3.2  Functies in samenhang >
Schuiven
1

Een wegpiraat wordt achtervolgd door de verkeerspolitie. We volgen de wilde rit vanaf 2.00 uur. De tijd-afstand-grafiek voor de komende minuten staat getekend.

a

Met welke snelheid (in km/uur) reed de wegpiraat om 2.00 uur? Hoe heb je dat antwoord gevonden?

b

Na hoeveel km zit er een scherpe bocht in de weg?

Een politieauto achtervolgt de wegpiraat. De plek die de piraat om 2.00 uur passeert, wordt door de politie een halve minuut later gepasseerd. Beide auto’s zijn volledig aan elkaar gewaagd; ze rijden op elke plek van de weg even snel. Zo nemen ze de bocht ook met dezelfde snelheid. De politieauto bereikt dus elke plek van de route een halve minuut later dan de piraat.

c

Teken op het werkblad nauwkeurig de grafiek voor de politieauto.

d

Hoeveel kilometer (ongeveer) ligt de politieauto achter op de wegpiraat om 2.01 uur?

e

Lees uit de grafiek af wanneer de politieauto de piraat het dichtst genaderd is.
Hoeveel meter achterstand heeft hij dan nog?

De grafiek voor de politieauto is een kopie van de grafiek voor de wegpiraat.

f

Zeg precies hoe de grafiek voor de politieauto ontstaat uit de grafiek voor de piraat.

We rekenen de afstand in km vanaf de plek die de piraat om 2.00 uur passeert. De afstand van de wegpiraat om t minuten over twee noemen we P i ( t ) .

g

Lees uit de grafiek af hoe groot P i ( 1 ) en P i ( 3 1 2 ) zijn.
En omgekeerd: voor welke t geldt P i ( t ) = 9 ?

De afstand van de politieauto om t minuten over twee noemen we P o ( t ) .

h

Hoe groot zijn P o ( 1 1 2 ) en P o ( 4 ) ?
En omgekeerd: voor welke t geldt P o ( t ) = 9 ?

i

Neem over en vul in: P o ( t ) = P i ( ... ) .

2

Een stoeltjeslift brengt wandelaars in 20  minuten van 600 tot 1800  meter hoog. De lift beweegt gelijkmatig, zonder stoppen. Op tijdstip 0 stapt Hans in. Zijn hoogte op tijdstip t noemen we h ( t ) . We rekenen de tijd in minuten en de hoogte in meter. Hieronder is de grafiek getekend.

Wim gaat 5  minuten later omhoog. Zijn hoogte op tijdstip t noemen w ( t ) met 5 t 25 .

a

Neem over en vul in:

w ( 5 ) = h ( ... ) w ( 7 ) = h ( ... ) w ( t ) = h ( ... )

b

Teken de grafiek van w . Hoe ontstaat die uit de grafiek van h ?

10  minuten voor Hans was Ans ingestapt. Haar hoogte op tijdstip t noemen a ( t ) met 10 t 10 .

c

Vul in: a ( t ) = h ( ... ) .

d

Hoe ontstaat de grafiek van a uit die van h ?

Gegeven een functie f .

  • De grafiek van de functie f wordt 3 eenheden naar rechts geschoven. Je krijgt de grafiek van een functie g .
    Er geldt: g ( x ) = f ( x 3 ) .

  • De grafiek van de functie f wordt 4 eenheden naar links geschoven. Je krijgt de grafiek van een functie h .
    Er geldt: h ( x ) = f ( x + 4 ) .

3

Voer in GeoGebra een functie f in, bijvoorbeeld f ( x ) = x 3 .
Kijk wat er gebeurt als je in de invoerregel invult: f ( x 3 ) .
En ook f ( x + 4 ) .

4

Hiernaast zijn de grafieken van twee functies f en g getekend. Door de grafiek van f 10  eenheden omhoog te schuiven krijg je de grafiek van g .

Hoe krijg je de formule van g ( x ) uit die van f ( x ) ?
In GeoGebra of met de GR kun je je antwoord controleren.

