1

Noem de straal van de kleine cirkel $r$ en straal van de grote cirkel $R$ .
Dan is de oppervlakte van het oker gebied: $π (R^{2} - r^{2}) = π \cdot 10^{2} = 100 π$ .

2

De vier grootste cirkels hebben straal $1$ .
De cirkel in het midden heeft straal $\sqrt{2} - 1$ .
De straal van de vier cirkels in de hoeken noemen we $x$ . Om $x$ te berekenen bekijken we de figuur links. Daar is een grote cirkel en een cirkel in de hoek getekend.
Omdat de schuine zijde van een $45 ‐ 45 ‐ 90$ -graden driehoek $\sqrt{2}$ keer zo lang is als een rechthoekszijde geldt: $\frac{1 + x}{1 - x} = \sqrt{2} \Leftrightarrow 1 + x = \sqrt{2} - x \sqrt{2} \Leftrightarrow (1 + \sqrt{2}) x = \sqrt{2} - 1$ , dus $x = \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} + 1}$ .
Hetzelfde is: $3 - 2 \sqrt{2}$ , zie opgave 9 van Rekentechniek.

Om de straal van de vier cirkels te berekenen die de zijden van grote vierkant in het midden raken, bekijken we het plaatje hierboven rechts. $C$ is het middelpunt van zo’n cirkel en $A$ het middelpunt van een van de grote cirkels. De straal van de grote cirkel is $1$ en die van de andere cirkel noemen we $y$ . De stelling van Pythagoras in driehoek $A B C$ geeft: ${(y + 1)}^{2} = 1^{2} + {(1 - y)}^{2}$ , dus $y = \frac{1}{4}$ .

3

Noem de het hoogste punt van de deur $C$ en de twee hoekpunten onder $A$ en $B$ . Noem het middelpunt van de cirkel $M$ en de straal $r$ . $N$ is het midden van $A B$ . Dan is $A B = 2$ en $N C = 3$ . De stelling van Pythagoras in driehoek $N M A$ geeft: $r^{2} = {(3 - r)}^{2} + 1^{2}$ , dus $r = 1 \frac{2}{3}$ .

4

Noem de zijde van het vierkant $r$ , dan (zie figuur):
$r^{2} = {(r - 1)}^{2} + {(r - 8)}^{2} \Leftrightarrow (r - 5) (r - 13) = 0$ , dus $r = 13$ .

5

Noem hoek $A D C$ : $δ$ . Dan $∠ B D C = 180 ° - δ$ . De cosinusregel in driehoek $A D C$ :
$b^{2} = z^{2} + m^{2} - 2 z m cos (δ)$ .
De cosinusregel in driehoek $B C D$ :
$a^{2} = z^{2} + m^{2} - 2 z m cos (180 ° - δ)$ .
Omdat $cos (180 ° - δ) = ‐ cos (δ)$ , levert optellen van deze uitdrukkingen: $a^{2} + b^{2} = 2 z^{2} + 2 m^{2}$ .

6

a

b

Zie figuur bij onderdeel a.

c

Zie figuur bij onderdeel a.

d

Het enige wat je nog moet doen is de oppervlakte van de rode rechthoeken vervangen door $‐ a \cdot c \cdot cos$ (β).

7

a

${sin}^{2} (α) + {cos}^{2} (α) = {(\frac{a}{c})}^{2} + {(\frac{b}{c})}^{2} = \frac{a^{2} + b^{2}}{c^{2}} = 1$

b

Als $α$ stomp is, is $180 ° - α$ scherp. In a hebben we bewezen dat ${sin}^{2} (180 ° - α) + {cos}^{2} (180 ° - α) = 1$ . Verder: $sin (180 ° - α) = sin (α)$ en $cos (180 ° - α) = ‐ cos (α)$ , dus de kwadraten van $sin (180 ° - α)$ en $sin (α)$ zijn, evenals die van $cos (α)$ en $cos (180 ° - α)$ gelijk.

