Een machientje en zijn omgekeerde

Bereken exact:

$(7777 - 1999) + 1999$	$(7777 : 1999) \cdot 1999$
$\sqrt{7777^{2}}$	${\sqrt{7777}}^{2}$
$\frac{1}{\frac{1}{7777}}$	$\frac{10}{\frac{1}{7777}}$

De bewerkingen kwadrateren en worteltrekken neutraliseren elkaar.
(We kiezen als invoer alleen positieve getallen.) Bewerkingen die elkaar neutraliseren noemen we inverse bewerkingen.

Bijvoorbeeld

worteltrekken en kwadrateren,
een getal erbij optellen en dat getal ervan aftrekken,
vermenigvuldigen met een getal en delen door dat getal.

Met machientjes
$x \to$ [WORTEL] $\to$ $\sqrt{x} \to$ [KWADRAAT] $\to x$
In woorden
Als je van een (positief) getal eerst de wortel trekt en het resultaat kwadrateert, dan kom je weer op het getal uit waarmee je bent begonnen.
In formule
${\sqrt{x}}^{2} = x$

Vermenigvuldigen met een getal en delen door dat getal zijn inverse bewerkingen.
Geef de inhoud van bovenstaande mededeling weer:

met machientjes, (neem over en vul aan):
$x \to$ [DEEL DOOR $a$ ] $\to$ $\frac{x}{a}$ $\to$ [_____] $\to$ $x$

in woorden,

in formule.

Een getal erbij optellen en dat getal ervan aftrekken zijn inverse bewerkingen.
Geef de inhoud van het bovenstaande mededeling weer:

met machientjes,

in woorden,

in formule.

Het omgekeerde of de inverse van een getal $a$ is $\frac{1}{a}$ ( $a \neq 0$ ).
Het tegengestelde van een getal $a$ is $‐ a$ .

Voor beide is er een knop op de GR.
De machientjes die hierbij horen zijn:
[OMGEKEERDE] en [TEGEN]

Geef de inverse bewerking van:

het omgekeerde nemen,

het tegengestelde nemen.

Ad gaat op vakantie naar de Verenigde Staten. Hij heeft bij de bank dollars ($) gehaald. De koers van de dollar was $0,76$ euro (€), dus hij moest € $0,76$ per dollar betalen.
Voor logies met ontbijt betaalt hij $ $45$ per dag.

Hoeveel is dat in euro's?

Ad had bij de bank voor $1000$ euro dollars gehaald. Als goede klant hoefde hij geen provisie te betalen.

Hoeveel dollar kreeg hij hiervoor (afronden op twee decimalen)?

Tot $1$ januari $2015$ kon je chippen, een soort elektronisch betalen. Bedrijven (of winkels) die hun klanten lieten chippen betaalden de bank hiervoor.
Bij de Rabobank kon je uit twee vormen kiezen.
Je betaalt $5,5$ eurocent per transactie, óf je betaalt $0,8$ % over het totale transactiebedrag.

Als je $100$ transacties per maand hebt, met een gemiddelde van € $5$ , welk van de twee vormen kies je dan?
En bij $100$ transacties met een gemiddelde van € $10$ ?

De bank spreekt in haar folder over een omslagpunt. Uit de vorige vraag blijkt dat dit tussen € $5$ en € $10$ ligt.

Bereken dat omslagpunt in euro's, afgerond op drie decimalen.

Bereken exact zonder rekenmachine:

$3131 - 777 + 777$	$3131 - 777 + 677$
${\sqrt{31}}^{2}$	$\sqrt{31} \cdot 2 \sqrt{31}$
$\frac{31}{37} \cdot 37$	$\frac{31}{36} \cdot 18$
$\frac{1}{\frac{1}{31}}$	$\frac{2}{\frac{1}{31}}$

Voorbeeld:

$\frac{12}{\frac{1}{2}} = 24$ , want $\frac{1}{2} \cdot 24 = 12$ .

Geef bij elke som een korte uitleg, zoals in het voorbeeld.

$\frac{\frac{3}{7}}{3} = ...$ , want	$\frac{1}{\frac{1}{3}} =$	$\frac{3}{\sqrt{3}} =$
$\frac{\frac{14}{9}}{\frac{7}{9}} =$	$\frac{\frac{5}{3}}{\frac{5}{2}} =$	$\frac{4}{\sqrt{2}} =$

Vergelijkingen oplossen met machientjes

Voorbeeld:

De vergelijking $3 x = 5$ kun je als volgt bekijken.
Gevraagd wordt díe invoer $x$ , waarbij het machientje [MAAL $3$ ] de uitvoer $5$ heeft.
Dus: $x \to$ [MAAL $3$ ] $\to 5$
Dan $5 \to$ [DEEL DOOR $3$ ] $\to x$
Dus $x = \frac{5}{3}$

Bepaal in de volgende sommen welk getal $x$ is.
Schrijf op welke inverse bewerking je uitvoert om $x$ te vinden.

