Gebroken lineaire functies

Twee weerstanden, een van $10 Ω$ en een variabele (schuifweerstand) van $x Ω$ zijn parallel geschakeld. De vervangingsweerstand van de schakeling noemen we $R$ .
Zoals bekend geldt: $\frac{1}{R} = \frac{1}{10} + \frac{1}{x}$ .

Bereken $x$ als $R = 8$ .

Wat kun je over $R$ zeggen als $x$ erg klein is?
En als $x$ erg groot is?

De formule $\frac{1}{R} = \frac{1}{10} + \frac{1}{x}$ kun je schrijven als: $R = \frac{10 x}{x + 10}$ .

Laat dat zien.

Teken de grafiek van $R$ als functie van $x$ in Geogebra of op de GR.

Vanaf welke $x$ ligt $R$ minder dan $0,000001$ van $10$ af?
Bereken je antwoord exact.

De functie $y = \frac{10 x}{x + 10}$ is een voorbeeld van gebroken lineaire functie, dat wil zeggen: de formule is een "breuk" (een quotiënt) waarbij de teller en de noemer lineaire (eerstegraads-)functies zijn.

Een gebroken lineaire functie is van de vorm: $y = \frac{a x + b}{c x + d}$ voor zekere getallen $a$ , $b$ , $c$ en $d$ .

Wat moet je voor de getallen $a$ , $b$ , $c$ en $d$ in $y = \frac{a x + b}{c x + d}$ nemen om de functie $y = \frac{10 x}{x + 10}$ te krijgen?

Twee zusjes, Minie en Maxie, schelen nagenoeg $6$ jaar in leeftijd. Nu is Minie $1$ jaar en Maxie $7$ jaar. We bekijken steeds de verhouding Maxies leeftijd : Minies leeftijd. Nu is die verhouding dus $7$ .

Wat is die verhouding over $1$ jaar? En over $2$ jaar? En over $5$ jaar?

Wat is die verhouding over $x$ jaar?

Bereken exact wanneer de verhouding $1 \frac{1}{2}$ is. En wanneer die $1,1$ is.

Teken de grafiek van de functie $y = \frac{x + 7}{x + 1}$ voor $x > 0$ .

Wat merk je op over de verhouding van de leeftijden als de zusjes "het eeuwige leven" zouden hebben?

Wat moet je voor de getallen $a$ , $b$ , $c$ en $d$ in $y = \frac{a x + b}{c x + d}$ nemen om de functie $y = \frac{x + 7}{x + 1}$ te krijgen?

Asymptoten

Wat is het omgekeerde van $4$ , van $0,2$ , van $‐ 1$ , van $‐ 8$ en van $‐ \frac{3}{5}$ ?

Welk getal heeft geen omgekeerde?
Wat is dus het domein van de functie $y = \frac{1}{x}$ ?

Welk getal treedt niet op als omgekeerde van een getal?
Wat is dus het bereik van $y = \frac{1}{x}$ ?

Neem voor $x$ achtereenvolgens $\frac{1}{10}$ , $\frac{1}{100}$ , $\frac{1}{1000}$ en $\frac{1}{10.000}$ .

Wat is $y$ bij deze invoer?

Neem voor $x$ achtereenvolgens $‐ \frac{1}{10}$ , $‐ \frac{1}{100}$ , $‐ \frac{1}{1000}$ en $‐ \frac{1}{10.000}$ .

Wat is $y$ bij deze invoer?

Delen door een positief getal dicht bij 0 komt neer op het vermenigvuldigen met een positief getal, ver rechts op de getallenlijn.
Delen door een negatief getal dicht bij $0$ komt neer op het vermenigvuldigen met een negatief getal, ver links op de getallenlijn.
We schrijven $\lim_{x ↓ 0} y = \infty$ en $\lim_{x ↑ 0} y = ‐ \infty$ .
Het wiskundig symbool $\infty$ staat voor oneindig.

