1

a

Noem de zijde van de afgeknipte driehoekjes $x$ .
De totale omtrek van de drie driehoekjes is dan $9 x$ .
De omtrek van de resterende zeshoek is dan $3 x + 3 (15 - 2 x) = 45 - 3 x$ .
$9 x = 45 - 3 x$ , dus $x = 3 \frac{3}{4}$ .

b

De totale oppervlakte van de drie driehoekjes is dan $3 \cdot \frac{1}{4} x^{2} \sqrt{3}$ .
De oppervlakte van de resterende zeshoek is dan $\frac{1}{4} \cdot 15^{2} \sqrt{3} - 3 \cdot \frac{1}{4} \cdot x^{2} \sqrt{3}$ , dus $3 \cdot \frac{1}{4} \cdot x^{2} \sqrt{3} = \frac{1}{4} \cdot 15^{2} \sqrt{3} - 3 \cdot \frac{1}{4} \cdot x^{2} \sqrt{3}$ , dit geeft $6 x^{2} = 15^{2}$ , dus $x = \frac{15}{\sqrt{6}} = 2 \frac{1}{2} \sqrt{6}$ .

2

Noem de straal van zo’n cirkel $r$ , dan (zie plaatje):
$\frac{2 - r}{r} = \frac{1}{2} \sqrt{2}$ (want de lijn door het hoekpunt rechtsonder en het middelpunt van de cirkel verdeelt de rechte hoek rechtsonder in twee even grote stukken), dus $2 - r = \frac{1}{2} r \sqrt{2} \Leftrightarrow (1 + \frac{1}{2} \sqrt{2}) r = 2$ , dus $r = \frac{2}{1 + \frac{1}{2} \sqrt{2}} = \frac{4}{2 + \sqrt{2}}$ .
Dit is hetzelfde als $4 - 2 \sqrt{2}$ , zie opgave 9 van Rekentechniek.
(Kan ook met Pythagoras: ${(2 - r)}^{2} + {(2 - r)}^{2} = r^{2}$ , etc.)

3

a

De hoogte van de driehoek is $\sqrt{5^{2} - 3^{2}} = 4$ . De oppervlakte is dus $12$ .

b

Pas de stelling van Pythagoras toe in de gearceerde driehoek.

c

$R^{2} = 3^{2} + {(4 - R)}^{2} \Leftrightarrow R^{2} = 25 - 8 R + R^{2} \Leftrightarrow R = 3 \frac{1}{8}$ .

4

a

De rechthoekszijden van de rechthoekige driehoek in de figuur zijn $8 + 1$ en $8 - 1$ , dus $M N^{2} = 9^{2} + 7^{2} = 130$ , dus $M N = \sqrt{130}$ .

b

$M N^{2} = 11^{2} + 3^{2} = 130$ , dus $M N = \sqrt{130}$ .

c

Bekijk de rechthoekige driehoek met $M N$ als schuine zijde. De rechthoekszijden zijn: $\frac{1}{2} a + \frac{1}{2} b$ en $\frac{1}{2} a - \frac{1}{2} b$ , dus
$M N = \sqrt{\frac{1}{4} {(a + b)}^{2} + \frac{1}{4} {(a - b)}^{2}} = ... = \sqrt{\frac{1}{2} (a^{2} + b^{2})} = \sqrt{\frac{1}{2} \cdot 18} = 3$ .

5

De projectie van $C$ op lijn $A B$ noemen we $D$ , $M D$ noemen we $x$ en $C D$ noemen we $y$ .

Dan geldt (drie maal Pythagoras):

$b^{2} = {(d + x)}^{2} + y^{2}$
$m^{2} = x^{2} + y^{2}$
$a^{2} = {(d - x)}^{2} + y^{2}$ .

Dan

$b^{2} - m^{2} = d^{2} + 2 x d$ (trek de tweede vergelijking van de eerste af),
$a^{2} - m^{2} = d^{2} - 2 x d$ , (trek de tweede vergelijking van de derde af).

Optellen van deze twee resultaten geeft:
$a^{2} + b^{2} - 2 m^{2} = 2 d^{2}$ .

6

Volgens de stelling van Apollonius geldt: $A C^{2} + {(3 \sqrt{10})}^{2} = 2 \cdot 6^{2} + 2 \cdot 9^{2}$ , dus $A C = 12$ .

7

Het middelpunt van de kleine cirkel noemen we $M$ en dat van de grote cirkel $N$ . Het punt op dezelfde hoogte als $M$ , recht onder $N$ noemen we $O$ . De afstand van de raakpunten is gelijk aan $M O = \sqrt{5^{2} - 3^{2}} = 4$ .

8

$P$ is het middelpunt van het kleine cirkeltje.
$Q R = M O = 4$ . Noem de straal van het kleine cirkeltje $x$ .

$M Q = 1 - x$ , $P M = 1 + x$ , $N R = 4 - x$ en $P N = 4 + x$ .
$Q P = \sqrt{{(1 + x)}^{2} - {(1 - x)}^{2}} = \sqrt{4 x} = 2 \sqrt{x}$ en $P R = \sqrt{{(4 + x)}^{2} - {(4 - x)}^{2}} = \sqrt{16 x} = 4 \sqrt{x}$ .
Dus $Q R = 6 \sqrt{x} = 4$ , dus $x = \frac{4}{9}$ .