1

a

$1^{2} + 2^{2} = {\sqrt{5}}^{2}$

b

${\sqrt{\frac{1}{5}}}^{2} + {(2 \sqrt{\frac{1}{5}})}^{2} = 1^{2}$

c

De driehoek met zijden $6$ , $12$ , en $\sqrt{180}$ ontstaat uit die met zijden $1$ , $2$ en $\sqrt{5}$ door met $6$ te vermenigvuldigen.

d

Als je de driehoek met zijden $\sqrt{5}$ , $2 \sqrt{5}$ en $5$ met $\frac{1}{5}$ vermenigvuldigt, krijg je de driehoek met zijden $\sqrt{\frac{1}{5}}$ , $2 \sqrt{\frac{1}{5}}$ en $1$ . (Let op de derde zijde.)
Dus $\sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{5} \sqrt{5}$ . (Let op de eerste zijde.)

2

a

$6 \sqrt{2}$	$2 \sqrt{43}$
$9 \sqrt{2}$	$10 \sqrt{10}$

b

$\frac{1}{5} \sqrt{30}$	$\frac{1}{2} \sqrt{6}$
$\sqrt{2}$	$10$

c

$\frac{1}{5} \sqrt{5}$	$\frac{1}{5} \sqrt{15}$
$\frac{2}{7} \sqrt{42}$	$1 \frac{1}{5}$

3

Het midden van $A B$ noemen we $M$ , dan is driehoek $A C M$ een $30-60-90-$ graden-driehoek. Dus $C M = \frac{1}{2}$ en $A M = \frac{1}{2} \sqrt{3}$ , dus $A B = \sqrt{3}$ .

4

Twee zijden zijn: $6 \sqrt{2}$ , een zijde is $6 \sqrt{3}$ en de diagonalen zijn: $3 \sqrt{2} + 3 \sqrt{6}$ .

5

a

De andere rechthoekszijde is $\sqrt{289 - x^{2}}$ . De twee rechthoekszijden samen zijn $40 - 17 = 23$ .

b

$8$ en $15$

6

a

Kwadrateren geeft: $x^{2} = x + 2 \Leftrightarrow x^{2} - x - 2 = 0 \Leftrightarrow$ $(x - 2) (x + 1) = 0 \Leftrightarrow$ $x = 2$ of $x = ‐ 1$ . Aan de oorspronkelijke vergelijking voldoet alleen $x = 2$ .

b

Kwadrateren geeft: $x^{2} = x + 2 \Leftrightarrow x^{2} - x - 2 = 0 \Leftrightarrow$ $(x - 2) (x + 1) = 0 \Leftrightarrow$ $x = 2$ of $x = ‐ 1$ . Aan de oorspronkelijke vergelijking voldoet alleen $x = ‐ 1$ .

c

$x = \sqrt{x} + 2 \Leftrightarrow x - 2 = \sqrt{x}$
Kwadrateren geeft: $x^{2} - 4 x + 4 = x \Leftrightarrow x^{2} - 5 x + 4 = 0 \Leftrightarrow$ $(x - 1) (x - 4) = 0 \Leftrightarrow x = 1$ of $x = 4$ . Aan de oorspronkelijke vergelijking voldoet alleen $x = 4$ .

7

a

$a = \sqrt{x^{2} + 1}$ , $\frac{b}{1} = \frac{1}{x}$ , dus $b = \frac{1}{x}$ (gelijkvormigheid van de twee kleinere driehoeken). Verder $c = \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}$ .
De rechthoekszijden van de grote driehoek zijn: $x + 1$ en $1 + \frac{1}{x}$ , dus $d = \sqrt{{(x + 1)}^{2} + {(1 + \frac{1}{x})}^{2}}$ .
Anderzijds $d = a + c = \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}} + \sqrt{x^{2} + 1}$ .

b

$\sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}} + \sqrt{x^{2} + 1} = \sqrt{{(x + 1)}^{2} + {(1 + \frac{1}{x})}^{2}}$
Kwadrateren geeft:
$1 + \frac{1}{x^{2}} + 2 \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}} \cdot \sqrt{x^{2} + 1} + x^{2} + 1 = {(x + 1)}^{2} + {(1 + \frac{1}{x})}^{2}$ .
We bekijken eerst de linkerkant. Het deel $\sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}} \cdot \sqrt{x^{2} + 1} = \sqrt{\frac{x^{2} + 1}{x^{2}}} \cdot \sqrt{x^{2} + 1} = \sqrt{\frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{x^{2}}} = \frac{x^{2} + 1}{x}$ , dus de linkerkant is:
$1 + \frac{1}{x^{2}} + 2 \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}} \cdot \sqrt{x^{2} + 1} + x^{2} + 1 = x^{2} + \frac{1}{x^{2}} + 2 + 2 \cdot \frac{x^{2} + 1}{x}$ $= x^{2} + \frac{1}{x^{2}} + 2 + 2 x + \frac{2}{x}$ .
en de rechterkant is:
${(x + 1)}^{2} + {(1 + \frac{1}{x})}^{2} = x^{2} + 2 x + 1 + 1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}$ .
Klopt!