$\lim_{x ↓ 0} \frac{1}{x} = \infty$ betekent: kies een groot getal $g$ ; dan is er een getal $k$ dicht bij $0$ zó dat $y$ groter dan $g$ is als $0 < x < k$ .

" $\lim_{x ↓ 0} \dots$ " spreek je uit als "de limiet van $\dots$ als $x$ van de rechterkant naar $0$ nadert."
" $\lim_{x ↑ 0} \dots$ " spreek je uit als "de limiet van $\dots$ als $x$ van de linkerkant naar $0$ nadert."

Neem voor $x$ achtereenvolgens $100$ , $1000$ en $10.000$ .

Wat is $y$ bij deze invoer?

Neem voor $x$ achtereenvolgens $‐ 100$ , $‐ 1000$ en $‐ 10.000$ .

Wat is $y$ bij deze invoer?

We schrijven $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$ en $\lim_{x \to ‐ \infty} \frac{1}{x} = 0$ .

De grafiek van $y = \frac{1}{x}$ is de standaardhyperbool.

$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$ en $\lim_{x \to ‐ \infty} \frac{1}{x} = 0$ :
de $x$ -as is horizontale asymptoot van de grafiek.
$\lim_{x ↓ 0} \frac{1}{x} = \infty$ en $\lim_{x ↑ 0} \frac{1}{x} = ‐ \infty$ :
de $y$ -as is verticale asymptoot van de grafiek.

Je rekenmachine heeft een aparte knop voor het omgekeerde: de knop $x^{‐ 1}$ of $\frac{1}{x}$ .

Bereken met deze knop de uitvoer bij invoer $0,625$ .
Hoe kun je met je rekenmachine bij deze uitvoer de invoer $0,625$ terug vinden?

Bij een zekere invoer geeft de knop $x^{‐ 1}$ als uitvoer $1,28$ .

Wat was die invoer?

Kennelijk heeft de functie $y = \frac{1}{x}$ een bijzondere eigenschap.

Breng die eigenschap onder woorden.
Weet jij nog een andere functie met die eigenschap (je rekenmachine heeft daar ook een knop voor)?

Kijk nog eens naar opgave 30.
Als $x$ heel groot wordt, komt $R$ steeds dichter bij $10$ .

We schrijven $\lim_{x \to \infty} \frac{10 x}{x + 10} = 10$ (spreek uit: de limiet van $\frac{10 x}{x + 10}$ is $10$ als $x$ nadert naar oneindig).

"Als $x$ erg groot wordt, dan nadert $R$ naar $10$ " wil het volgende zeggen. Kies een getal dicht bij $10$ (zo dicht als je maar wilt, bijvoorbeeld $10,000001$ ). Vanaf een bepaalde waarde van $x$ ligt $R$ dichter bij $10$ dan het getal dat jij gekozen hebt.

In opgave 32 heb je opgemerkt dat de verhouding van de leeftijden 1 is als de zusjes "het eeuwige leven" zouden hebben. Het antwoord van opgave 32e kun je nu schrijven als: $\lim_{x \to \infty} \frac{x + 7}{x + 1} = 1$ .

Hyperbolen

Gegeven is de gebroken lineaire functie $f$ met $f (x) = \frac{3 x + 4}{2 x}$ .

Wat moet je voor de getallen $a$ , $b$ , $c$ en $d$ in $y = \frac{a x + b}{c x + d}$ nemen om de functie $f$ te krijgen?

Laat zien dat $f (x) = 1 \frac{1}{2} + \frac{2}{x}$ .

Teken de grafiek van $f$ .

De grafiek heeft een horizontale en een verticale asymptoot. Welke lijnen zijn dat?

De grafiek van $f$ ontstaat uit de standaardhyperbool door schuiven en rekken.

Hoe?

De grafiek van een functie is een hyperbool als hij door schuiven en rekken uit de standaardhyperbool ontstaat.

