Inverse bewerkingen

Een auto rijdt met een snelheid van $v$ km/u. Als de auto plotseling uit alle macht moet remmen (men spreekt dan van een noodstop), legt hij nog een aantal meters af voordat hij stil staat. Dat aantal meters is de remweg $r$ .
Volgens een vuistregel geldt: $r = 0,0075 v^{2}$ .

Bereken met welke snelheid de auto reed, als zijn remweg bij een noodstop $170$ meter bedraagt.

Geef een formule voor $v$ , uitgedrukt in $r$ .

In Angelsaksische landen wordt de temperatuur vaak gegeven in graden Fahrenheit. Wij doen dat in graden Celsius.
De temperatuur in graden Fahrenheit noemen we $F$ ; in graden Celsius noemen we hem $C$ .
Er geldt: $F = 1 \frac{4}{5} C + 32$ .

Bereken de temperatuur in graden Celsius als hij in graden Fahrenheit $100$ bedraagt.

Geef een formule voor $C$ , uitgedrukt in $F$ .

In opgave 47 reken je snelheid om in remweg en omgekeerd.
$v \to 0,0075 v^{2} = r$ en $r \to \sqrt{133 \frac{1}{3} r} = v$
Deze twee functies hebben omgekeerde werking. We zeggen dat ze elkaars inverse zijn.
Een ander voorbeeld ben je tegengekomen in opgave 48: temperatuur in graden Celsius ( $°$ C) omrekenen in graden Fahrenheit ( $°$ F) en omgekeerd zijn inverse bewerkingen.
In hoofdstuk 1 is de inverse aan de orde geweest.

Voorbeeld:

De inverse van $x \to$ [MAAL $2$ ] $\to y = 2 x$ is
$x \to$ [DEEL DOOR $2$ ] $\to y = \frac{x}{2}$ .

Geef zo ook de inverse van de volgende functies.

$x \to$ [PLUS $2$ ] $\to y = x + 2$
$x \to$ [TEGEN] $\to y = ‐ x$
$x \to$ [OMGEKEERDE] $\to y = \frac{1}{x}$ , $x \neq 0$
$x \to$ [WORTEL] $\to y = \sqrt{x}$ , $x \geq 0$
$x \to$ [TOT DE MACHT $\frac{3}{4}$ ] $\to y = x^{\frac{3}{4}}$ , $x \geq 0$

Elementaire inverse bewerkingen zijn

een getal erbij optellen en dat getal ervan aftrekken,
vermenigvuldigen met een getal en delen door dat getal,
worteltrekken en kwadrateren,
tot de macht $c$ nemen en tot de macht $\frac{1}{c}$ nemen, $c \neq 0$ .

Opmerking:

[KWADRAAT] heeft [WORTEL] alleen als inverse bewerking als je het domein beperkt tot getallen $x$ met $x \geq 0$ .

Vergelijkingen oplossen

Het oplossen van een vergelijking kun je vaak met behulp van inverse functies begrijpen.

Voorbeeld:

Voor welke $x$ geldt: $‐ (3 \sqrt{x} - 5) = 4$ ?

Deze vergelijking kun je zo zien:
$x \to$ [WORTEL] $\to$ [MAAL $3$ ] $\to$ [MIN $5$ ] $\to$ [TEGEN] $\to 4$

Door de ketting van achter naar voren te doorlopen, met inverse functies, vind je het gezochte getal $x$ :
$x \leftarrow$ [KWADRAAT] $\leftarrow$ [DEEL DOOR $3$ ] $\leftarrow$ [PLUS $5$ ] $\leftarrow$ [TEGEN] $\leftarrow 4$

We hebben dat eerder zo opgeschreven.

$‐ (3 \sqrt{x} - 5)$	$=$	$4$	tegengestelde nemen
$3 \sqrt{x} - 5$	$=$	$‐4$	plus 5
$3 \sqrt{x}$	$=$	$1$	deel door 3
$\sqrt{x}$	$=$	$\frac{1}{3}$	kwadrateer
$x$	$=$	$\frac{1}{9}$

Een stap die je in het zoeken van $x$ zet, kun je ook weer ongedaan maken. De vergelijking in de volgende stap heeft dezelfde oplossing, is equivalent met de voorgaande.
Om aan te geven dat twee vergelijkingen dezelfde oplossing hebben, zetten we er een dubbele pijl tussen.
Bovenstaande ziet er dan zó uit.
$‐ (3 \sqrt{x} - 5) = 4 \Leftrightarrow 3 \sqrt{x} - 5 = ‐4 \Leftrightarrow 3 \sqrt{x} = 1 \Leftrightarrow$ $\sqrt{x} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow x = \frac{1}{9}$

Los de volgende vergelijkingen exact op.

$3 (4 - x^{2}) = ‐9$

$\sqrt{2 + \sqrt{2 + x}} = 3$

$\frac{7}{2 x - 1} = 2$

(hint)

$\frac{7}{2 x - 1} = 7 \cdot \frac{1}{2 x - 1}$

$\frac{8}{1 + \frac{6}{x}} = 2$

Wat vind je van het volgende?

