Wortels vereenvoudigen 1
1

De driehoek in de figuur is rechthoekig.

a

Ga dat na.

Bekijk de vier driehoeken met zijden
1 5 , 2 1 5 en 1 ;
1 2 , 1 en 1 1 4 ;
6 , 12 en 180 ;
5 , 2 5 en 5 .
Deze zijn rechthoekig.

b

Ga dat voor de eerste in de serie na.

Omdat de rechthoekszijden zich verhouden als 1 : 2 , is elke driehoek uit de serie gelijkvormig met de driehoek in het plaatje hierboven.
Door de driehoek met zijden 1 , 2 en 5 met 1 2 te vermenigvuldigen, krijg je enerzijds de driehoek met zijden 1 2 , 1 en ( 1 2 ) 2 + 1 2 = 1 1 4 ,
en anderzijds de driehoek met zijden 1 2 , 1 en 1 2 5 .
(Vergelijk de kortste rechthoekszijden.)
Dus 1 1 4 = 1 2 5 .

c

Hoe volgt met gelijkvormigheid dat 180 = 6 5 ?

d

De driehoek met zijden 5 , 2 5 en 5 is gelijkvormig met de driehoek met zijden 1 5 , 2 1 5 en 1 .
Hoe volgt hieruit dat 1 5 = 1 5 5 ?

In opgave 1 hebben we met gelijkvormigheid gezien dat: 1 1 4 = 1 2 5 , 1 5 = 1 5 5 , 180 = 6 5 .
We noemen dit vereenvoudigen van wortels. Je kunt dat ook puur algebraïsch doen:
1 1 4 = 5 4 = 5 4 = 5 2 = 1 2 5
1 5 = 5 25 = 5 25 = 5 5 = 1 5 5
180 = 36 5 = 6 5
Op de middelbare school is het gebruik om wortels zo eenvoudig mogelijk te schrijven, dat betekent:

  • schrijf een zo klein mogelijk geheel getal achter het wortelteken:
    18 = 9 2 = 3 2 ,

  • schrijf geen wortel in de noemer:
    3 2 = 3 2 2 2 = 6 2 = 1 2 6 ,

  • laat geen breuken onder het wortelteken staan:
    2 3 = 6 9 = 6 9 = 6 3 = 1 3 6 .

2

Schrijf de volgende wortels zo eenvoudig mogelijk.

a
72 172
162 1000
b
6 5 6 4
6 3 200 2
c
1 5 3 5
3 3 7 1 11 25

De 30-60-90- en de 45-45-90- graden driehoek

In de tweede klas heb je het volgende al gezien.

  • In een 30-60-90- graden driehoek (halve regelmatige driehoek) verhouden de zijden zich als 1 : 3 : 2 .

  • In een 45-45-90- graden driehoek (half vierkant) verhouden de zijden zich als 1 : 1 : 2 .

3

Van een gelijkbenige driehoek is de tophoek 120 ° en de gelijke benen zijn 1 .

Bereken exact de basis A B .

4

Het trapezium is opgebouwd uit twee 30-60-90- graden en twee 45-45-90- graden driehoeken.
De kortste zijde is 6 .

Bereken de lengte van de andere zijden en de diagonalen exact. Schrijf de wortels in je antwoord zo eenvoudig mogelijk.

Voorbeeld:

De vergelijking x + 2 x = 3 los je op als volgt op.

x + 2 x

=

3

De term met de wortel 'isoleren'.

x 3

=

2 x

kwadrateren

x 2 6 x + 9

=

4 x

op 0 herleiden en ontbinden

( x 1 ) ( x 9 )

=

0

1 en 9 controleren in de oorspronkelijke vergelijking

Alleen x = 1 voldoet.

We komen in hoofdstuk 3 nog terug op het feit dat je de oplossingen moet controleren.

5

De rechthoekige driehoek in de figuur heeft schuine zijde 17 en omtrek 40 .

Een van de rechthoekszijden noemen we x .

a

Laat zien dat x + 289 x 2 = 23 .

b

Los de vergelijking in het vorige onderdeel exact op.

6

Los exact op.

a

x = x + 2

b

x = x + 2

c

x = x + 2

7

In de figuur is een vierkant in een rechthoekige driehoek getekend.

a

Druk alle lijnstukken in het plaatje uit in x .
Gebruik gelijkvormigheid.

Blijkbaar geldt:
1 + 1 x 2 + x 2 + 1 = ( x + 1 ) 2 + ( 1 + 1 x ) 2 .

b

Laat met algebra zien dat deze formule juist is.

Wortels vereenvoudigen 2
8

In driehoek A B C is C D een hoogtelijn. Verder is gegeven:
C D = 1 , A D = 2 1 , B D = 2 + 1 .

a

Bereken a 2 en b 2 en toon aan dat driehoek A B C rechthoekig is.

Omdat h 2 = A D B D , geldt dat A D = 2 1 en B D = 2 + 1 elkaars omgekeerde zijn, dus: 1 2 1 = 2 + 1

b

Controleer dat algebraïsch.

Voorbeeld:

Ook (bijvoorbeeld) 2 3 1 , kun je zonder wortel in de noemer schrijven, als volgt:
2 3 1 = 2 3 1 3 + 1 3 + 1 = 2 3 + 2 3 1 = 3 + 1 .

9

Schrijf de volgende vormen zonder wortel in de noemer.

2 3 + 2 3 5 + 2 3 2 5 + 17
10

De loodrechte projectie van P op lijn k is P en P P = 1 . A en B liggen op k en A B = 8 . B ligt 4 2 verder van P dan A .

Stel een vergelijking op om de afstand van A tot P te berekenen en los die vergelijking exact op.

11

Er geldt: 5 5 24 = 5 5 24 en 6 6 35 = 6 6 35 .

a

Toon dat exact aan.

b

Zijn er meer van dit soort gelijkheden te vinden?