Een bewijs van de cosinusregel in een scherphoekige driehoek
1

Op de zijden van de scherphoekige driehoek A B C zijn vierkanten geplaatst. De hoogtelijnen van driehoek A B C verdelen elk van de vierkanten in twee stukken.

a

Laat zien dat beide gekleurde rechthoeken in het plaatje oppervlakte b c cos ( α ) hebben en dus gelijke oppervlakte hebben.

b

Geef andere rechthoeken op het werkblad met dezelfde oppervlakte dezelfde kleur.

c

Laat nu zien waarom a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos ( α ) .

d

Formuleer soortgelijke regels als in het vorige onderdeel met cos(β) en met cos(γ).

Cosinusregel
a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos (α)
b 2 = a 2 + c 2 2 a c cos (β)
c 2 = a 2 + b 2 2 a b cos (γ)

Je kunt een soortgelijk bewijs van de cosinusregel geven in een stomphoekige driehoek, zie hiervoor extra opgave 6.
Er is ook een algebraïsch bewijs in extra opgave 8.

2

Bereken de onbekende zijden en de onbekende hoeken in de driehoeken in het plaatje.

3
a

Bereken de lengte van zijde A B , de derde zijde van de driehoek in de figuur hieronder .

b

In de driehoek is een zwaartelijn getekend (een zwaartelijn gaat vanuit een hoekpunt naar het midden van de tegenoverliggende zijde).
Bereken de lengte van die zwaartelijn.

4

In driehoek A S X hebben A S en S X een vaste lengte. De zijden A S en S X scharnieren in S .
We laten hoek A S X groter worden.

a

Bewijs met de cosinusregel dat de lengte van A X dan ook groter wordt.

Als hoek A S X groter wordt, wordt de oppervlakte van driehoek A S X eerst groter en daarna (als hoek A S X stomp wordt), weer kleiner.
Neem aan dat latje S X lengte 5,0 heeft en latje A S lengte 3,7 .

b

Bereken hoek A S X in graden nauwkeurig als de oppervlakte van driehoek A S X gelijk is aan 3.9 .

5

Van de vlieger in het plaatje staan de gegevens in de figuur.

a

Bereken de lengte van de korte diagonaal in één decimaal nauwkeurig.
Doe dat op twee manieren: mét en zonder cosinusregel.

b

Bereken de andere hoeken van de vlieger in graden nauwkeurig.

c

Bereken de lengte van de lange diagonaal.

6

In driehoek A B C zijn de zijden a , b en c en de hoeken α, β en γ.
In elk van de volgende onderdelen zijn drie van de zes gegeven.

Bereken zo mogelijk de andere drie.

a

b

c

α

β

γ

8

5

65 °

8

5

65 °

150

120 °

45 °

12

15

55 °

6

10

8

15

15

20 °

30 °

70 °

80 °

7

Met behulp van een GPS-ontvanger kunnen op iedere plaats op aarde de coördinaten van die plaats worden bepaald. Een wereldwijd beoefende hobby waarbij gebruik gemaakt wordt van GPS is geocaching. Bij geocaching is het de bedoeling een cache – een soort schatkistje – te zoeken met behulp van een GPS-ontvanger en een loopopdracht. Een loopopdracht bestaat uit twee onderdelen: een koers en een afstand. De koers is de hoek ten opzichte van het noorden in een geheel aantal graden, vanaf het noorden draaiend met de klok mee. De afstand is gegeven in een geheel aantal meters. (In deze opgave is de koers dus anders gedefinieerd dan in het begin van paragraaf 4.)

De zoektocht naar de cache, genaamd “Haagse zoektocht” wordt als volgt beschreven:

  • Parkeer de auto langs de kant van de weg op N52 16.351 E6 57.531. Dit is punt A .

  • Loop vanaf punt A 109 meter met koers 163 graden. Dit is punt B .

  • Loop vanaf punt B 25 meter met koers 110 graden naar de cache op punt C .


Zie de figuur.
Het is mogelijk om in één loopopdracht vanaf punt A naar punt C te gaan. Hiervoor moet in driehoek A B C eerst de afstand A C berekend worden en vervolgens moet de koers van A naar C berekend worden.

Bereken de koers en de afstand van deze loopopdracht.