5

Gegeven de functie f met f ( x ) = x 2 . De grafiek van f is, zoals bekend een dalparabool met top ( 0,0 ) .
De grafiek van de functie g ontstaat door die van f 3  eenheden naar rechts en 4  eenheden naar boven te schuiven.

a

Welk punt is de top van grafiek van g ?

b

Wat is de formule van g ( x ) ?

6

Gegeven de functie f met f ( x ) = x 2 . De grafiek van f wordt verschoven. Het resultaat is de grafiek van een functie die we g noemen.
De lijn y = 3 snijdt de grafiek van g in A en B zó, dat A B = 3 . Verder is de eerste coördinaat van A = 4 .

Bereken de coördinaten van de top van g exact en geef een formule voor g ( x ) .

Rekken
7

We bekijken opnieuw het traject dat in opgave 14 met hoge snelheid werd afgelegd. Normaal gaat dat natuurlijk veel kalmer. Vooral op zondag, als mensen er in hun vrije tijd op uit trekken. Dan wordt het traject half zo snel gereden. Zo ook door mijnheer Paaltjes. Hij komt om 2.00 uur op de plek waar de piraat van de vorige opgave ook om 2.00 uur was.

a

Hoe laat bevindt Paaltjes zich halverwege de bocht?

b

Teken op het werkblad de grafiek van de rit van mijnheer Paaltjes.

c

Zeg precies hoe de grafiek van Paaltjes ontstaat uit de grafiek van de piraat.

De afstand van Paaltjes om t minuten over twee noemen we P a ( t ) .

d

Hoe groot zijn P a ( 2 ) en P a ( 5 ) ?
En omgekeerd: voor welke t geldt P a ( t ) = 9 ?

e

Vul in: P a ( t ) = P i ( ... ) .

8

In stad P is het parkeertarief voor t minuten parkeren p ( t ) eurocent. Hiernaast staat de grafiek van p .

In stad Q is het veel voordeliger parkeren. Voor hetzelfde geld parkeer je daar drie keer zo lang. Het parkeertarief voor t minuten parkeren in Q is q ( t ) eurocent.

a

Neem over en vul in:

q ( 30 ) = p ( ... ) q ( 84 ) = p ( ... ) q ( t ) = p ( ... )

b

Neem de grafiek van p over op roosterpapier en teken er de grafiek van q bij.

De grafiek van de functie q ontstaat door de punten van de grafiek van p met 3 te vermenigvuldigen ten opzichte van de verticale as, dus door de afstand tot de verticale as met de factor 3 te vergroten.
We zeggen kortweg: horizontaal met 3 vermenigvuldigen.
We spreken in plaats van vermenigvuldigen ook van rekken.

In de figuur hieronder staat de grafiek van een of andere functie f . De functie g is verwant met f .
Er geldt: g ( x ) = f ( 0,5 x ) .
De grafiek van g ontstaat uit die van f door horizontaal met de factor 2 te vermenigvuldigen.

9

In stad R is het parkeren 2  keer zo duur als in stad P van de vorige opgave.
Het parkeertarief daar voor t minuten parkeren is r ( t ) eurocent.

a

Neem over en vul in: r ( t ) = ... p ( t ) .

b

Teken de grafiek van r in het rooster van onderdeel b.

De grafiek van r ontstaat uit die van p door de punten van de grafiek van p ten opzichte van de horizontale as met 2 te vermenigvuldigen, dus door de afstand tot de horizontale as met de factor 2 te vergroten.
We zeggen kortweg: verticaal met 2 vermenigvuldigen.

10

Neem een functie f , bijvoorbeeld met f ( x ) = x .

Teken met GeoGebra de grafieken van de functies g , h , j , k , m en n met:

g ( x ) = f ( x 2 ) h ( x ) = f ( x + 2 )
j ( x ) = f ( 1 2 x ) k ( x ) = f ( 2 x )
m ( x ) = f ( x ) + 3 n ( x ) = 2 f ( x )

Kijk hoe de grafiek van f verschoven of gerekt wordt.

Gegeven een functie f .

  • Neem aan: g ( x ) = f ( a x ) met a 0 .
    De grafiek van g krijg je dan door de grafiek van f horizontaal met 1 a te vermenigvuldigen.

  • Neem aan: g ( x ) = a f ( x ) .
    De grafiek van g krijg je dan door de grafiek van f verticaal met a te vermenigvuldigen.

