1

a

b

De twee gelegde vierkanten hebben dezelfde oppervlakte, want even lange zijden; als je van beide vier dezelfde rechthoekige driehoeken afhaalt, houd je bij de linker figuur de twee kleine vierkanten over en bij de rechter figuur het grote vierkant.

c

Noem de niet-rechte hoeken van de rechthoekige driehoek α en β. De drie hoeken die in de punt samenkomen zijn bij elkaar: $α + β + 90 = 180$ graden, dus ze vormen een gestrekte hoek.

2

Oppervlakte van de vier driehoeken is: $4 \cdot \frac{1}{2} \cdot a b = 2 a b$
Oppervlakte kleine vierkant $= c^{2}$
Dus: $c^{2} + 2 a b = {(a + b)}^{2}$ . Haakjes wegwerken geeft het gewenste resultaat.

Dat de gelegde figuren vierkanten zijn, kun je als volgt inzien.
Er zit geen knik in het punt waar de twee driehoeken en het vierkant aan elkaar gelegd zijn, zie vorige opgave.
De zijden zijn alle $a + b$ .

3

a

Oppervlakte van de vier driehoeken is: $4 \cdot \frac{1}{2} \cdot a b = 2 a b$ .
Oppervlakte kleine vierkant is: ${(b - a)}^{2}$ . Dus: $c^{2} = {(b - a)}^{2} + 2 a b$ . Haakjes wegwerken geeft het gewenste resultaat.

b

Een hoek is de som van de twee scherpe hoeken van de een rechthoekige driehoek, dus $90 °$ .

4

a

$4^{2} + 7^{2} > 8^{2}$ , dus de hoek tegenover de zijde van $8$ is scherp, dus een scherphoekige driehoek.

b

$16^{2} + 30^{2} = 34^{2}$ , dus de driehoek is rechthoekig.

5

a

Het midden van $A C$ is $O$ . Het lijnstuk $O C$ krijg je door het lijnstuk $B C$ een kwart slag te draaien. Dat zie je aan de $1 \times 3$ -rechthoeken waarin ze zitten.
Zie plaatje

b

$B C = \sqrt{10}$ en $A C = \sqrt{40}$

c

Eerste manier: in driehoek $A B C$ :
$A B^{2} = B C^{2} + A C^{2} = 10 + 40 = 50$ , dus $A B = \sqrt{50}$ .
Tweede manier:
$A B$ is schuine zijde van een roosterdriehoek met rechthoekszijden $1$ en $7$ . Dus $A B^{2} = 1^{2} + 7^{2} = 50$ , dus $A B = \sqrt{50}$ .

6

a

$a = 5$ , $b = \sqrt{1^{2} + 2^{2}} = \sqrt{5}$ en $c = \sqrt{4^{2} + 2^{2}} = \sqrt{20}$ , dus: $b^{2} + c^{2} = a^{2}$ , dus hoek $B A C$ is recht.

b

Hoek $Q$ is recht als $a = 3$ .
Hoek $P$ is recht als $a^{2} = 5^{2} + (4^{2} + {(a - 3)}^{2}) = 50 + a^{2} - 6 a$ , dus als $a = 8 \frac{1}{3}$ .

c

Als $a > 8 \frac{1}{3}$ .

7

Noem de rechthoekszijden $a$ en $b$ en de schuine zijde $c$ dan hebben de geodriehoeken oppervlakte $\frac{1}{4} a^{2}$ , $\frac{1}{4} b^{2}$ en $\frac{1}{4} c^{2}$ .
Als $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ , dan $\frac{1}{4} a^{2} + \frac{1}{4} b^{2} = \frac{1}{4} c^{2}$ dus voor het eerste voorbeeld klopt de stelling.
De halve cirkels hebben oppervlakte $\frac{1}{8} π \cdot a^{2}$ , $\frac{1}{8} π \cdot b^{2}$ en $\frac{1}{8} π \cdot c^{2}$ .
De ‘T’-s hebben oppervlakte $\frac{4}{9} a^{2}$ , $\frac{4}{9} b^{2}$ en $\frac{4}{9} c^{2}$ .
Dus ook voor de andere voorbeelden klopt de stelling.

8

De oppervlakte van de hele witte driehoek noemen we $C$ .
$A = E$ , $B = D$ en $C = F$ .
Verder $A + B = C$ , dus $D + E = F$ .

9

a

$\sqrt{5}$ , $\sqrt{8}$ , $\sqrt{12}$

b

De hoeken worden kleiner, want de overstaande rechthoekszijde blijft $1$ en de aanliggende rechthoekszijde wordt groter.

c

Na $n$ stappen is de lengte $\sqrt{n + 1}$ , dus $n + 1 > 1000^{2}$ , dus na $1$ miljoen stappen.