8

a

Links: $A D = A B + B D = c + a \cdot cos (180 ° - β) = c - a \cdot cos (β)$
Rechts: $A D = A B - B D = c - a \cdot cos (β)$

b

Links: $h_{C} = a \cdot sin (180 ° - β) = a \cdot sin (β)$
Rechts: $h_{C} = a \cdot sin (β)$
$b^{2} = A D^{2} + C D^{2} = {(c - a cos (β))}^{2} + {(a sin (β))}^{2}$

c

Uit b volgt:
$c^{2} - 2 a c cos (β) + a^{2} {cos}^{2} (β) + a^{2} {sin}^{2} (β)$
Gebruik vervolgens dat: $a^{2} {cos}^{2} (β) + a^{2} {sin}^{2} (β) = a^{2} ({cos}^{2} (β) + {sin}^{2} (β)) = a^{2}$

9

$∠ C = 180 ° - 124 ° - 33 ° = 23 °$
$\frac{sin (23 °)}{23,3} = \frac{sin (33 °)}{A C}$
$A C \approx 32,48$

10

$a = 8 \cdot cos (22 \frac{1}{2} °) \approx 7,391$ , $b = 8 \cdot sin (22 \frac{1}{2} °) \approx 3,061$ ,
$c = 6 \cdot cos (45 °) \approx 4,243$ , $d = 6 \cdot sin (45 °) \approx 4,243$ ,
$\tan (α) = \frac{d + b}{a + c + 10}$ , dus $tan (α) = \frac{4,243 + 3,061}{4,243 + 7,391 + 10} = 0,338$ , dus $α = 18,7 °$ en de afstand tot Adam is $\sqrt{{(b + d)}^{2} + {(10 + a + c)}^{2}} = \sqrt{{7,304}^{2} + {21,634}^{2}} \approx 22,8$ mijl.

figuur bij extra opgave 10

figuur bij extra opgave 11

11

$d^{2} = {(y - x)}^{2} + {(y + x)}^{2} = 2 x^{2} + 2 y^{2} = 2 (x^{2} + y^{2}) = 2 \cdot 8 = 16$ .
De lengte van de diagonaal is dus $4$ .

12

a

Noem de straal van de cirkel $r$ . De achthoek is te verdelen in acht gelijkbenige driehoeken met twee zijden van lengte $r$ en een hoek van $45^{\circ}$ tussen die zijden.
De oppervlakte van de achthoek is dus: $8 \cdot \frac{1}{2} \cdot r^{2} \cdot sin (45 °) = 2 r^{2} \cdot \sqrt{2}$ , dus $r^{2} = 16$ , dus $r = 4$ .

b

Noem de zijde $z$ . Pas de sinusregel toe in de driehoek met als hoekpunten het middelpunt van de cirkel en twee hoekpunten op het uiteinde van een zijde.
In die driehoek heb je twee hoeken van $67 {\frac{1}{2}}^{\circ}$ en één van $45^{\circ}$ .
Je krijgt: $\frac{sin (67 \frac{1}{2} °)}{4} = \frac{sin (45 °)}{z}$ , dus $z = \frac{4 \cdot sin(45 °)}{sin (67 \frac{1}{2} °)} = 3,1$ .

13

a

$E G = p$ , $M G = r - 2$ en $E M = r$ .
Stelling van Pythagoras geeft:
$r^{2} = p^{2} + {(r - 2)}^{2}$
$\Leftrightarrow r^{2} = p^{2} + r^{2} - 4 r + 4$ .
Dus $4 r = p^{2} + 4$ , delen door $4$ geeft het gewenste resultaat.

b

$p^{2} - 20 p + 116 - 8 (\frac{1}{4} p^{2} + 1) = 0 \Leftrightarrow$
$p^{2} - 20 p + 116 - 2 p^{2} - 8 = 0 \Leftrightarrow$
$‐ p^{2} - 20 p + 108 = 0$
Het tegengestelde nemen levert: $p^{2} + 20 p - 108 = 0$ .

c

$p^{2} + 20 p - 108 = 0 \Leftrightarrow p = \frac{‐ 20 \pm \sqrt{400 + 432}}{2}$
$p > 0$ , dus $p \approx 4,4$ en dan (invullen in $r = \frac{1}{4} p^{2} + 1$ ) geeft $r \approx 5,9$ .
Teken nu een rechthoek $A B C D$ van $4$ bij $10$ .
Teken $H$ op $4,4$ van $D$ op $C D$ . Teken een lijn door $H$ loodrecht op $C D$ . Teken hierop $M$ op afstand $r \approx 5,9$ van $H$ . Je kunt nu de cirkelboog $E H B$ tekenen.
Spiegel $M$ in lijn $E G$ , dat wordt het middelpunt voor de andere cirkelboog.