Gegeven is de functie $f$ met $f (x) = \frac{‐ 2}{x - 1} + 3$ .
De grafiek van $f$ ontstaat uit die van de standaardhyperbool door eerst verticaal met $‐ 2$ te vermenigvuldigen. Vervolgens moet je twee keer schuiven.

Hoe?
Kun je de volgorde van de twee verschuivingen verwisselen?

In de figuur staat de grafiek van $f$ ; het is een hyperbool.
De asymptoten zijn gestippeld.

Welke lijnen zijn de horizontale en verticale asymptoot van de hyperbool?

Neem over en vul in:

$\lim_{x ↓ 1} y = ...$	$\lim_{x \to \infty} y = ...$
$\lim_{x ↑ 1} y = ...$	$\lim_{x \to ‐ \infty} y = ...$

Wat is het domein van $f$ ? En het bereik?

Vier functies $f$ , $g$ , $h$ en $k$ met: $f (x) = \frac{‐ 2}{x - 1}$ , $g (x) = \frac{x + 2}{x + 1}$ , $h (x) = \frac{2 x - 6}{x - 3}$ en $k (x) = \frac{x - 1}{x}$ .
De grafieken I, II, III en IV horen bij deze vier functies.

Zoek uit welke grafiek bij welke functie hoort, zonder GR of GeoGebra.

Hoe kun je de verticale en horizontale asymptoten in I, III en IV terugvinden in de formules van $f$ , $g$ en $k$ ?

$f$ is de functie met $f (x) = \frac{4}{x + 3}$ .

Welke getallen zitten in het domein en in het bereik van $f$ ?

Wat zijn dus de asymptoten van de grafiek van $f$ ?

Teken de grafiek van $f$ .

Bereken exact de coördinaten van de snijpunten van de grafiek van $f$ en de lijn $y = x$ .

Voor welke getallen $x$ geldt: $x < f (x)$ ?

(hint)

Teken in één plaatje de grafiek van $f$ en de lijn $y = x$ .
Los de ongelijkheid op met behulp van het vorige onderdeel en het plaatje.

$f$ is de functie met formule $f (x) = \frac{3 x + 6}{2 x + 4}$ .
Deze formule is ook van de gedaante $y = \frac{a x + b}{c x + d}$ . Je zou dus verwachten dat de grafiek een hyperbool is. Maar dat is niet zo.

Teken de grafiek met GeoGebra of met de GR. Wat voor grafiek krijg je?

Had je ook al aan de formule kunnen zien dat de grafiek er zo uit zou komen te zien?

Gezien het domein is de grafiek van $f$ niet de hele lijn $y = 1 \frac{1}{2}$ .

Wat is het verschil?

We zeggen dat de grafiek van $f$ een perforatie heeft.

We bekijken de functie $f$ met $f (x) = \frac{3 x + 6}{2 x + 4}$ .

Merk op:

$\frac{3 x + 6}{2 x + 4}$ is te vereenvoudigen tot $1 \frac{1}{2}$ ,
$\frac{3 x + 6}{2 x + 4}$ bestaat niet voor $x = ‐ 2$ .

Dus de functie $f : x \to \frac{3 x + 6}{2 x + 4}$ heeft als grafiek de lijn met vergelijking $y = 1 \frac{1}{2}$ met uitzondering van het punt met eerste coördinaat $‐ 2$ . Het punt $(‐ 2,1 \frac{1}{2})$ is een perforatie in de grafiek van $f$ .

$f$ is de functie met formule $f (x) = \frac{3 x + 6}{4}$ .
Deze functie krijg je door in de algemene vorm van een gebroken lineaire functie $c = 0$ te nemen.

Leg uit dat de grafiek ook geen hyperbool is.

$y = \frac{a x + 3}{x + 1}$

Onderzoek op de GR of met GeoGebra hoe de grafiek verandert, als je $a$ verandert (maak een schuifknop). Je kunt ook de applet bekijken.

$y = \frac{2 x + 3}{x + d}$

Onderzoek op de GR of met GeoGebra hoe de grafiek verandert, als je $d$ verandert. Je kunt ook de applet bekijken.

