Driehoek, vijfhoek, zevenhoek, achthoek, zeshoek, vierhoek

De achthoek past precies in het vierkant, ofwel: je kunt de achthoek maken door van het vierkant de vier hoeken af te knippen. Zie figuur hieronder.

Zie figuur hieronder: de oppervlakten verhouden zich als $4:6=2:3$.

Zie figuur hieronder.

Zie figuur hieronder.

Vijf driehoeken, dus samen $5\cdot 180°=900°$

$\frac{900°}{7}=128\frac{4}{7}°\approx \mathrm{128,6}°$

Punt: $\frac{360°}{7}=51\frac{3}{7}°$;
Andere twee hoeken: $\frac{1}{2}\cdot (180°-51\frac{3}{7}°)=64\frac{2}{7}°$

In een hoek van de zevenhoek komen twee driehoeken samen, dus $2\cdot 64\frac{2}{7}°=128\frac{4}{7}°$; klopt.

vijfhoek: $\frac{3\times 180°}{5}=108°$
zeshoek: $\frac{4\times 180°}{6}=120°$
achthoek: $\frac{6\times 180°}{8}=135°$

regelmatige $n$-hoek: $\frac{(n-2)\times 180°}{n}$

vierhoek: 2 diagonalen; vijfhoek: 5 diagonalen; zeshoek: 9 diagonalen; zevenhoek: 14 diagonalen; achthoek: 20 diagonalen

Vanuit elk van de $n$ hoekpunten kun je $n-3$ diagonalen trekken, maar dan heb je alles dubbel geteld,
dus aantal diagonalen = $\frac{(n-3)\times n}{2}=\frac{1}{2}\cdot (n^2-3n)=\frac{1}{2}{n}^2-1\frac{1}{2}n$

Met een redenering (zie figuren bij c):
20-hoek: Een symmetrie-as van een 20-hoek verdeelt de hoekpunten in twee groepen van 10. Vanuit een hoekpunt links van de symmetrie-as gaan 8 diagonalen van verschillende lengte; plus de diagonaal die twee diametrale punten met elkaar verbindt. Totaal dus 9 verschillende lengten.
21-hoek: Bij een 21-hoek gaat een symmetrie-as door een hoekpunt. Links van dit punt bevinden zich nog 10 hoekpunten en rechts ervan ook. Vanuit het hoekpunt op de symmetrie-as gaan links 9 diagonalen met verschillende lengte naar 9 hoekpunten. Rechts van de symmetrie-as zitten diagonalen van dezelfde lengte. Dus: er zijn 9 verschillende lengten.
Met regelmaat (maak een tabel):

$n$-hoek (even)	4	6	8	10	...	20
aantal verschillende lengten	1	2	3	4	...	9

$n$-hoek (oneven)	3	5	7	9	...	21
aantal verschillende lengten	0	1	2	3	...	9

Je kunt de hoeken naar binnen vouwen. Zie figuur.

De zijde van het grote vierkant is gelijk aan de diagonaal van het witte vierkant, dus de oppervlakte van het grote vierkant is $d\cdot d=d^2$.
De opp. van het witte vierkant is $z\cdot z=z^2$.
De opp. van het grote vierkant is het dubbele van de oppervlakte van het witte vierkant, dus $d^2=2\cdot z^2$.
Anders: pas de stelling van Pythagoras toe in een half wit vierkant; Dat geeft: $z^2+z^2=d^2$, ofwel $d^2=2\cdot z^2$.

De factor van de zijde van een gekleurde naar de grotere erop volgende gekleurde vierkant is $\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=2$, dus de verhouding is $1:2^3=1:8$.

$\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{64}=\frac{21}{64}$ deel

Zie bovenste figuur hiernaast.

De hoek in het midden is $\frac{360°}{6}=60°$. Omdat de hoeken samen $180°$ zijn en van de gelijkbenige driehoek de twee basishoeken gelijk zijn, zijn de hoeken aan de buitenrand elk $\frac{1}{2}\cdot (180°-60°)=60°$. De drie hoeken van de driehoek zijn allemaal even groot, dus het is een gelijkzijdige driehoek.

Zie middelste figuur hiernaast.

Aan de opdeling in de taart-methode (zie a) zie je dat de diagonalen twee keer zo lang zijn als de zijde van de zeshoek.

De Davidster; zie onderste figuur hiernaast.

Die andere twee bevinden zich recht achter de bol in het midden van de foto. Je kunt er eentje nog nét zien.

