2.3  Descartes’ aanpak >
Probleemaanpak volgens Descartes
1

In deze opgave bekijken we twee problemen waarvoor je de stelling van Pythagoras overigens niet nodig hebt.
Van een gelijkzijdige driehoek met zijde 15 worden de punten afgeknipt. Die zijn ook weer gelijkzijdig en even groot.

a

Hoe moet je dat doen als de drie afgeknipte driehoeken samen dezelfde omtrek hebben als de zeshoek die over blijft?

b

Hoe moet je dat doen als de oppervlakte van de zeshoek even groot is als de oppervlakte van de drie driehoeken?

Het eerste onderdeel van de vorige opgave zou je als volgt aan kunnen pakken.
De zijde van een afgeknipte driehoek noem je bijvoorbeeld x . Drie zijden van de zeshoek zijn dan ook x , de andere drie kun je in x uitdrukken.
De eis over de omtrekken geeft je een vergelijking in x . Die los je op en je hebt de oplossing van het probleem.

Descartes 1596-1650

De filosoof en wiskundige René Descartes heeft een enorme invloed gehad. Hij begon zijn filosofie met absolute twijfel: niets mocht als waar aangenomen worden. Hij bedacht: ‘Ik denk, dus ik besta’, (Latijn: Cogito, ergo sum) en vond zo tenminste één zekerheid om vanuit te gaan.

In Descartes’ filosofie waren lichaam en geest van de mens geheel onafhankelijk. Rond 1630 had Descartes al regels geformuleerd voor ‘de richting van het denken’. Eenvoudig gezegd kwamen die hier op neer.

  • Elk vraagstuk of probleem in de wereld kan worden teruggebracht tot een meetkundig probleem.

  • Elk meetkundig probleem moet worden teruggebracht tot een algebraïsch probleem.

  • Elk algebraïsch probleem moet worden teruggebracht tot het oplossen van een vergelijking met één onbekende.

Omdat de wiskunde zekerheid bood, kon zo zekerheid in andere zaken bereikt worden. Als denker is Descartes een extreme rationalist: alleen het denken leidt de mens op weg naar de waarheid (en de ervaring der zintuigen of geloven bijvoorbeeld niet).

De wiskunde van de tweede en derde stip publiceerde Descartes in 1637 in het slot-essay van zijn Discours de la Méthode pour bien conduire sa raison et chercher la vérité dans les sciences met de ondertitel La Geometrie.

Elk meetkundeprobleem is uiteindelijk het bepalen van lengtes van lijnstukken, stelde Descartes in de eerste zin van La Geometrie. Hij bedacht daarbij de volgende zeer algemene methode.

  • Geef alle lijnstukken in de figuur namen (letters), bekende zowel als onbekende.

  • Probeer één grootheid op twee verschillende manieren uit te drukken in de aldus benoemde lijnstukken.

  • De uitdrukkingen zijn gelijk, dat geeft een vergelijking.

  • Los de onbekende uit de vergelijking op. Dan is alles bekend in de figuur en het probleem opgelost.

Descartes stimuleerde zo de toen nog tamelijk jonge letteralgebra en leverde meteen een van de belangrijkste toepassingen hiervan. Vaak volgen we zijn methode bij het onderwerp Meetkunde met coördinaten. Het eerste punt (dat elk probleem in wiskunde is te vertalen) is een filosofisch uitgangspunt, waar uiteraard de meningen over uiteenlopen.

2

In figuur 1 staan vier vierkanten met zijde 2 en vier cirkels.

Bereken de straal van die cirkels exact.

figuur 1
figuur 2
3

Van een driehoek zijn de zijden 5 , 5 en 6 .
De straal van de omgeschreven cirkel noemen we R .
Zie figuur 2.

a

Bereken de oppervlakte van de driehoek.

b

Laat zien dat R 2 = ( 4 R ) 2 + 9 .

c

Bereken R .

4

Twee vierkanten met middelpunten M en N en zijden a en b grenzen aan elkaar zoals hiernaast is getekend.

a

Neem aan dat a = 16 en b = 2 en bereken de lengte van lijnstuk M N .

(hint)

Teken een geschikte rechthoekige driehoek, met M N als schuine zijde.

b

Bereken M N ook als a = 14 en b = 8 .

In de gevallen a en b is de oppervlakte van de twee vierkanten samen 260. De lengte van lijnstuk M N is in deze gevallen hetzelfde. Omgekeerd kun je uit de oppervlakte van de twee vierkanten samen de lengte van lijnstuk M N bepalen.

c

De oppervlakte van de twee vierkanten samen is 18 .
Hoe groot is de lengte van lijnstuk M N ?

Een zwaartelijn in een driehoek verbindt een hoekpunt van de driehoek met het midden van de tegenoverliggende zijde.

In de figuur hieronder is lijnstuk C M een zwaartelijn in driehoek A B C .

Apollonius was een beroemd Grieks wiskundige die leefde in de derde eeuw voor Christus. Hij schreef een groot werk over kegelsneden. Hij bewees de volgende stelling.
M is het midden van zijde A B van driehoek A B C , verder zie de figuur hieronder. Dan geldt:
a 2 + b 2 = 2 m 2 + 2 d 2 .

5

Bewijs de stelling van Apollonius.

(hint)

Teken de projectie D van C op lijn A B . Noem M D = x .
Met de stelling van Pythagoras kun je drie vergelijkingen opstellen.
Door ze handig te combineren vind je het antwoord.

6

In driehoek A B C is D het midden van zijde B C . Verder geldt: A D = 9 , B C = 12 en A B = 3 10 .

Bereken A C exact.

7

Twee cirkels met straal 1 en 4 raken elkaar uitwendig en raken een rechte lijn, zie figuur 1 hieronder.

figuur 1
figuur 2

Bereken de afstand van de raakpunten op de rechte lijn.

8

We tekenen een zo groot mogelijk cirkeltje in het gebied dat wordt ingesloten door de twee cirkels en de rechte lijn van de vorige opgave, zie figuur 2.

Bereken de straal van dat cirkeltje.