2.3  Descartes’ aanpak >
Probleemaanpak volgens Descartes
1
a

Noem de zijde van de afgeknipte driehoekjes x .
De totale omtrek van de drie driehoekjes is dan 9 x .
De omtrek van de resterende zeshoek is dan 3 x + 3 ( 15 2 x ) = 45 3 x .
9 x = 45 3 x , dus x = 3 3 4 .

b

De totale oppervlakte van de drie driehoekjes is dan 3 1 4 x 2 3 .
De oppervlakte van de resterende zeshoek is dan 1 4 15 2 3 3 1 4 x 2 3 , dus 3 1 4 x 2 3 = 1 4 15 2 3 3 1 4 x 2 3 , dit geeft 6 x 2 = 15 2 , dus x = 15 6 = 2 1 2 6 .

2

Noem de straal van zo’n cirkel r , dan (zie plaatje):
2 r r = 1 2 2 (want de lijn door het hoekpunt rechtsonder en het middelpunt van de cirkel verdeelt de rechte hoek rechtsonder in twee even grote stukken), dus 2 r = 1 2 r 2 ( 1 + 1 2 2 ) r = 2 , dus r = 2 1 + 1 2 2 = 4 2 + 2 .
Dit is hetzelfde als 4 2 2 , zie opgave 9 van Rekentechniek.
(Kan ook met Pythagoras: ( 2 r ) 2 + ( 2 r ) 2 = r 2 , etc.)

3
a

De hoogte van de driehoek is 5 2 3 2 = 4 . De oppervlakte is dus 12 .

b

Pas de stelling van Pythagoras toe in de gearceerde driehoek.

c

R 2 = 3 2 + ( 4 R ) 2 R 2 = 25 8 R + R 2 R = 3 1 8 .

4
a

De rechthoekszijden van de rechthoekige driehoek in de figuur zijn 8 + 1 en 8 1 , dus M N 2 = 9 2 + 7 2 = 130 , dus M N = 130 .

b

M N 2 = 11 2 + 3 2 = 130 , dus M N = 130 .

c

Bekijk de rechthoekige driehoek met M N als schuine zijde. De rechthoekszijden zijn: 1 2 a + 1 2 b en 1 2 a 1 2 b , dus
M N = 1 4 ( a + b ) 2 + 1 4 ( a b ) 2 = ... = 1 2 ( a 2 + b 2 ) = 1 2 18 = 3

5

De projectie van C op lijn A B noemen we D , M D noemen we x en C D noemen we y .

Dan geldt (drie maal Pythagoras):

  1. b 2 = ( d + x ) 2 + y 2

  2. m 2 = x 2 + y 2

  3. a 2 = ( d x ) 2 + y 2 .

Dan

  • b 2 m 2 = d 2 + 2 x d (trek de tweede vergelijking van de eerste af),

  • a 2 m 2 = d 2 2 x d , (trek de tweede vergelijking van de derde af).

Optellen van deze twee resultaten geeft:
a 2 + b 2 2 m 2 = 2 d 2 .

6

Volgens de stelling van Apollonius geldt: A C 2 + ( 3 10 ) 2 = 2 6 2 + 2 9 2 , dus A C = 12 .

7

Het middelpunt van de kleine cirkel noemen we M en dat van de grote cirkel N . Het punt op dezelfde hoogte als M , recht onder N noemen we O . De afstand van de raakpunten is gelijk aan M O = 5 2 3 2 = 4 .

8

P is het middelpunt van het kleine cirkeltje.
Q R = M O = 4 . Noem de straal van het kleine cirkeltje x .

M Q = 1 x , P M = 1 + x , N R = 4 x en P N = 4 + x .
Q P = ( 1 + x ) 2 ( 1 x ) 2 = 4 x = 2 x en P R = ( 4 + x ) 2 ( 4 x ) 2 = 16 x = 4 x .
Dus Q R = 6 x = 4 , dus x = 4 9 .