$\frac{1}{8}=\frac{1}{10}+\frac{1}{x}\iff \frac{1}{x}=\frac{1}{8}-\frac{1}{10}=\frac{1}{40}$, dus $x=40$.

Als $x$ erg klein is, dan is $\frac{1}{x}$ erg groot, dus $\frac{1}{R}$ ook, dus $R$ is erg klein.
Als $x$ erg groot is, dan $\frac{1}{R}\approx \frac{1}{10}$, dus dan $R\approx 10$.

$\frac{1}{R}=\frac{1}{10}+\frac{1}{x}=\frac{x}{10x}+\frac{10}{10x}=\frac{x+10}{10x}$, dus $R=\frac{10x}{x+10}$

-

$10-\frac{10x}{x+10}=\frac{10(x+10)}{x+10}-\frac{10x}{x+10}=\frac{100}{x+10}=\frac{1}{\mathrm{1.000.000}}$, dus $x>\mathrm{99.999.990}$.

$8:2=4$ ; $9:3=3$ ; $12:6=2$

$(x+7):(x+1)=\frac{x+7}{x+1}$

$\frac{x+7}{x+1}=1\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\iff 2x+14=3x+3\iff x=11$
$\frac{x+7}{x+1}=\frac{11}{10}\Rightarrow 10x+70=11x+11\iff x=59$

-

Verhouding komt dichter bij $1$.

$a=1$, $b=7$, $c=1$, $d=1$ bijvoorbeeld

$\frac{1}{4}$ ; $5$ ; $\mathrm{‐}1$ ; $\mathrm{‐}\frac{1}{8}$ ; $\mathrm{‐}1\frac{2}{3}$

$0$, alle getallen met uitzondering van $0$.

$0$, alle getallen met uitzondering van $0$.

$10$ ; $100$ ; $1000$ ; $10.000$

$\mathrm{‐}10$ ; $\mathrm{‐}100$ ; $\mathrm{‐}1000$ ; $\mathrm{‐}10.000$

$\frac{1}{100}$ ; $\frac{1}{1000}$ ; $\frac{1}{10.000}$

$\mathrm{‐}\frac{1}{100}$ ; $\mathrm{‐}\frac{1}{1000}$ ; $\mathrm{‐}\frac{1}{10.000}$

$\mathrm{1,6}$. Door die knop nog eens in te drukken.

${\mathrm{1,28}}^{\mathrm{‐}1}=\mathrm{0,78125}$

De functie is zijn eigen inverse; 'tegengestelde nemen' is ook zijn eigen inverse.

Bijvoorbeeld $a=3$, $b=4$, $c=2$, $d=0$.

$\frac{3x+4}{2x}=\frac{3x}{2x}+\frac{4}{2x}=1\frac{1}{2}+\frac{2}{x}$

Controleer met de GR.

Horizontale asymptoot: $y=1\frac{1}{2}$ en verticale asymptoot: $x=0$.

Verticaal met $2$ vermenigvuldigen en dan $1\frac{1}{2}$ omhoog schuiven of:
Horizontaal met $2$ vermenigvuldigen en dan $1\frac{1}{2}$ omhoog schuiven of:
$\frac{3}{4}$ omhoog schuiven en dan verticaal met $2$ vermenigvuldigen of: $\mathrm{...}$.

$1$ naar rechts en $3$ naar boven of omgekeerd.

Horizontale asymptoot: $y=3$ en verticale asymptoot: $x=1$.

Het domein van $f$: alle getallen met uitzondering van $1$.
Het bereik van $f$: alle getallen met uitzondering van $3$.

$f$ III, $g$ IV, $h$ II en $k$ I

Verticale: waar de noemer $0$ is (maar je kunt dan ook een perforatie hebben, zoals bij de grafiek van $h$).
Horizontale: $x$ naar $\infty$ of $‐\infty$ laten gaan.

Domein: alle getallen met uitzondering van $\mathrm{‐}3$.
Bereik: alle getallen met uitzondering van $0$.

Horizontale asymptoot: $y=0$, verticale asymptoot: $x=\mathrm{‐}3$.

GeoGebra of GR

$\frac{4}{x+3}=x\iff x^2+3x=4\iff x=1\text{ of }x=\mathrm{‐}4$, snijpunten: $(\mathrm{1,1})$ en $(\mathrm{‐}\mathrm{4,}\mathrm{‐}4)$.

Teken de lijn $y=x$ in het plaatje van c. Met behulp van d vind je dan:
$x<f(x)\iff x<\mathrm{‐}4\text{ of }\mathrm{‐}3<x<1$.

Zo te zien een horizontale lijn.

Je kunt $\frac{3x+6}{2x+4}$ vereenvoudigen: $\frac{3x+6}{2x+4}=\frac{3(x+2)}{2(x+2)}=\frac{3}{2}$ als $x\ne \mathrm{‐}2$.