$\sqrt{x}$	$=$	$‐ \sqrt{3}$	kwadrateer
$x$	$=$	$3$

En wat van dit?

$x + 1$	$=$	$\sqrt{x + 3}$	kwadrateer
$x^{2} + 2 x + 1$	$=$	$x + 3$	op $0$ herleiden
$x^{2} + x - 2$	$=$	$0$	ontbinden
$(x + 2) (x - 1)$	$=$	$0$
$x = ‐2$	of	$x = 1$

Los de volgende vergelijkingen in $x$ op.
Controleer je oplossingen.

$x + \sqrt{x + 2} = 10$

(hint)

\sqrt{x + 2} = 10 - x

$\sqrt{2 \sqrt{x} - 1} = \sqrt{x}$

$\sqrt{2 - \sqrt{x}} = \sqrt{x}$

$\sqrt{2 - \sqrt{x}} = ‐ \sqrt{x}$

$\sqrt{6 - \sqrt{x}} = \sqrt{x}$

Opmerking:

Als je linker- en rechterkant van een vergelijking kwadrateert, krijg je (misschien) een vergelijking die niet equivalent is met die waar je mee begon.

Als $a = b$ , dan $a^{2} = b^{2}$ ,
Maar het omgekeerde:
als $a^{2} = b^{2}$ dan $a = b$ is niet waar.
Waarom niet?

Voorbeeld:

$x + 1 = \sqrt{x + 3} \Rightarrow {(x + 1)}^{2} = x + 3 \Leftrightarrow x^{2} + x - 2 = 0$ $\Leftrightarrow x = ‐1$ of $x = 2$ .
Uit $x + 1 = \sqrt{x + 3}$ volgt wel: ${(x + 1)}^{2} = x + 3$ , maar niet het omgekeerde. Daarom schrijven we hierboven een enkele pijl $\Rightarrow$ na het kwadrateren van beide kanten van de gelijkheid.
In zo'n geval moet je je oplossingen zeker controleren.
De vergelijking $x + 1 = \sqrt{x + 3}$ heeft als enige oplossing $x = 2$ .

Inverse functie

In het volgende bekijken we eenvoudige bewerkingen zoals in opgave 49. Door deze na elkaar te schakelen, worden hiermee ingewikkeldere functies opgebouwd. Van deze functies vragen we de inverse.

Geef een formule voor de inverse functie van de volgende functies. Zie ook opgave 50.

$y = 3 (4 - x^{3})$

$y = \sqrt{2 + \sqrt{2 + x}}$

$y = \frac{7}{2 x - 1}$

$y = \frac{8}{1 + \frac{6}{x}}$

In paragraaf 2 van hoofdstuk 1 hebben we al gezien dat niet elke bewerking een inverse heeft, bijvoorbeeld [KWADRAAT] en [ABS], zie de opmerkingen vóór opgave 15 en opgave 23.

Hiernaast staat de grafiek van een of andere functie $f$ .

Hoe zie je aan de grafiek dat $f$ geen inverse functie heeft?

Teken de grafieken van $y = 3 (4 - x^{3})$ en zijn inverse in één window op de GR, zie het eerste onderdeel van de vorige opgave.

De twee grafieken zijn elkaars spiegelbeeld in een zekere lijn.

Wat is de vergelijking van de lijn?

De grafieken van twee functies die elkaars inverse zijn, liggen gespiegeld ten opzichte van de lijn $y = x$ .

Kun je dat uitleggen?

Controleer de juistheid van de bewering in het vorige onderdeel voor de vijf elementaire functies uit opgave 49.

De functie $g$ is de inverse van $f$ als $g$ de werking van $f$ neutraliseert, dus als:
$x \to f \to g \to y = x$
Dus $g (f (x)) = x$ voor alle $x$ uit het domein van $f$ .
We noteren de inverse van $f$ met $f^{‐ 1}$ of inv $f$ .

Niet elke functie heeft een inverse, bijvoorbeeld de functie [KWADRAAT].

Op de GR vind je een aantal functies en ook hun inverse.

Gegeven is de functie $f$ met $f (x) = 2 x + 3$ .

Wat is de inverse functie van $f$ ?

Gegeven de functie $f$ met $f (x) = a x + b$ , voor zekere getallen $a$ en $b$ .

Voor welke $a$ en $b$ heeft de functie $f$ een inverse?

Geef een formule voor de inverse van de functie $f$ met $f (x) = a x + b$ , voor zekere getallen $a$ en $b$ .

De functie $f : x \to x^{2}$ heeft geen inverse. Wel als je het domein beperkt tot de getallen $x$ met $x \geq 0$ .
Dan is de inverse functie $x \to \sqrt{x}$ .
Ook als je het domein beperkt tot de getallen $x$ met $x \leq 0$ heeft $f$ een inverse.

Geef een formule voor die inverse.