$f(x)=1$

$f(x)=\mathrm{‐}1$

$\underset{x\uparrow 0}{\lim }f(x)=\mathrm{‐}1$

$1$ als $x>1$ en $\mathrm{‐}1$ als $x<1$.

Alle getallen met uitzondering van $1$.

-

$f(x)=\frac{x^2-x}{\left|x-1\right|}=x\cdot \frac{x-1}{\left|x-1\right|}$, de rest volgt uit a.

$‐1$ ; $1$

Alle getallen met uitzondering van $1$.

$g(x)=\frac{x^2-x}{x-1}=\frac{x(x-1)}{x-1}=x$ als $x\ne 1$.

Alle getallen met uitzondering van $2$.

-

Nee, want het getal $2$ zit niet in het domein.

$\underset{x\to 2}{\lim }f(x)=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{(x+2)(x-2)}{x-2}=\underset{x\to 2}{\lim }(x+2)=4$

$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=\infty$ en $\underset{x\to \mathrm{‐}\infty }{\lim }f(x)=\mathrm{‐}\infty$

Alle getallen met uitzondering van $0$ en $1$.

-

$\frac{x^2+x}{x^2-x}=\frac{x(x+1)}{x(x-1)}=\frac{x+1}{x-1}$ als $x\ne 0$, dus $y=\frac{x+1}{x-1}$ als $x\ne 0$.

$\underset{x\downarrow 0}{\lim }f(x)=\underset{x\uparrow 0}{\lim }f(x)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x+1}{x-1}=\mathrm{‐}1$

$\underset{x\downarrow 1}{\lim }f(x)=\underset{x\downarrow 1}{\lim }\frac{x+1}{x-1}=\infty$

$\underset{x\uparrow 1}{\lim }f(x)=\underset{x\uparrow 1}{\lim }\frac{x+1}{x-1}=\mathrm{‐}\infty$

Perforatie $(\mathrm{0,}\mathrm{‐}1)$.

$\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=\mathrm{‐}1$ en $\underset{x\to 1}{\lim }f(x)$ bestaat niet.

$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=1$ en $\underset{x\to \mathrm{‐}\infty }{\lim }f(x)=1$

$y=1$ , $x=1$

Alle getallen met uitzondering van $0$ en $1$.

Daarvoor kijken we of we $\frac{x^2+x-2}{x^2-x}$ kunnen vereenvoudigen:
$\frac{x^2+x-2}{x^2-x}=\frac{(x+2)(x-1)}{x(x-1)}=\frac{x+2}{x}$ als $x\ne 1$.
De grafiek van $f$ is een hyperbool. Een vergelijking van die hyperbool is:
$y=\frac{x+2}{x}$, met uitzondering van de perforatie $(\mathrm{1,3})$.

$\underset{x\downarrow 0}{\lim }f(x)=\underset{x\downarrow 0}{\lim }\frac{x+2}{x}=\infty$ , $\underset{x\uparrow 0}{\lim }f(x)=\underset{x\uparrow 0}{\lim }\frac{x+2}{x}=\mathrm{‐}\infty$
$\underset{x\downarrow 1}{\lim }f(x)=\underset{x\uparrow 1}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x+2}{x}=3$

$\underset{x\to 0}{\lim }f(x)$ bestaat niet en $\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=3$.

$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=1$ en $\underset{x\to \mathrm{‐}\infty }{\lim }f(x)=1$

$y=1$ , $x=0$