De stelling van Pythagoras als legpuzzel

We gaan de stelling van Pythagoras eerst meetkundig bewijzen. Hierbij wordt niet gerekend; er wordt alleen met meetkundige figuren geschoven.

Op de zijden van een rechthoekige driehoek zijn vierkanten gezet.

Hieronder zijn de drie vierkanten nog eens apart getekend en acht kopieën van de rechthoekige driehoek.
Links in de tekening staan de twee kleinere vierkanten en vier driehoeken. Daarmee kun je een vierkant leggen.
Rechts staat het grote vierkant en vier driehoeken. Ook hiermee kun je een vierkant leggen.

Teken hoe je dat kunt doen. (Als je hulp nodig hebt: op het knipblad staan de acht rechthoekige driehoeken met de drie vierkanten.)

Leg nu uit dat de oppervlakte van de twee kleinere vierkanten samen hetzelfde is als de oppervlakte van het grote vierkant.

Nog even terug naar de puzzel: van het grote vierkant en de vier driehoeken kan een vierkant worden gelegd.

Voor de preciezen (en dat zijn wij): hoe weet je zeker dat er geen ‘knik’ zit bij het punt waar het grote vierkant met twee driehoeken samenkomen?

(hint)

Laat zien dat de drie hoeken samen een gestrekte hoek vormen.

De stelling van Pythagoras
De oppervlakte van de vierkanten op de rechthoekszijden samen is gelijk aan de oppervlakte van het vierkant op de schuine zijde.
In de figuur:
oppervlakte 1 + oppervlakte 2 = oppervlakte 3

De stelling van Pythagoras algebraïsch

We gaan de stelling van Pythagoras nu algebraïsch bewijzen. Hierbij wordt wel gerekend; we hebben “merkwaardige producten” nodig.
We schrijven ze nog eens op.

${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$
${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$
$(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$

“Merkwaardig” moet hier in een oude betekenis gelezen worden: waard om te merken=onthouden.
Hieronder is de stelling van Pythagoras algebraïsch geformuleerd.

De stelling van Pythagoras
De rechthoekszijden van een rechthoekige driehoek noemen we $a$ en $b$ , de schuine zijde $c$ .

Dan is $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ .

Met een rechthoekige driehoek en drie kopieën wordt de figuur in het plaatje gelegd. Er ontstaan twee vierkanten.
De zijden van de rechthoekige driehoeken zijn: $a$ , $b$ en $c$ . De oppervlakte van het grote vierkant is: ${(a + b)}^{2}$ .
Je kunt de oppervlakte van dat vierkant ook in $a$ , $b$ en $c$ uitdrukken door de oppervlakte van de vijf stukken bij elkaar op te tellen.
Dit leidt tot een vergelijking.

Laat door vereenvoudigen zien dat hieruit de stelling van Pythagoras volgt.

Hoe weet je dat de gelegde figuren vierkanten zijn?

Met een rechthoekige driehoek en drie kopieën wordt de nevenstaande figuur gelegd. Er ontstaan twee vierkanten. De zijden van de rechthoekige driehoeken zijn: $a$ , $b$ en $c$ . Door de oppervlakte van het grote vierkant op twee manieren te berekenen, kun je laten zien dat $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ .

Doe dat.

Waarom is de grote vierhoek een vierkant?

In Bouwtechniek, Meten en Uitzetten wordt uitgelegd hoe je een rechte hoek uit kunt zetten.
Daarvoor gebruik je een zogenaamde bouwhaak. De bouwhaak wordt ook wel de 3-4-5-steek genoemd. Op de drie latten zet je lengtes uit in de verhouding $3 : 4 : 5$ , bijvoorbeeld: $3 \times 20$ cm, $4 \times 20$ cm, $5 \times 20$ cm, zie Meten en uitzetten.
Voor de zijden van een 3-4-5-steek geldt de stelling van Pythagoras. Om een rechte hoek uit te zetten wordt dus eigenlijk de omkering van de stelling van Pythagoras gebruikt!

Redenering
Stel dat in een driehoek geldt: $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ . Hierbij zijn de zijden van de driehoek $a$ , $b$ en $c$ . Dan is deze driehoek hetzelfde als een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden $a$ en $b$ , want ze hebben alle zijden gelijk. Dus heeft de driehoek een rechte hoek (namelijk de hoek tegenover zijde $c$ ).
De omkering van de stelling van Pythagoras is dus ook waar:
als voor de zijden $a$ , $b$ en $c$ van een driehoek geldt: $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ , dan is de driehoek rechthoekig.

Stomp, recht, scherp

figuur 1

Bekijk figuur 1. Het latje $S X$ zit scharnierend aan latje $A S$ vast. Tussen $A$ en $X$ is een elastiekje gespannen. De volgende uitspraak ligt voor de hand.
Hoe groter de hoek tussen de latjes wordt, hoe langer het elastiekje wordt.

figuur 2

In figuur 2 is het latje $S X$ in twee posities getekend: $S X_{1}$ en $S X_{2}$ . Het ziet ernaar uit dat $A X_{2} > A X_{1}$ . Maar is dat altijd zo? Ook als $X_{2}$ minder ver naar rechts geschoven is, of als hoek $A S X_{1}$ en $A S X_{2}$ kleiner zijn (maar wel hoek $A S X_{1}$ kleiner dan $A S X_{2}$ ), of $A$ verder naar links of rechts ligt?
Dat moet bewezen worden. In het volgende doen we dat. Het bewijs mag je overslaan. Je kunt dan verder gaan vanaf de eerstvolgende stelling. Verderop, als we de cosinusregel eenmaal kennen, volgt een eenvoudiger bewijs.

$P^{'}$ is de loodrechte projectie van $P$ op lijn door $A$ en $B$ .