Als je de centrale bol van het Atomium weghaalt, houd je 8 bollen over op de hoekpunten van een kubus. De kubus is zo opgesteld, dat een lichaamsdiagonaal verticaal is.

Twee van $90°$ en de vierde hoek is $360°-108°-2\cdot 108°=72°$.

Via meten:
lengtevergrotingsfactor = $\frac{\text{lengte}\text{buitengevel}}{\text{lengte}\text{binnengevel}}\approx \mathrm{2,4}$
Via oppervlaktegegevens:
Oppervlaktevergrotingsfactor = $\frac{117.000{\text{m}}^2}{\text{20}\text{.000}{\text{m}}^2}=\mathrm{5,85}$,
dus lengtevergrotingsfactor = $\sqrt{\mathrm{5,85}}\approx \mathrm{2,42}$; Klopt.

Totale vloeroppervlakte = 620.000 m², verdeeld over 7 verdiepingen, dus per verdieping $\frac{620.000}{7}\approx 88.571$ m².
Inhoud = $\text{opp}\text{.grondvlak}\times \text{hoogte}=88.571\times 24=\mathrm{2.125.714}$ m³.
Dit komt redelijk overeen met de gegeven inhoud van 2.000.000 m³.

Vijf driehoeken zoals driehoek $DEQ$
Vijf driehoeken zoals driehoek $DQP$
Vijf driehoeken zoals driehoek $DAB$
Tien driehoeken zoals driehoek $DCE$
Tien driehoeken zoals driehoek $DTC$

Driehoek $EDC$ is gelijkbenig en $\angle CDE=108°$, dus $\angle DCE=\angle DEC=\frac{1}{2}\cdot (180°-108°)=36°$;
$\angle ECA=108°-36°-36°=36°$;
$\angle AQC=180°-36°-36°=108°$;
$\angle AQE=180°-108°=72°$; etc.
Dus alleen hoeken van $36°$, $72°$ en $108°$ komen voor.

Driehoek $DQP$ is gelijkvormig met driehoek $DAB$ en met driehoek $DQC$ ($72°-72°-36°$);
Driehoek $DQE$ is gelijkvormig met driehoek $ABC$ ($36°-36°-108°$)

Driehoek $CBS$ is gelijkbenig met tophoek $C$ (omdat $\angle CSB=\angle CBS=72°$), dus $CS=CB=z$.
Dus $AC=AS+SC=1+z$.

lengtevergrotingsfactor = $z$

Omdat de lengtevergrotingsfactor = $z$, geldt $CE=z\cdot AB$, dus $z+1=z\cdot z$, ofwel $z+1=z^2$

$z+1=z^2$ $\to$ $z^2-z-1=0$
$D=b^2-4ac={(\mathrm{‐}1)}^2-4\cdot 1\cdot \mathrm{‐}1=5$
$z=\frac{\mathrm{‐}(\mathrm{‐}1)\pm \sqrt{5}}{2\cdot 1}=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$, ofwel $z=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{5}$ of $z=\frac{1-\sqrt{5}}{2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{5}$

$z=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{5}\approx \mathrm{1,618}$ is de juiste waarde (want de andere is negatief)

Omdat dit getal een van de oplossingen was van deze kwadratische vergelijking.

$\frac{1}{\mathrm{1,6180}}\approx \mathrm{0,6180}\approx \mathrm{1,6180}-1$

Deel in de vergelijking ${\text{φ}}^2=\text{φ}+1$ alles door $\text{φ}$, dat geeft $\text{φ}=\text{1}+\frac{1}{\text{φ}}$, dus $\text{φ}-1=\frac{1}{\text{φ}}$

$BX=\text{φ}$; $XY=\text{φ}-1$

$AX=1$ en $XY=\text{φ}-1$;
Rekenmachine: $\frac{1}{\text{φ}-1}\approx \mathrm{1,618}\approx \text{φ}$

Zie opgave 61: $\text{φ}-1=\frac{1}{\text{φ}}$,
dus $\frac{1}{\text{φ}-1}=\frac{1}{\frac{1}{\text{φ}}}=\text{φ}$

$X$ en $Y$ verdelen $AB$ volgens de gulden snede.
Bij het pentagram geldt voor hoekpunt $C$ dat
$AX=CX$ en $BY=CY$. Dus hoekpunt $C$ is het snijpunt van de twee cirkels.