3.3  Gebroken functies >
Gebroken lineaire functies
1
a

1 8 = 1 10 + 1 x 1 x = 1 8 1 10 = 1 40 , dus x = 40 .

b

Als x erg klein is, dan is 1 x erg groot, dus 1 R ook, dus R is erg klein.
Als x erg groot is, dan 1 R 1 10 , dus dan R 10 .

c

1 R = 1 10 + 1 x = x 10 x + 10 10 x = x + 10 10 x , dus R = 10 x x + 10

d

-

e

10 10 x x + 10 = 10 ( x + 10 ) x + 10 10 x x + 10 = 100 x + 10 = 1 1.000.000 , dus x > 99.999.990 .

2

Er zijn meer mogelijkheden, a = 10 , b = 0 , c = 1 , d = 10 bijvoorbeeld, maar ook a = d = 5 , b = 0 en c = 1 2 .

3
a

8 : 2 = 4 ; 9 : 3 = 3 ; 12 : 6 = 2

b

( x + 7 ) : ( x + 1 ) = x + 7 x + 1

c

x + 7 x + 1 = 1 1 2 = 3 2 2 x + 14 = 3 x + 3 x = 11
x + 7 x + 1 = 11 10 10 x + 70 = 11 x + 11 x = 59

d

-

e

Verhouding komt dichter bij 1 .

f

a = 1 , b = 7 , c = 1 , d = 1 bijvoorbeeld

Asymptoten
4
a

1 4 ; 5 ; 1 ; 1 8 ; -1 2 3

b

0 , alle getallen met uitzondering van 0 .

c

0 , alle getallen met uitzondering van 0 .

d

10 ; 100 ; 1000 ; 10.000

e

10 ; 100 ; 1000 ; 10.000

f

1 100 ; 1 1000 ; 1 10.000

g

1 100 ; 1 1000 ; 1 10.000

5
a

1,6 . Door die knop nog eens in te drukken.

b

1,28 1 = 0,78125

c

De functie is zijn eigen inverse; 'tegengestelde nemen' is ook zijn eigen inverse.

Hyperbolen
6
a

Bijvoorbeeld a = 3 , b = 4 , c = 2 , d = 0 .

b

3 x + 4 2 x = 3 x 2 x + 4 2 x = 1 1 2 + 2 x

c

Controleer met de GR.

d

Horizontale asymptoot: y = 1 1 2 en verticale asymptoot: x = 0 .

e

Verticaal met 2 vermenigvuldigen en dan 1 1 2 omhoog schuiven of:
Horizontaal met 2 vermenigvuldigen en dan 1 1 2 omhoog schuiven of:
3 4 omhoog schuiven en dan verticaal met 2 vermenigvuldigen of: ... .

7
a

1 naar rechts en 3 naar boven of omgekeerd.

b

Horizontale asymptoot: y = 3 en verticale asymptoot: x = 1 .

c
lim x 1 y = lim x y = 3
lim x 1 y = lim x y = 3
d

Het domein van f : alle getallen met uitzondering van 1 .
Het bereik van f : alle getallen met uitzondering van 3 .

8
a

f III, g IV, h II en k I

b

Verticale: waar de noemer 0 is (maar je kunt dan ook een perforatie hebben, zoals bij de grafiek van h ).
Horizontale: x naar of laten gaan.

9
a

Domein: alle getallen met uitzondering van 3 .
Bereik: alle getallen met uitzondering van 0 .

b

Horizontale asymptoot: y = 0 , verticale asymptoot: x = 3 .

c

GeoGebra of GR

d

4 x + 3 = x x 2 + 3 x = 4 x = 1  of  x = 4 , snijpunten: ( 1,1 ) en ( 4, 4 ) .

e

Teken de lijn y = x in het plaatje van c. Met behulp van d vind je dan:
x < f ( x ) x < 4  of - 3 < x < 1 .

10
a

Zo te zien een horizontale lijn.

b

Je kunt 3 x + 6 2 x + 4 vereenvoudigen: 3 x + 6 2 x + 4 = 3 ( x + 2 ) 2 ( x + 2 ) = 3 2 als x 2 .

c

3 x + 6 2 x + 4 bestaat niet voor x = 2 , dus de grafiek is de lijn y = 1 1 2 met uitzondering van het punt met eerste coördinaat 2 .

11

f ( x ) = 3 x + 6 4 = 3 x 4 + 6 4 = 3 4 x + 1 1 2 , dus de grafiek van f is een rechte lijn.

12
a

-

b

-

13
a

Als x 1 , dan 3 x 3 0 . Als 2 x + a dan niet naar 0 gaat, heeft de functie y = 2 x + a 3 x 3 een verticale asymptoot x = 1 , dus 2 x + a = 0 als x = 1 , dus a = 2 .
Dan y = 2 x 2 3 x 3 = 2 3 , dus als a = 2 , heeft de functie een perforatie: de grafiek is de lijn met vergelijking y = 2 3 met perforatie ( 1, 2 3 ) .

b

Als x 3 a , dan a x 3 0 . Als 2 x + 4 dan niet naar 0 gaat, heeft de functie y = 2 x + 4 a x 3 een verticale asymptoot x = 3 a , dus 2 x + 4 = 0 als x = - 2 , dus a = -1 1 2 .
Dan y = 2 x + 4 - 1 1 2 x 3 = -1 1 3 , dus als a = -1 1 2 , heeft de functie een perforatie: de grafiek is de lijn met vergelijking y = -1 1 3 met perforatie ( - 2, -1 1 3 ) .

c

De perforatie heeft eerste coördinaat a (daar is x + a = 0 ). Dan moet a x + 1 = 0 als x = a . Dus a a + 1 = 0 , dus a = 1 of a = 1 .
Als a = 1 , dan y = a x + 1 x + a = 1 met uitzondering van perforatie ( 1,1 ) .
Als a = 1 dan y = a x + 1 x + a = 1 met uitzondering van perforatie ( 1, 1 ) .

14
a

1 1 2 ; 1 1 2 ; y = 1 1 2

b

Dan is 2 x + 2 = 0,02 en 3 x + 6 3 , dus y 150 .
Als x dicht bij 1 is dan gaat y naar ± .
Verticale asymptoot: x = 1 .

15
a

Horizontale asymptoot: y = 3 , verticale asymptoot: x = 1 .

b

Horizontale asymptoot: y = 2 , verticale asymptoot: x = 1 .

c

Horizontale asymptoot: y = 2 , verticale asymptoot: x = 1 2 .

d

Horizontale asymptoot: y = 2 , verticale asymptoot: x = 0 .

16
a

Alle getallen met uitzondering van 1 .

b

lim x f ( x ) = 2 en lim x f ( x ) = 2

c

a + b 1 x = a a x + b 1 x = a x + a + b 1 x , dus a = 2 en a + b = 3 , dus a = -2 en b = 5 .

d

lim x b 1 x = 0

17
a

De projectie van P op de x -as noemen we Q . Driehoek S O L is gelijkvormig met driehoek P Q L , dus O S O L = P Q Q L , dus y x = 2 x 1 .
Dus y = 2 x x 1 .

b

De projectie van P op de x -as noemen we weer Q en het snijpunt van P L met de y -as noemen we S .
Driehoek P Q L is gelijkvormig met driehoek S O L , dus O S O L = P Q L Q O S 3 = 2 4 , dus O S = 1 1 2 .
Als je x = 3 invult in y = 2 x x 1 krijg je ook 1 1 2 .

c

-

d

Asymptoten: x = 1 en y = 2 .