Als $B$ verder dan $A$ van $P^{'}$ ligt, is $P B > P A$ , en omgekeerd.
Ga na dat dit uit de stelling van Pythagoras volgt.

Laat in driehoek $A B C$ hieronder, de loodlijn uit $C$ neer op $A B$ ; noem het voetpunt $C^{'}$ .
We gaan bewijzen: als $b > a$ , dan β $>$ α.

Eerst spiegelen we $B$ in $C^{'}$ : dat geeft het punt $B^{'}$ . Als $b > a$ , dan ligt $B^{'}$ dichter bij $C^{'}$ dan $A$ .
Omdat $β = ∠ C B^{'} B = ∠ C A B^{'} + ∠ A C B^{'}$ , want een buitenhoek van een driehoek is gelijk aan de som van de twee niet aanliggende binnenhoeken, volgt dat β $>$ α.

In een driehoek ligt tegenover een grotere hoek een langere zijde.

Voorbeeld:

figuur 1

figuur 2

In figuur 1 hierboven is driehoek $A B C$ op schaal getekend. Dan is zijde $B C$ korter dan $4$ cm en zijde $A B$ langer dan $4$ cm.

We komen terug op het elastiekje. Voor het gemak staat het plaatje van de situatie nog eens hierboven in figuur 2.
$X_{1}$ en $X_{2}$ liggen op de cirkel met middelpunt $S$ . Verder is $∠ X_{2} S A > ∠ X_{1} S A$ .
We gaan bewijzen dat $A X_{2} > A X_{1}$ .
$∠ X_{2} X_{1} A > ∠ X_{2} X_{1} S = ∠ X_{1} X_{2} S > ∠ X_{1} X_{2} A$
In driehoek $X_{2} X_{1} A$ ligt tegenover hoek $X_{2} X_{1} A$ zijde $X_{2} A$ en tegenover hoek $X_{1} X_{2} A$ ligt zijde $X_{1} A$ .
Nu hoeven we alleen nog de bovenstaande stelling toe te passen.

Stelling
Voor een driehoek met zijden $a$ , $b$ en $c$ geldt:
$a^{2} + b^{2} < c^{2} \Leftrightarrow$ de hoek tegenover $c$ is stomp,
$a^{2} + b^{2} = c^{2} \Leftrightarrow$ de hoek tegenover $c$ is recht,
$a^{2} + b^{2} > c^{2} \Leftrightarrow$ de hoek tegenover $c$ is scherp.

In figuur 1 staat een driehoek waarvan de zijden $4$ , $7$ en $8$ cm lang zijn.

Ga na of de driehoek scherphoekig, stomphoekig of rechthoekig is.

figuur 1

figuur 2

In figuur 2 staat een driehoek met zijden van $16$ , $30$ en $34$ .

Ga na of de driehoek scherphoekig, stomphoekig of rechthoekig is.

In een assenstelsel zijn de punten $A (‐ 1,3)$ , $B (‐ 2, ‐ 4)$ en $C (1, ‐ 3)$ gegeven.

Zonder de zijden van de driehoek uit te rekenen kun je laten zien dat hoek $A C B$ recht is. Hoe?

Bereken $B C$ en $A C$ .

Nu kun je op twee manieren $A B$ berekenen met de stelling van Pythagoras.

Doe dat.

In een assenstelsel zijn de punten $A (7,10)$ , $B (11,12)$ en $C (6,12)$ gegeven.

Ga met een berekening na of hoek $B A C$ scherp, recht of stomp is.

In een assenstelsel zijn de punten $O (0,0)$ , $P (3,4)$ en $Q (a,0)$ gegeven.

Voor welke waarden van $a$ is driehoek $P O Q$ rechthoekig?

Voor welke waarden van $a$ is hoek $O P Q$ stomp?

In de meetkundige formulering van de stelling van Pythagoras worden vierkanten gezet op de zijden van een rechthoekige driehoek. Je kunt ook andere figuren op de zijden zetten; die moeten wel gelijkvormig zijn en in dezelfde stand op de zijden gezet worden. Altijd geldt dat de oppervlakte van de figuur op de schuine zijde gelijk is aan de som van de oppervlaktes van de twee figuren op de rechthoekszijden.

We bekijken drie voorbeelden bij de $3-4-5$ -driehoek.

op elke zijde een geodriehoek

op elke zijde een halve cirkel

op elke zijde een letter T, bestaande uit vier vierkanten

Ga na dat voor elk van deze voorbeelden de generalisatie van de stelling van Pythagoras opgaat.

We plaatsen nu op de zijden van een rechthoekige driehoek bijzondere figuren, namelijk figuren die gelijkvormig zijn met de rechthoekige driehoek zelf! Zie plaatje.

Hoe kun je heel eenvoudig zien dat de generalisatie van de stelling van Pythagoras opgaat?

Deze laatste beschouwing van de stelling van Pythagoras is afkomstig van Albert Einstein.

Het "slakkenhuis" in figuur 1 bestaat uit op elkaar aansluitende rechthoekige driehoeken, waarvan een rechhoekszijde lengte $1$ heeft. De kleinste driehoek heeft twee rechthoekszijden van lengte $1$ . Bij de lijnstukken vanuit het centrum na $4$ , $7$ en $11$ stappen staat een vraagteken.

Hoe lang zijn de zijden waar een vraagteken bij staat?
Geef exacte antwoorden; laat wortels die je niet kunt vereenvoudigen staan.

figuur 1

figuur 2

In figuur 2 is het slakkenhuis voortgezet.

Zijn de hoeken om het centrum alle even groot? Licht je antwoord toe.

Na hoeveel stappen is het lijnstuk vanuit het centrum langer dan $1000$ ?