Een bewijs van de cosinusregel in een scherphoekige driehoek
1
a

De zijden van de bovenste okeren rechthoek zijn b en c cos ( α ) . De zijden van de onderste okeren rechthoek zijn c en b cos (> α ) Dus is de oppervlakte van beide okeren rechthoeken is b c cos ( α ) .

b

De blauwe rechthoeken hebben gelijke oppervlakte en de witte ook.

c

De witte en de blauwe rechthoek rechtsboven hebben samen oppervlakte a 2 .
De okeren en de blauwe rechthoek onder hebben samen oppervlakte c 2 .
De witte en de okeren rechthoek linksboven hebben samen oppervlakte b 2 .
Met het feit dat de twee okeren rechthoeken samen oppervlakte 2 b c cos ( α ) hebben, levert dit a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos (α).

d

b 2 = a 2 + c 2 2 a c cos ( β )
c 2 = a 2 + b 2 2 a b cos ( γ )

2
Linker plaatje boven

B C 2 = 5 2 + 4 2 2 5 4 cos ( 60 ° )
B C 2 = 25 + 16 40 1 2 = 21
B C = 21


5 2 = 21 2 + 4 2 2 21 4 cos ( B )
25 = 37 8 21 cos ( B )
8 21 cos ( B ) = 12
cos ( B ) = 12 8 21
B 70,9 °

Rechter plaatje

sin ( D ) 6 = sin ( E ) 5
sin ( 60 ° ) 6 = sin ( E ) 5
1 2 3 6 = sin ( E ) 5
sin ( E ) = 5 1 2 3 6 = 5 12 3
E 46,2 °


F = 180 ° 46,194... ° 60 ° = 73,805... °
sin ( 73,805... ° ) D E = sin ( 60 ° )( 6 = 1 12 3 0,1443 , dus D E = sin ( 73,805 ° ) 0,1443 6,7


Linker plaatje onder

De sinusregel in Δ K L M geeft:
sin ( 70 ° ) 10 = sin ( L ) 5
sin ( L ) = 5 sin ( 70 ° ) 10
L 28,0 °


De cosinusregel in Δ K L N geeft dan:
K N 2 = 8 2 + 10 2 2 8 10 cos ( L )
K N 2 = 8 2 + 10 2 2 8 10 cos ( 28,024... ° )
K N = 4,770...
Nog een keer de cosinusregel in Δ K L N geeft:
10 2 = 8 2 + 4 ,770 ... 2 2 8 4 ,770 ... cos ( K N L )
cos ( K N L ) = 8 2 + 4,770... 2 10 2 2 8 4,770... = 0,173...
K N L 100,0 °

3
a

Met sinusregel β berekenen geeft: β 31,3 ° . Dus γ 88,7 ° . Met bijvoorbeeld sinusregel krijg je A B 6,9 .

b

3,5 (met bijvoorbeeld cosinusregel in driehoek A C M , waarbij M het midden van A B is).

4
a

A X 2 = x 2 + a 2 2 x a cos ( α )
Als α groter wordt, wordt cos ( α ) kleiner, dus 2 x a cos ( α ) groter, dus A X 2 groter, dus A X groter.

b

Er geldt: 1 2 5,0 3,7 sin ( A S X ) = 3,9 , dus sin ( A S X ) = 0,42 .
sin 1 ( 0,42 ) 25 ° , dus als hoek A S X scherp is, geldt A S X = 25 ° en als hoek A S X stomp is, dan A S X = 155 ° .

5
a

Noem het snijpunt van de diagonalen van de vlieger S .
met cosinusregel
B D 2 = 15 2 + 15 2 2 15 15 cos ( 86 ° ) , dit geeft: B D = 418,609... = 20,5 .
zonder cosinusregel
sin ( 43 ° ) = 1 2 B D 15
korte diagonaal = 15 sin ( 43 ° ) 2 = 20,5

b

sin ( 43 ° ) 26 = sin ( C A B ) 15
sin ( C A B ) = 15 sin ( 43 ° ) 26
C A B = 23,169... ° D A B = 46 °
A D C = A B C = ( 360 ° 86 ° 46 ° ) : 2 = 114 °

Dus de vlieger heeft twee hoeken van 114 ° , een hoek van 86 ° en een hoek van 46 ° .

c

15 2 B S 2 + 26 2 B S 2 34,9

6

a

b

c

α

β

γ

8

5

7,4

77,4 °

37,6 °

65 °

8

5

8,7

65 °

34,5 °

80,5 °

501,9

409,8

150

120 °

45 °

15 °

12,7

12

15

55 °

50,5 °

74,5 °

6

10

8

36,9 °

90 °

53,1 °

15

15

5,2

80 °

80 °

20 °

?

?

?

30 °

70 °

80 °

In het laatste geval kunnen a , b en c niet berekend worden. Wel de verhouding tussen de zijden. Die is: sin ( α ) : sin ( β ) : sin ( γ ) 0,5 : 0,94 : 0,98 .

7

A B C = 110 ° + ( 180 ° 163 ° ) = 127 °
Cosinusregel in driehoek A B C :
A C 2 = 109 2 + 25 2 2 109 25 cos ( 127 ° ) = 15785,89 , dus A C = 125,64
Sinusregel in driehoek A B C :
sin ( A ) 25 = sin ( 127 ° ) 125,64 geeft A = 9,144 ° .
De koershoek is dus: 163 ° 9,144 ° 153,9 ° .