$\frac{3x+6}{2x+4}$ bestaat niet voor $x=\mathrm{‐}2$, dus de grafiek is de lijn $y=1\frac{1}{2}$ met uitzondering van het punt met eerste coördinaat $\mathrm{‐}2$.

-

-

Als $x\to 1$, dan $3x-3\to 0$. Als $2x+a$ dan niet naar $0$ gaat, heeft de functie $y=\frac{2x+a}{3x-3}$ een verticale asymptoot $x=1$, dus $2x+a=0$ als $x=1$, dus $a=\mathrm{‐}2$.
Dan $y=\frac{2x-2}{3x-3}=\frac{2}{3}$, dus als $a=\mathrm{‐}2$, heeft de functie een perforatie: de grafiek is de lijn met vergelijking $y=\frac{2}{3}$ met perforatie $(\mathrm{1,}\frac{2}{3})$.

Als $x\to \frac{3}{a}$, dan $ax-3\to 0$. Als $2x+4$ dan niet naar $0$ gaat, heeft de functie $y=\frac{2x+4}{ax-3}$ een verticale asymptoot $x=\frac{3}{a}$, dus $2x+4=0$ als $x=\mathrm{‐}2$, dus $a=\mathrm{‐}1\frac{1}{2}$.
Dan $y=\frac{2x+4}{\mathrm{‐}1\frac{1}{2}x-3}=\mathrm{‐}1\frac{1}{3}$, dus als $a=\mathrm{‐}1\frac{1}{2}$, heeft de functie een perforatie: de grafiek is de lijn met vergelijking $y=\mathrm{‐}1\frac{1}{3}$ met perforatie $(\mathrm{‐}\mathrm{2,}\mathrm{‐}1\frac{1}{3})$.

De perforatie heeft eerste coördinaat $\mathrm{‐}a$ (daar is $x+a=0$). Dan moet $ax+1=0$ als $x=\mathrm{‐}a$. Dus $a\cdot \mathrm{‐}a+1=0$, dus $a=1$ of $a=\mathrm{‐}1$.
Als $a=1$, dan $y=\frac{ax+1}{x+a}=1$ met uitzondering van perforatie $(\mathrm{‐}\mathrm{1,1})$.
Als $a=\mathrm{‐}1$, dan $y=\frac{ax+1}{x+a}=\mathrm{‐}1$ met uitzondering van perforatie $(\mathrm{1,}\mathrm{‐}1)$.

$1\frac{1}{2}$ ; $1\frac{1}{2}$ ; $y=1\frac{1}{2}$

Dan is $2x+2=\mathrm{0,02}$ en $3x+6\approx 3$, dus $y\approx 150$.
Als $x$ dicht bij $\mathrm{‐}1$ is dan gaat $y$ naar $\pm \infty$.
Verticale asymptoot: $x=\mathrm{‐}1$.

Horizontale asymptoot: $y=3$, verticale asymptoot: $x=\mathrm{‐}1$.

Horizontale asymptoot: $y=2$, verticale asymptoot: $x=\mathrm{‐}1$.

Horizontale asymptoot: $y=2$, verticale asymptoot: $x=\mathrm{‐}\frac{1}{2}$.

Horizontale asymptoot: $y=2$, verticale asymptoot: $x=0$.

Alle getallen met uitzondering van $1$.

$\underset{x\to \infty }{\lim }f\left(x\right)=\mathrm{‐}2$ en $\underset{x\to \mathrm{‐}\infty }{\lim }f(x)=\mathrm{‐}2$

$a+\frac{b}{1-x}=\frac{a-ax+b}{1-x}=\frac{\mathrm{‐}ax+a+b}{1-x}$, dus $\mathrm{‐}a=2$ en $a+b=3$, dus $a=\mathrm{‐}2$ en $b=5$.

$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{b}{1-x}=0$

De projectie van $P$ op de $x$-as noemen we $Q$. Driehoek $SOL$ is gelijkvormig met driehoek $PQL$, dus $\frac{OS}{OL}=\frac{PQ}{QL}$, dus $\frac{y}{x}=\frac{2}{x-1}$.
Dus $y=\frac{2x}{x-1}$.

De projectie van $P$ op de $x$-as noemen we weer $Q$ en het snijpunt van $PL$ met de $y$-as noemen we $S$.
Driehoek $PQL$ is gelijkvormig met driehoek $SOL$, dus $\frac{OS}{OL}=\frac{PQ}{LQ}\iff \frac{OS}{3}=\frac{2}{4}$, dus $OS=1\frac{1}{2}$.
Als je $x=\mathrm{‐}3$ invult in $y=\frac{2x}{x-1}$ krijg je ook $1\frac{1}{2}$.

-

Asymptoten: $x=1$ en $y=2$.