14

a

Pas de cosinusregel $b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a \cdot c \cdot cos (β)$ in driehoek $A B C$ toe:
$b^{2} = 100^{2} + 90^{2} - 2 \cdot 90 \cdot 100 \cdot cos (β) = 10^{2} (10^{2} + 9^{2} - 2 \cdot 90 \cdot cos (β)) = 10^{2} (181 - 180 \cdot cos (β))$
Worteltrekken geeft:
$A C = 10 \sqrt{181 - 180 \cdot cos (β)}$ .

b

In dit geval is $A C = 160$ , dus gebruikmakend van a vind je: $16 = \sqrt{181 - 180 \cdot cos (β)}$ . Kwadrateren geeft: $256 = 181 - 180 \cdot cos (β)$ , dus $cos (β) = ‐ \frac{75}{180}$ .

In de tekening hiernaast is $E$ het punt op de muur op dezelfde hoogte als $A$ .
$δ = 180 ° - β$ , dus $cos (δ) = \frac{75}{180}$ en $B E = 100 \cdot cos (δ) = 100 \cdot \frac{75}{180} = 41,777$ .
De hoogte van $A$ is nu $280 - 42 = 238$ cm.

15

a

Het westelijke stuk is $315 \cdot cos (72 °) \approx 97,34$ km, het noordelijk stuk is $315 \cdot sin (72 °) \approx 299,58$ km, samen is dat: $396,92$ km, dus het verschil is: $81,92$ km, dus $82$ km.

b

Pas de cosinusregel toe in de driehoek, zie plaatje.
$x^{2} = 300^{2} + 315^{2} - 2 \cdot 300 \cdot 315 \cdot cos (32 °) = 28943, \dots$ dus $x = \sqrt{28943, \dots} \approx 170$ .
De lengte van de vliegroute is dus $470$ km.
$\frac{470 - 315}{470} = 0,33$ , dus de route zou met $33 %$ verkort kunnen worden.

16

Alle vier de driehoeken $H C H$ zijn congruent (want ze hebben dezelfde zijden).
Een lichaamsdiagonaal is $2 \sqrt{3}$ . De zijden zijn de helft daarvan, dus $\sqrt[]{3}$ .
De zijde $HH$ is $2 \sqrt{2}$ .
Pas de cosinusregel in een driehoek $H C H$ toe.
Noem de valentiehoek $α$ .
${(2 \sqrt{2})}^{2} = {(\sqrt{3})}^{2} + {(\sqrt{3})}^{2} - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot cos (α)$
Dit geeft: $cos (α) = ‐ \frac{1}{3}$ , de valentiehoek is ongeveer $109 °$ .

17

$71 °$ .
Veronderstel dat de ribben van het viervlak $2$ zijn, dan $A M = B M = \sqrt{3}$ , pas vervolgens de cosinusregel toe in driehoek $A B M$ , dit geeft:
$2^{2} = {\sqrt{3}}^{2} + {\sqrt{3}}^{2} - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \cos (α)$ , waarbij $α$ de gevraagde hoek is.
Dit geeft $\cos (α) = \frac{1}{3}$ .

18

$13,9$
Bereken bijvoorbeeld eerst de zijden, dan met de cosinus-regel een hoek en pas dan de oppervlakteregel toe.

19

$102 °$
Je moet hoek $A M G$ in driehoek $A M G$ hebben. De zijden van die driehoek zijn: $\sqrt{5}$ , $\sqrt{5}$ en $2 \sqrt{3}$ (als de kubus ribben $2$ heeft).

20

a

$\sqrt{3}$ , $\sqrt{3}$ , $2$

b

De grensvlakken $A B T$ en $B C T$ hiernaast zijn plat gedrukt. De kortste weg is $A ‐ P ‐ C$ , waarbij $P$ het snijpunt van de lijnen $A C$ en $T P$ is.
Omdat $A T = \sqrt{3} \cdot A B$ , is driehoek $A B T$ en dus ook driehoek $A B P$ een $30 ‐ 60 ‐ 90$ graden- driehoek, dus $B P = \frac{1}{2} A B = \frac{1}{2}$ en $T P = 1 \frac{1}{2}$ .

c

De cos-regel in driehoek $A P C$ geeft: $109 °$ .
(De zijden van driehoek $A P C$ zijn $\sqrt{2}$ , $\frac{1}{2} \sqrt{3}$ en $\frac{1}{2} \sqrt{3}$ .)

21

$74 °$
( $H G = 5$ verder $B F = 1$ , dus $F G = \sqrt{20} = 2 \sqrt{5} = E H$ en $E G = \sqrt{33}$ .
Pas nu de cosinusregel toe in driehoek $E H G$ .)