  • Neem aan: g ( x ) = f ( x + a ) met a > 0 .
    Je krijgt de grafiek van g door de grafiek van f a eenheden naar links te schuiven.
    Neem aan: g ( x ) = f ( x a ) met a > 0 .
    Je krijgt de grafiek van g door de grafiek van f a eenheden naar rechts te schuiven.

  • Neem aan: g ( x ) = f ( x ) + a met a > 0 . Je krijgt de grafiek van g door de grafiek van f a eenheden naar boven te schuiven.
    Neem aan: g ( x ) = f ( x ) a met a > 0 . Je krijgt de grafiek van g door de grafiek van f a eenheden naar beneden te schuiven.

Toepassen
11

Gegeven de drie functies f , g en h met f ( x ) = x , g ( x ) = 2 x + 1 en h ( x ) = 2 x + 2 .

a

Teken de grafieken van de drie functies met GeoGebra.

b

Hoe ontstaat de grafiek van g uit die van f door schuiven en rekken?

c

Hoe ontstaat de grafiek van h uit die van f door schuiven en rekken?

Voorbeeld:

We bekijken nogmaals de functies uit opgave 24. We laten zien hoe de grafieken van de functies g en h door schuiven en rekken ontstaan uit de grafiek van de wortelfunctie.
Voor g :

f : x x
x vervangen door x + 1 , dus 1  eenheid naar links schuiven
x x + 1
x vervangen door 2 x , dus horizontaal vermenigvuldigen met 1 2
x 2 x + 1 = g ( x )
Voor h :

f : x x
x vervangen door 2 x , dus horizontaal vermenigvuldigen met 1 2
x 2 x
x vervangen door x + 1 , dus 1  eenheid naar links schuiven
x 2 ( x + 1 ) = 2 x + 2 = h ( x )

Als je horizontaal schuiven en rekken verwisselt, krijg je een ander resultaat. Dat zie je aan de twee voorbeelden hierboven. De volgorde speelt hier een rol!


De grafiek van h kun je ook als volgt krijgen.

f : x x
x vervangen door x + 2 , dus 2  eenheden naar links schuiven
x x + 2
x vervangen door 2 x , dus horizontaal vermenigvuldigen met 1 2
x 2 x + 2 = h ( x )

12

Gegeven de functies f ( x ) = x en g ( x ) = 2 x + 1 .

a

Teken de grafieken van de functies met GeoGebra.

De grafiek van g ontstaat uit die van f door schuiven en rekken.

b

Hoe?

c

Maakt het uit als je het schuiven en rekken in omgekeerde volgorde uitvoert?

13

f : x x 3
De grafiek van g ontstaat uit die van f door horizontaal met 2 te vermenigvuldigen.
Je kunt de grafiek van g ook uit die van f door krijgen door een verticale vermenigvuldiging.

Welke?

14

f : x x + x 2
Je kunt de grafiek van f krijgen door die van y = x + x eerst horizontaal en dan verticaal te verschuiven.

a

Hoe? Licht je antwoord toe.

Je kunt de grafiek van f ook krijgen door die van y = x + x eerst verticaal en dan horizontaal te verschuiven.

b

Hoe? Licht je antwoord toe.

15

Gegeven is de functie y = 1 4 x 3 . De grafiek van deze functie wordt 2 naar rechts verschoven en vervolgens gespiegeld in de y -as.

Geef een formule voor de functie die bij de ontstane grafiek hoort.

16

Gegeven is de functie f met f ( x ) = 1 + x + 2 .

a

Hoe ontstaat de grafiek van f uit die van de wortelfunctie?

b

Schets de grafiek.

c

Welke getallen kunnen optreden als invoer? En welke getallen als uitvoer?

Gegeven is een functie f .
Alle getallen die in de functie f kunnen worden ingevoerd vormen het domein van de functie.
Alle getallen die de functie f daarbij als uitvoer heeft, vormen het bereik van de functie.

Voorbeeld:

Het domein van de functie f met f ( x ) = 1 + x + 2 bestaat uit alle getallen x met x 2 .
Het bereik bestaat uit alle getallen x met x 1 .
Zie opgave 29.