$5 + x = 3$	$\frac{1}{x} = 3$
$\sqrt{x} = 3$	$‐ x = 3$

Los op (druk $x$ uit in $a$ en/of $b$ ):

$a x = b$	$a + x = b$
$\sqrt{x} = b$	$‐ x = b$
$\frac{1}{x} = b$	$\frac{1}{\sqrt{x}} = b$

Ga bij elk van de vergelijkingen na voor welke $a$ of $b$ er geen oplossing is.

Voorbeeld:

De vergelijking $2 (x + 5) = 3$ kun je als volgt bekijken.
Gevraagd wordt het getal $x$ zó, dat:
$x \to$ [PLUS $5$ ] $\to$ [MAAL $2$ ] $\to$ $3$
Het getal $x$ vind je door de inverse bewerkingen toe te passen. Als volgt:
$3 \to$ [DEEL DOOR $2$ ] $\to$ [MIN $5$ ] $\to$ $x$

Los de volgende vergelijkingen op. Schrijf op welke inverse bewerkingen je uitvoert.

$3 (x - 4) = 7$	$3 x - 4 = 7$
$3 \sqrt{x} = 7$	$\sqrt{3 x} = 7$
$‐ (x - 4) = 7$	$‐ x - 4 = 7$
$\frac{3}{x} = 7$	$\frac{1}{3 x} = 7$

(hint)

\frac{3}{x} = 3 \cdot \frac{1}{x}

De derde macht nemen is de inverse bewerking van de derdemachtswortel nemen.

Schrijf deze mededeling in formulevorm.

De bewerking $\sqrt[3]{\dots}$ is op je GR te vinden.

Los de volgende vergelijkingen exact op.

$\sqrt[3]{x} = 2$	$‐ \sqrt[3]{x} = 2$
$5 \sqrt[3]{x} = 2$	$\sqrt[3]{x} - 1 = 2$
${\sqrt[3]{x}}^{2} = 2$	$\sqrt{\sqrt[3]{x}} = 2$
$\frac{1}{\sqrt[3]{x}} = 2$	$2^{\sqrt[3]{x}} = 2$

De ribbe van de kubus hiernaast is $r$ .
De totale oppervlakte van de kubus noemen we $O$ en het volume $V$ .

Druk $V$ en $O$ uit in $r$ .

Druk $r$ uit in $V$ .

Druk met behulp van de vorige onderdelen $O$ uit in $V$ .

In de voorgaande opgave kun je in de formule $O = 6 r^{2}$ voor $r = \sqrt[3]{V}$ substitueren.
Je krijgt: $O = 6 {\sqrt[3]{V}}^{2}$ .

Opmerking:

Als we alleen met niet-negatieve getallen werken, zijn [WORTEL] en [KWADRAAT] elkaars inverse.
Als we met alle getallen werken heeft [KWADRAAT] geen inverse. Immers:
als $x \to$ [KWADRAAT] $\to 9$ ,
dan $9 \to$ [ ? ] $\to x$ .
Zo’n machientje bestaat niet, omdat er twee getallen $x$ zijn met $x^{2} = 9$ , namelijk $3$ en $‐3$ .
We komen hier in hoofdstuk 3 in de paragraaf Inverse functies op terug.

Neem de tabel over en vul hem in.

$x$	$x^{2}$	$‐ x^{2}$	$2 x^{2}$	${(2 x)}^{2}$
$2$
$‐2$

Opmerking:

Kwadrateren gaat vóór vermenigvuldigen en ook vóór tegengestelde nemen.
Heb je daar bij het invullen van de tabel rekening mee gehouden?

Los exact op (van links naar rechts):

$x^{2} = 4$	$\sqrt{x} = 4$
$x^{2} = 7$	$\sqrt{x} = 7$
$x^{2} = 0$	$\sqrt{x} = 0$
$x^{2} = ‐4$	$\sqrt{x} = ‐4$
${(x + 1)}^{2} = 16$	${(x + 1)}^{2} = ‐16$
${(x + 1)}^{2} = 17$	${(x + 1)}^{2} = ‐17$
$x^{3} = 16$	$x^{4} = 16$
$x^{4} = ‐16$	$x^{5} = ‐32$
${(x + 2)}^{4} = x^{2}$	${(x + 2)}^{4} = ‐ x^{2}$

We bekijken alle balken met eenzelfde verhouding tussen de drie afmetingen, namelijk lengte : breedte : hoogte $= 4 : 2 : 1$ .
De inhoud van zo’n balk noemen we $V$ (in cm³).

