoek: hoeveel verschillende lengten zijn er? Hoeveel van elke lengte?

En hoe zit dat bij een regelmatige twintighoek en voor een regelmatige eenentwintighoek: hoeveel verschillende lengten zijn er?

(hint)

Gebruik de symmetrie-as van de figuur. Of probeer een regelmaat te vinden.

Het vierkant

Op een gekleurd vierkant is een wit, kleiner vierkant gelegd. De hoekpunten van het witte vierkant zijn de middens van de zijden van het gekleurde vierkant.

Leg uit dat de oppervlakte van het witte vierkant de helft is van de oppervlakte van het gekleurde vierkant.

Noem de zijde van het witte vierkant $z$ en de diagonaal van het witte vierkant $d$ .

Leg uit dat geldt: $d^{2} = 2 \cdot z^{2}$ .

(hint)

Kijk naar de oppervlaktes van beide vierkanten, of gebruik de stelling van Pythagoras.

Dus $\frac{d^{2}}{z^{2}} = 2$ , ofwel ${(\frac{d}{z})}^{2} = 2$ .
Conclusie: $\frac{d}{z} = \sqrt{2}$ .

In het witte vierkant kun je op dezelfde manier weer een gekleurd vierkant plaatsen. En daarin weer een wit vierkant, etcetera.
Met de applet geneste n-hoeken kun je de figuur hiernaast tekenen.

Wat is de verhouding van de zijden van het binnenste gekleurde vierkantje en het buitenste gekleurde vierkant?

Welk deel van de hele figuur is wit gekleurd?

Een regelmatige vierhoek is een vierkant. Alle vierkanten zijn gelijkvormig.
Uit opgave 55 volgt dat er een vaste verhouding is tussen een diagonaal en een zijde van een vierkant.

Van elk vierkant is een diagonaal $\sqrt{2}$ keer zo lang als een zijde.
Een rekenmachine geeft $\sqrt{2} \approx 1,4142...$ .

Dit is in overeenstemming met wat je in paragraaf 3 hebt geleerd:
het hele vierkant heeft een $2$ keer zo grote oppervlakte als het witte vierkant en dus een $\sqrt{2}$ keer zo grote zijde.

De regelmatige zeshoek

De regelmatige zeshoek is bekend van honingraten, kippengaas en basaltblokken op een zeewering. Op kleinere schaal komt de zeshoek ook voor in sneeuwkristallen.

Verdeel op het werkblad een regelmatige zeshoek met de 'taart-methode' in zes driehoeken.
Leg uit dat deze driehoeken allemaal gelijkzijdig zijn.

Verdeel op het werkblad een regelmatige zeshoek in drie ruiten.

Een regelmatige zeshoek heeft drie lange diagonalen; die gaan door het middelpunt.

Hoeveel keer zo lang is zo'n diagonaal als de zijde van de zeshoek?

Er zijn zes diagonalen die niet door het middelpunt gaan. Als je die allemaal trekt, krijg je een bekende figuur.

Teken deze figuur op het werkblad. Hoe heet deze bekende figuur?

In 1958 werd in Brussel ter gelegenheid van de wereldtentoonstelling het Atomium gebouwd. Het bestaat uit negen bollen, die verbonden zijn door buizen.
Op de foto is de omtrek van het Atomium een regelmatige zeshoek.

Op de foto zie je maar 7 bollen.

Waar zijn die andere twee?

Wat heeft het Atomium met een kubus te maken?

De regelmatige vijfhoek

Tussen de regelmatige vierhoek en de regelmatige zeshoek - die beiden apart bekeken zijn - zit de regelmatige vijfhoek. Die brengt meer problemen met zich mee.

Pentagon
Een van de grootste gebouwen ter wereld is het Pentagon in Washington, waarin het Amerikaanse ministerie van defensie is gevestigd. Het gebouw is tijdens de tweede wereldoorlog gebouwd en in 1998 gerenoveerd.
Het gebouw dankt zijn naam aan zijn vorm: een regelmatige vijfhoek (penta = vijf, gonus = hoek).

Oppervlakte van het terrein binnen de buitenste muren: 97.000 m²
Oppervlakte van het open gebied in het midden van het gebouw: 20.000 m²
Parkeerplaatsen: 8.770 voertuigen
Vloeroppervlak: 620.000 m²
Inhoud: 2.000.000 m³
Lengte van de buitengevel: 261 m
Hoogte: 24 m
Aantal verdiepingen: 7 (5 bovengronds, 2 ondergronds)
Totale lengte van de gangen: 28 km

Het gebouw is opgedeeld in vijf rechthoeken en vijf vliegers.
We weten inmiddels (zie opgave 52) dat een regelmatige vijfhoek hoeken heeft van $108 °$ .

Hoe groot zijn de andere hoeken van de vlieger?