8

a

$a^{2} = {(\sqrt{2} + 1)}^{2} + 1^{2} = 4 + 2 \sqrt{2}$ , $b^{2} = {(\sqrt{2} - 1)}^{2} + 1^{2} = 4 - 2 \sqrt{2}$ en $c^{2} = {(2 \sqrt{2})}^{2} = 8$ , dus $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ .

b

$\frac{1}{\sqrt{2} - 1} = \sqrt{2} + 1$ ? Kruislings vermenigvuldigen geeft: $(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} - 1) = 1$ en dat klopt.

9

$\frac{2}{\sqrt{3} + 2} \cdot \frac{\sqrt{3} - 2}{\sqrt{3} - 2} = \frac{2 \sqrt{3} - 4}{3 - 4} = 4 - 2 \sqrt{3}$
$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5} + 2} \cdot \frac{\sqrt{5} - 2}{\sqrt{5} - 2} = \frac{\sqrt{15} - 2 \sqrt{3}}{5 - 4} = \sqrt{15} - 2 \sqrt{3}$
$\frac{3}{2 \sqrt{5} + \sqrt{17}} \cdot \frac{2 \sqrt{5} - \sqrt{17}}{2 \sqrt{5} - \sqrt{17}} = \frac{3 (2 \sqrt{5} - \sqrt{17})}{20 - 17} = 2 \sqrt{5} - \sqrt{17}$

10

De afstand van $A$ tot $P^{'}$ noemen we $x$ , dan $A P = \sqrt{x^{2} + 1}$ en $B P = \sqrt{{(8 - x)}^{2} + 1}$ , dus: $\sqrt{{(8 - x)}^{2} + 1} - \sqrt{x^{2} + 1} = 4 \sqrt{2} \Leftrightarrow$ $\sqrt{{(8 - x)}^{2} + 1} = \sqrt{x^{2} + 1} + 4 \sqrt{2}$ .
Kwadrateren geeft:
$65 - 16 x + x^{2} = x^{2} + 1 + 32 + 8 \sqrt{2 x^{2} + 2} \Leftrightarrow 32 - 16 x = 8 \sqrt{2 x^{2} + 2} \Leftrightarrow 4 - 2 x = \sqrt{2 x^{2} + 2}$
Nogmaals kwadrateren geeft:
$16 - 16 x + 4 x^{2} = 2 x^{2} + 2 \Leftrightarrow x^{2} - 8 x + 7 = 0$ , dus $x = 1$ of $x = 7$ .
Dus $x = 1$ (want $A$ ligt dichter bij $P$ ).
Dus $A P = \sqrt{2}$ .

11

a

$5 \sqrt{\frac{5}{24}} = \sqrt{25 \cdot \frac{5}{24}} = \sqrt{\frac{125}{24}} = \sqrt{5 \frac{5}{24}}$ en
$6 \sqrt{\frac{6}{35}} = \sqrt{36 \cdot \frac{6}{35}} = \sqrt{\frac{216}{35}} = \sqrt{6 \frac{6}{35}}$

b

Neem aan: $a \sqrt{\frac{a}{b}} = \sqrt{a \frac{a}{b}}$ , dan $\sqrt{\frac{a^{3}}{b}} = \sqrt{a \frac{a}{b}}$ , dus:
$\frac{a^{3}}{b} = a + \frac{a}{b}$ , dus (beide kanten delen door $a$ en vermenigvuldigen met $b$ ) geeft: $a^{2} = 1 + b \Leftrightarrow b = a^{2} - 1$ .
Als je voor $a = 2$ neemt, krijg je $2 \sqrt{\frac{2}{3}} = \sqrt{2 \frac{2}{3}}$ .
Als je voor $a = 3$ neemt, krijg je $3 \sqrt{\frac{3}{8}} = \sqrt{3 \frac{3}{8}}$ .
Als je voor $a = 4$ of $5$ neemt, krijg je de twee gevallen uit het vorige onderdeel.
Enzovoort.