Wat is $V$ als de hoogte $2 \frac{1}{2}$ cm is?

We noemen de hoogte $x$ cm.

Druk $V$ uit in $x$ .

Bereken $x$ als $V = 64$ . Geef het exacte antwoord.
Ook als $V = 80$ .

Druk $x$ uit in $V$ .

De absolute waarde

We bekijken de getallenlijn.

De afstand van $4$ tot $7$ is $3$ .

Wat is de afstand van $4$ tot $1$ ?
Wat is de afstand van $100$ tot $‐421$ ?
En van $π$ tot $1$ (exact)? En van $π$ tot $‐1$ (exact)?

$a$ en $b$ zijn twee getallen op de getallenlijn.

Neem over en vul in:
als $a > b$ , dan is de afstand van $a$ tot $b$ : ___ ,
als $a < b$ , dan is de afstand van $a$ tot $b$ : ___ .

Als $a$ en $b$ getallen zijn, noteren we de afstand van $a$ tot $b$ op de getallenlijn met $| a - b |$ .
$| x | = | x - 0 |$ is de afstand van $x$ tot $0$ .
We noemen $| x |$ de absolute waarde van $x$ .
De verticale strepen $| ... |$ noemen we absoluut-strepen.

Hiernaast staat een blokschema bij het machientje
$x$ $\to$ [ABS] $\to$ $| x |$ .

Maak een tabel en teken de grafiek bij [ABS].
Als je het goed doet, komt de grafiek niet onder de $x$ -as.

Op de GR zit de functie ABS.
Je kunt de grafiek controleren met je GR.
Zoek uit hoe dat werkt.
Let ook op het instellen van het zogenaamde WINDOW.

Teken van elk van de volgende zes kettingen de grafiek zonder GR.
Maak zo nodig een tabel. Gebruik meer kleuren.

$x \to$ [MIN $2$ ] $\to$ [ABS] $\to y$
$x \to$ [ABS] $\to$ [MIN $2$ ] $\to y$

$x \to$ [ABS] $\to$ [MAAL $2$ ] $\to y$
$x \to$ [MAAL $2$ ] $\to$ [ABS] $\to y$

$x \to$ [TEGEN] $\to$ [ABS] $\to y$
$x \to$ [ABS] $\to$ [TEGEN] $\to y$

Een formule bij de eerste ketting is: $y = | x - 2 |$ .

Geef ook formules voor de andere kettingen.

Twee formules: $y = x + 1$ en $y = | x + 1 |$ .

Teken de grafieken bij de formules met verschillende kleuren in één rooster.

De grafiek die je bij $y = | x + 1 |$ getekend hebt, bestaat uit twee halve lijnen.

Geef van elk een vergelijking in de vorm $y = a x + b$ .

Voor welke $x$ geldt: $| x + 1 | = 2015$ ?

Je kunt het antwoord op de voorgaande vraag ook zonder de grafiek vinden. Als volgt.

Voorbeeld:

$| x + 1 | = 2015$
$x + 1 = 2015$ of $x + 1 = ‐2015$
$x = 2014$ of $x = ‐2016$

We geven nog een voorbeeld.

Voorbeeld
$| x^{2} + 1 | = 2015$
$x^{2} + 1 = 2015$ of $x^{2} + 1 = ‐2015$
$x^{2} = 2014$ of $x^{2} = ‐2016$
Dus: $x = \sqrt{2014}$ of $x = ‐ \sqrt{2014}$ .

Los de volgende vergelijkingen in $x$ op. Het is verstandig om de gevonden oplossingen te controleren.

$\| x^{2} - 2 \| = 14$	$\| x^{2} - 2 \| = ‐14$
$\| 2 x + 7 \| = 13$	$\| x^{2} - 3 x + 1 \| = 1$
$\| x^{2} - 2 x \| = 0$	$\| x^{2} - 2 x \| = ‐6$

Heeft [ABS] een inverse bewerking?
Geef aan waarom (niet).

(hint)

Kijk nog eens naar de functie

y = x^{2}

, die heeft ook geen inverse bewerking, zie de opmerking na opgave 14.

Heeft [PLUS $1$ ] $\to$ [ABS] een inverse bewerking?

$\| x^{2} - 2 \| = 14$	$\| x^{2} - 2 \| = ‐14$
$\| 2 x + 7 \| = 13$	$\| x^{2} - 3 x + 1 \| = 1$
$\| x^{2} - 2 x \| = 0$	$\| x^{2} - 2 x \| = ‐6$