Middenin is een open ruimte van 20.000 m², terwijl de hele vijfhoek een oppervlakte heeft van 97.000 m².
De buitenomtrek is een uitvergroting van de binnenomtrek.

Bepaal de lengtevergrotingsfactor door te meten in de figuur.
Bereken ook de lengtevergrotingsfactor aan de hand van de gegeven oppervlaktes.
Komen ze overeen?

Klopt de opgegeven vloeroppervlakte met de inhoud?

De vijf diagonalen van een regelmatige vijfhoek zijn allemaal even lang. Samen vormen ze het zogenaamde pentagram. Het is een belangrijk symbool in occulte zaken: het wordt geassocieerd met mysterie en magie. Al vele eeuwen bestaat de overtuiging, dat het pentagram een krachtige bescherming biedt tegen duivelse slechtheid en demonen. Het is dus een veiligheidssymbool en het werd soms als amulet gedragen om een gelukkige en veilige thuiskomst te bevorderen. Het wordt ook wel pentalpha genoemd, omdat er vijf letters A in zijn te herkennen.

Hoeveel verschillende typen driehoeken kun je in de vijfhoek met pentagram ontdekken?
(Gebruik de figuur op het werkblad.)
Hoeveel driehoeken zijn er van elk type?

Er komen maar drie verschillende hoeken voor in de figuur.

Hoe groot zijn die hoeken?

Ga na dat een van de typen driehoeken in drie groottes voorkomt en het andere type driehoek in twee groottes.

Voor de zijden van het pentagram nemen we $1$ .
Dus $A S = B S = 1$ .
De zijde van de vijfhoek noemen we $z$ .

Leg uit dat diagonaal $A C$ dan lengte $z + 1$ heeft (en de andere diagonalen dus ook).

(hint)

Driehoek

C B S

is gelijkbenig. (Waarom?)

We nemen de driehoeken $A B S$ en $C E S$ apart.
Die twee driehoeken zijn gelijkvormig.

Neem de figuur over en schrijf bij de zes zijden van de driehoeken hoe lang ze zijn (uitgedrukt in $z$ ).

Hoe groot is de lengtevergrotingsfactor?

Leg uit dat geldt $z + 1 = z^{2}$ .

De exacte waarde van $z$ is niet zo gemakkelijk te vinden. Daarvoor moeten we de kwadratische vergelijking $z + 1 = z^{2}$ oplossen. Dat kan met de abc-formule.

Ga na dat je dan als oplossingen krijgt:
$z = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{5}$ en $z = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \sqrt{5}$ .

Welke van de twee is de juiste waarde van $z$ ?

Het getal $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{5}$ speelt een grote rol bij de regelmatige vijfhoek en het pentagram.
Het is het getal $φ$ dat je in paragraaf 4 al bent tegengekomen.
$φ = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{5} \approx 1,6180...$ wordt het gulden getal genoemd.
Er geldt: $φ^{2} = φ + 1$ .

Waarom geldt $φ^{2} = φ + 1$ ?

$φ$ is een bijzonder getal.
Een van de eigenschappen van $φ$ is dat $\frac{1}{φ} = φ - 1$ .

Ga dat na op je rekenmachine.

Hoe volgt deze eigenschap uit $φ^{2} = φ + 1$ ?

Stelling
Een diagonaal van een regelmatige vijfhoek wordt door een andere diagonaal gesneden in twee stukken die zich verhouden als $1 : φ$ .
Met andere woorden:
De diagonalen van een regelmatige vijfhoek verdelen elkaar volgens de gulden snede.

Ga de juistheid van deze stelling na.

We beginnen met een lijnstuk $A B$ :

Als je een punt $X$ kent dat lijnstuk $A B$ verdeelt volgens de gulden snede, ken je automatisch nog een tweede punt $Y$ dat $A B$ verdeelt volgens de gulden snede; namelijk het spiegelbeeld van $X$ in het midden van $A B$ .

Stel dat $A X = 1$ .

Hoe lang is dan $B X$ ?
En hoe lang $X Y$ (uitgedrukt in $φ$ )?

Let nu op lijnstuk $A Y$ .

Ga met je rekenmachine na dat $A X$ $φ$ keer zo lang is als $X Y$ .

Kun je dat ook laten zien zonder je rekenmachine te gebruiken (dus met algebra)?

Stel we kennen op een lijnstuk de punten die het verdelen volgens de gulden snede. Dan kunnen we het pentagram construeren (met passer en 'latje'), zonder een lijnstuk of een hoek op te meten.

Trek de cirkel met $X$ als middelpunt die door $A$ gaat. En net zo de cirkel met $Y$ als middelpunt die door $B$ gaat.

Leg uit wat je met die cirkels opschiet.

Maak op het werkblad het pentagon af zonder lijnstukken of hoeken te meten.