1

a

De zijden van de bovenste okeren rechthoek zijn $b$ en $c \cdot cos (α)$ . De zijden van de onderste okeren rechthoek zijn $c$ en $b \cdot cos (α)$ . Dus is de oppervlakte van beide okeren rechthoeken is $b \cdot c \cdot cos (α)$ .

b

De blauwe rechthoeken hebben gelijke oppervlakte en de witte ook.

c

De witte en de blauwe rechthoek rechtsboven hebben samen oppervlakte $a^{2}$ .
De okeren en de blauwe rechthoek onder hebben samen oppervlakte $c^{2}$ .
De witte en de okeren rechthoek linksboven hebben samen oppervlakte $b^{2}$ .
Met het feit dat de twee okeren rechthoeken samen oppervlakte $2 \cdot b \cdot c \cdot cos (α)$ hebben, levert dit $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \cdot b \cdot c \cdot cos$ (α).

d

$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 \cdot a \cdot c \cdot cos (β)$
$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \cdot a \cdot b \cdot cos (γ)$

2

Linker plaatje boven

$B C^{2} = 5^{2} + 4^{2} - 2 \cdot 5 \cdot 4 \cdot \cos (60 °)$
$B C^{2} = 25 + 16 - 40 \cdot \frac{1}{2} = 21$
$B C = \sqrt{21}$

$5^{2} = {\sqrt{21}}^{2} + 4^{2} - 2 \cdot \sqrt{21} \cdot 4 \cdot cos (∠ B)$
$25 = 37 - 8 \sqrt{21} \cdot cos (∠ B)$
$8 \sqrt{21} \cdot cos (∠ B) = 12$
$cos (∠ B) = \frac{12}{8 \sqrt{21}}$
$∠ B \approx 70,9 °$

Rechter plaatje

$\frac{sin (∠ D)}{6} = \frac{sin (∠ E)}{5}$
$\frac{sin (60 °)}{6} = \frac{sin (∠ E)}{5}$
$\frac{\frac{1}{2} \sqrt{3}}{6} = \frac{sin (∠ E)}{5}$
$sin (∠ E) = 5 \cdot \frac{\frac{1}{2} \sqrt{3}}{6} = \frac{5}{12} \sqrt{3}$
$∠ E \approx 46,2 °$

$∠ F = 180 ° - 46,194... ° - 60 ° = 73,805... °$
$\frac{sin (73,805... °)}{D E} = \frac{sin (60 °)}{6} = \frac{1}{12} \sqrt{3} \approx 0,1443$ , dus $D E = \frac{\sin (73,805 \dots °)}{0,1443 \dots} \approx 6,7$

Linker plaatje onder

De sinusregel in $Δ K L M$ geeft:
$\frac{sin (70 °)}{10} = \frac{sin (∠ L)}{5}$
$sin (∠ L) = 5 \cdot \frac{sin (70 °)}{10}$
$∠ L \approx 28,0 °$

De cosinusregel in $Δ K L N$ geeft dan:
$K N^{2} = 8^{2} + 10^{2} - 2 \cdot 8 \cdot 10 \cdot cos (∠ L)$
$K N^{2} = 8^{2} + 10^{2} - 2 \cdot 8 \cdot 10 \cdot cos (28,024... °)$
$K N = 4,770...$
Nog een keer de cosinusregel in $Δ K L N$ geeft:
$10^{2} = 8^{2} + 4,770 {...}^{2} - 2 \cdot 8 \cdot 4,770 ... \cdot cos (∠ K N L)$
$cos (∠ K N L) = \frac{8^{2} + {4,770...}^{2} - 10^{2}}{2 \cdot 8 \cdot 4,770...} = ‐ 0,173...$
$∠ K N L \approx 100,0 °$

3

a

Met sinusregel $β$ berekenen geeft: $β \approx 31,3 °$ . Dus $γ \approx 88,7 °$ . Met bijvoorbeeld sinusregel krijg je $A B \approx 6,9$ .

b

$3,5$ (met bijvoorbeeld cosinusregel in driehoek $A C M$ , waarbij $M$ het midden van $A B$ is).

4

a

$A X^{2} = x^{2} + a^{2} - 2 x a cos (α)$
Als $α$ groter wordt, wordt $cos (α)$ kleiner, dus $‐ 2 x a cos (α)$ groter, dus $A X^{2}$ groter, dus $A X$ groter.

b

Er geldt: $\frac{1}{2} \cdot 5,0 \cdot 3,7 \cdot \sin (∠ A S X) = 3,9$ , dus $\sin (∠ A S X) = 0,42 \dots$ .
$\sin^{‐ 1} (0,42 \dots) \approx 25 °$ , dus als hoek $A S X$ scherp is, geldt $∠ A S X = 25 °$ en als hoek $A S X$ stomp is, dan $∠ A S X = 155 °$ .

5

a

Noem het snijpunt van de diagonalen van de vlieger $S$ .
met cosinusregel
$B D^{2} = 15^{2} + 15^{2} - 2 \cdot 15 \cdot 15 \cdot \cos (86 °)$ , dit geeft: $B D = \sqrt{418,609...} = 20,5$ .
zonder cosinusregel
$sin (43 °) = \frac{\frac{1}{2} B D}{15}$
korte diagonaal $= 15 \cdot sin (43 °) \cdot 2 = 20,5$

b

$\frac{sin (43 °)}{26} = \frac{sin (∠ C A B)}{15}$
$sin (∠ C A B) = 15 \cdot \frac{sin (43 °)}{26}$
$∠ C A B = 23,169... ° \Rightarrow ∠ D A B = 46 °$
$∠ A D C = ∠ A B C = (360 ° - 86 ° - 46 °) : 2 = 114 °$

Dus de vlieger heeft twee hoeken van $114 °$ , een hoek van $86 °$ en een hoek van $46 °$ .

c

$\sqrt{15^{2} - {B S}^{2}} + \sqrt{26^{2} - {B S}^{2}} \approx 34,9$

6

$a$	$b$	$c$	$α$	$β$	$γ$
$8$	$5$	$7,4$	$77,4 °$	$37,6 °$	$65 °$
$8$	$5$	$8,7$	$65 °$	$34,5 °$	$80,5 °$
$501,9$	$409,8$	$150$	$120 °$	$45 °$	$15 °$
$12,7$	$12$	$15$	$55 °$	$50,5 °$	$74,5 °$
$6$	$10$	$8$	$36,9 °$	$90 °$	$53,1 °$
$15$	$15$	$5,2$	$80 °$	$80 °$	$20 °$
?	?	?	$30 °$	$70 °$	$80 °$

In het laatste geval kunnen $a$ , $b$ en $c$ niet berekend worden. Wel de verhouding tussen de zijden. Die is: $sin (α) : sin (β) : sin (γ) \approx 0,5 : 0,94 : 0,98$ .

7

$∠ A B C = 110 ° + (180 ° - 163 °) = 127 °$
Cosinusregel in driehoek $A B C$ :
$A C^{2} = 109^{2} + 25^{2} - 2 \cdot 109 \cdot 25 \cdot cos (127 °) = 15.785,89 \dots$ , dus $A C = 125,64$
Sinusregel in driehoek $A B C$ :
$\frac{sin (∠ A)}{25} = \frac{sin (127 °)}{125,64}$ geeft $∠ A = 9,144 °$ .
De koershoek is dus: $163 ° - 9,144 ° \approx 153,9 °$ .