Bepaal (zonder GR) voor welke waarde van $a$ de grafiek van de functie $y = \frac{2 x + a}{3 x - 3}$ een perforatie heeft.
Licht je antwoord toe.

Bepaal (zonder GR) voor welke waarde van $a$ de grafiek van de functie $y = \frac{2 x + 4}{a x - 3}$ een perforatie heeft.
Licht je antwoord toe.

Bepaal (zonder GR) voor welke waarde van $a$ de grafiek van de functie $y = \frac{a x + 1}{x + a}$ een perforatie heeft.
Licht je antwoord toe.

$y = \frac{3 x + 6}{2 x + 2}$

Hoe groot is $y$ ongeveer als $x = 1000$ ?
En hoe groot is $y$ ongeveer als $x$ een ander groot getal is?
Welke lijn is dus horizontale asymptoot van de grafiek?

Hoe groot is $y$ ongeveer als $x = ‐ 0,99$ ?
Wat weet je van $y$ als $x$ dicht bij $‐ 1$ komt?
Welke lijn is dus verticale asymptoot van de grafiek?

Hoe bepaal je de asymptoten van $y = \frac{a x + b}{c x + d}$ ?

De horizontale asymptoot vind je door voor $x$ grote getallen in te vullen of kleine (erg negatieve) getallen. Als $y$ dan erg dicht bij een bepaalde waarde komt, is er bij die waarde een horizontale asymptoot.
De verticale asymptoot kan voorkomen bij die $x$ waarvoor de noemer $0$ is. Vul voor $x$ waarden in die de noemer bijna $0$ maken; wordt $y$ dan erg groot of erg klein (negatief), dan is er een verticale asymptoot bij deze $x$ .

Geef de asymptoten van de grafiek van de volgende functies. Controleer je antwoorden op de GR of met GeoGebra.

$y = \frac{3 x + 2}{x + 1}$

$y = \frac{2 x}{x + 1}$

$y = \frac{4 x - 3}{2 x + 1}$

$y = \frac{4 x - 3}{2 x}$

Gegeven is de functie $f : x \to \frac{2 x + 3}{1 - x}$ .

Wat is het domein van $f$ ?

Wat is $\lim_{x \to \infty}$ $f (x)$ ? En wat $\lim_{x \to ‐ \infty}$ $f (x)$ ?

$f (x)$ is te schrijven in de vorm $a + \frac{b}{1 - x}$ .

Wat zijn de getallen $a$ en $b$ ? Bepaal die langs algebraïsche weg.

Leg uit dat $a = \lim_{x \to \infty} f (x)$ .

Over de $x$ -as beweegt een lampje $L$ . We bekijken de schaduw $S$ van punt $P (1,2)$ op de $y$ -as.
De eerste coördinaat van $L$ noemen we $x$ en de tweede coördinaat van $S$ noemen we $y$ .
Er geldt: $y = \frac{2 x}{x - 1}$ .

Laat dat zien.

(hint)

Gebruik gelijkvormigheid van bijvoorbeeld de driehoeken $P Q L$ en $S O L$ , waarbij $Q$ de projectie van $P$ op de $x$ -as is.

Als $x < 1$ is er geen schaduw. In dat geval is $y$ de tweede coördinaat van het snijpunt van lijn $P L$ met de $y$ -as.

Laat dat zien als $x = ‐ 3$ .

Teken de grafiek van het verband $y = \frac{2 x}{x - 1}$ .

Wat zijn de asymptoten?

Opmerking:

De grafiek van $y = \frac{a x + b}{c x + d}$ is niet voor alle keuzen van $a$ , $b$ , $c$ en $d$ een hyperbool.
In de opgaven 39 en 40 heb je twee uitzonderingen gezien.
De grafiek van $y = \frac{a x + b}{c x + d}$ is een hyperbool, behalve als $c = 0$ (dan is de grafiek een rechte lijn) of als $\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$ (dan is de grafiek een horizontale lijn met een perforatie).