De stelling van Thales en zijn omgekeerde meetkundig

Het middelpunt lijkt $C$ te zijn en de straal $1$ .

De diagonalen van de rechthoek hebben lengte $2$ . $M$ is het snijpunt van de diagonalen. $C M$ is steeds de helft van een diagonaal en heeft dus constant lengte $1$ .

$A M C$ en $B M C$ zijn gelijkbenig, want $A M = B M = C M$ .

$180 °$

Twee bolletjes plus twee vierkantjes zijn samen $180 °$ , dus één bolletje en één vierkantje is de helft daarvan, dus $90 °$ .

De stelling van Thales en zijn omgekeerde algebraïsch

De stelling van Pythagoras in driehoek $A B C$ geeft: $a^{2} + b^{2} = {(2 d)}^{2}$ .
Samen met Apollonius hebben we: ${(2 d)}^{2} = 2 d^{2} + 2 m^{2}$ .
Hieruit volgt dat $d^{2} = m^{2}$ , dus dat $d = m$ .

$m = d$ invullen in Apollonius geeft: $a^{2} + b^{2} = 4 d^{2}$ , dus $a^{2} + b^{2} = {(2 d)}^{2}$ , dus $A C^{2} + B C^{2} = A B^{2}$ .
Volgens het omgekeerde van de stelling van Pythagoras is hoek $C$ recht.

Toepassingen

De schuine zijde is $\sqrt{2^{2} + 6^{2}} = 2 \sqrt{10}$ , de straal is dus $\sqrt{10}$ .

$A B^{2} = A C^{2} + B C^{2}$ , dus $A C = \sqrt{{(6 \frac{1}{2})}^{2} - {(2 \frac{1}{2})}^{2}} = 6$ .

De driehoeken $A B C$ en $A S B$ zijn gelijkvormig, want beide hebben een rechte hoek en beide hebben hoek $A$ .
De driehoeken $A B C$ en $B S C$ zijn gelijkvormig omdat ze beide een rechte hoek en hoek $B$ hebben.
Dus: $\frac{B S}{A S} = \frac{C S}{B S}$ .

Noem $A S = x$ , dan $C S = 20 - x$ , dus uit onderhet vorige onderdeel volgt: $x (20 - x) = 36$ (want $B S = D S = 6$ ).
Dus $x = 2$ of $x = 18$ .
Twee zijden zijn $\sqrt{2^{2} + 6^{2}} = 2 \sqrt{10}$ en twee zijden zijn $\sqrt{18^{2} + 6^{2}} = 6 \sqrt{10}$ .

$D$ en $E$ liggen beide op de cirkel met middellijn $A B$ .

We nemen de cirkel met middellijn $A B$ . Vanuit een punt van die cirkel zie je $A B$ onder een rechte hoek. Vanuit een punt binnen de cirkel zie je $A B$ onder een stompe hoek en vanuit een punt buiten de cirkel zie je $A B$ onder een scherpe hoek.
Je moet dus punten buiten de cirkel hebben. Om hoek $A$ en hoek $B$ ook scherp te hebben moet je tussen de lijnen door $A$ en $B$ loodrecht op $A B$ blijven. Je krijgt dus het gekleurde gebied.

$∠ A H G = 90 °$ en $∠ B H G = 90 °$ , volgens Thales. Dus hoek $A H B$ is gestrekt.

Omdat de hoeken $D E C$ en $D M C$ beide recht zijn, liggen $M$ en $E$ op de cirkel met middellijn $C D$ .