Machtige verbanden

Een machtsfunctie is een functie van de vorm y = a x b , voor zekere waarden van a en b . Tenzij anders vermeld, nemen we voor het domein van deze functie de positieve getallen(en 0 als b0).

De grafiek van y = a x b , met a > 0 is afnemend stijgend als 0 < b < 1 en toenemend stijgend als b > 1 .


Je kunt vergelijkingen met machtsfucties exact oplossen door het linkerlid en het rechterlid tot dezelfde macht te verheffen. Immers: x b = a ( x b ) 1 b = a 1 b
en hieruit volgt x = a 1 b ( x en a positief en b 0 ).


Voorbeeld
Los exact op: ( 1 2 x ) 3 = x 1 1 2 . Schrijf je antwoord zonder gebroken en negatieve exponenten.


Oplossing

( 1 2 x ) 3

=

x 1 1 2

Haakjes wegwerken

2 3 x 3

=

x 1 1 2

Deel door x 3

2 3

=

x 4 1 2

Als x b = a dan x = a 1 b .

x

=

( 2 3 ) 2 9 = 2 2 3 = 4 3

Functies in samenhang

Gegeven een functie f .

  • Neem aan: g ( x ) = f ( a x ) met a 0 .
    De grafiek van g krijg je dan door de grafiek van f horizontaal met 1 a te vermenigvuldigen.

  • Neem aan: g ( x ) = a f ( x ) .
    De grafiek van g krijg je dan door de grafiek van f verticaal met a te vermenigvuldigen.

  • Neem aan: g ( x ) = f ( x + a ) met a > 0 .
    Je krijgt de grafiek van g door de grafiek van f a eenheden naar links te schuiven.
    Neem aan: g ( x ) = f ( x a ) met a > 0 .
    Je krijgt de grafiek van g door de grafiek van f a eenheden naar rechts te schuiven.

  • Neem aan: g ( x ) = f ( x ) + a met a > 0 . Je krijgt de grafiek van g door de grafiek van f a eenheden naar boven te schuiven.
    Neem aan: g ( x ) = f ( x ) a met a > 0 . Je krijgt de grafiek van g door de grafiek van f a eenheden naar beneden te schuiven.

Gebroken functies

De standaardhyperbool is de grafiek van de functie y = 1 x . Deze grafiek heeft twee asymptoten: de x -as en de y -as.
De grafiek van een functie is een hyperbool als hij door schuiven en rekken uit de standaardhyperbool ontstaat.

Een gebroken lineaire functie is van de vorm: y = a x + b c x + d voor zeker getallen a , b , c en d . De grafiek van deze functie is een hyperbool (behalve als c = 0 of a c = b d ). De asymptoten van y = a x + b c x + d zoek je als volgt.

  1. De horizontale asymptoot vind je door voor x grote getallen in te vullen of kleine (erg negatieve) getallen. Als y dan erg dicht bij een bepaalde waarde komt, is er bij die waarde een horizontale asymptoot.

  2. De verticale asymptoot kan voorkomen bij die x waarvoor de noemer 0 is. Vul voor x waarden in die de noemer bijna 0 maken; wordt y dan erg groot of erg klein (negatief), dan is er een verticale asymptoot bij deze x .


Voorbeeld

De grafiek van de functie f : x 1 x 2 + x is een hyperbool. Dit toon je als volgt aan.
Je kunt 1 x 2 + x schrijven als 1 + 3 2 + x . Hiervoor geldt:

  1. lim x 2 f ( x ) = en lim x 2 f ( x ) = ,
    dus x = 2 is de verticale asymptoot,

  2. lim x f ( x ) = 1 en lim x f ( x ) = 1 ,
    dus y = 1 is de horizontale asymptoot.


Voorbeeld

De grafiek van de functie f : x 1 x + 3 ontstaat uit de standaardhyperbool door:

  1. eerst te vermenigvuldigen en dan te verschuiven,

    y

    =

    1 x

    horizontaal (of verticaal) vermenigvuldigen met 1 (spiegelen in een van de assen)

    y

    =

    1 x

    3 eenheden naar rechts schuiven

    y

    =

    1 x 3

  2. of eerst verschuiven en dan vermenigvuldigen,

    y

    =

    1 x

    3 eenheden naar rechts schuiven

    y

    =

    1 x 3

    verticaal vermenigvuldigen met 1 (spiegelen in de x -as)

    y

    =

    1 x 3

  3. of eerst verschuiven en dan vermenigvuldigen (anders).

    y

    =

    1 x

    3 eenheden naar links schuiven

    y

    =

    1 x + 3

    horizontaal vermenigvuldigen met 1 (spiegelen in de y -as)

    y

    =

    1 x + 3 = 1 x 3

Domein en bereik

Gegeven is een functie f .
Alle getallen die in de functie f kunnen worden ingevoerd vormen het domein van de functie.
Alle getallen die de functie f daarbij als uitvoer heeft, vormen het bereik van de functie.


Voorbeelden

Het domein van de functie f met f ( x ) = 1 + x + 2 bestaat uit alle getallen x met x 2 .
Het bereik bestaat uit alle getallen y met y 1 .


Het domein van de functie g met g ( x ) = 2 x + 1 x 3 bestaat uit alle getallen x met x 3 .
Het bereik bestaat uit alle getallen y met y 2 .


Het domein van de functie h met h ( x ) = 2 x + 2 x + 1 bestaat uit alle getallen x met x ‐1 .
Het bereik bestaat alleen uit het getal 2 .

De inverse functie

De functie g is de inverse van f als g de werking van f neutraliseert, dus als:
x f g y = x
Dus g ( f ( x ) ) = x voor alle x uit het domein van f .
We noteren de inverse van f met f 1 of inv f .

Niet elke functie heeft een inverse, bijvoorbeeld elke kwadratische functie.

Vaak kun je van een functie de inverse vinden door hem te schrijven als een ketting van elementaire machientjes en deze ketting van achter naar voren te doorlopen met inverse machientjes.

Voorbeeld
We bepalen de inverse functie g van de functie f met f ( x ) = ( 3 x 5 ) .
De functie f is de volgende ketting:
x [WORTEL] [MAAL 3 ] [MIN 5 ] [TEGEN] f ( x ) .


Door de ketting van achter naar voren te doorlopen, met inverse functies, vind je de functie g :
g ( x ) [KWADRAAT] [DEEL DOOR 3 ] [PLUS 5 ] [TEGEN] x .
Dus g ( x ) = ( x + 5 3 ) 2

Limieten

Gegeven is de functie f : x x 2 3 x + 2 x 1 .

Het domein bestaat uit alle getallen x , behalve x = 1 .

Omdat lim x 1 f ( x ) = lim x 1 ( x 1 ) ( x 2 ) x 1 = lim x 1 ( x 2 ) = 1 bestaat, heeft de grafiek van f een perforatie ( 1, 1 ) .


Gegeven is de functie g : x x 2 3 x + 2 | x 1 |

Het domein van g bestaat uit alle getallen x , behalve x = 1 .

Er geldt:

  1. lim x 1 g ( x ) = lim x 1 ( x 1 ) ( x 2 ) x 1 = lim x 1 ( x 2 ) = 1 ,

  2. lim x 1 g ( x ) = lim x 1 ( x 1 ) ( x 2 ) x + 1 = lim x 1 ( x + 2 ) = 1 .

Conclusie: lim x 1 g ( x ) lim x 1 g ( x ) , dus lim x 1 g ( x ) bestaat niet. De grafiek van g maakt een 'sprong' bij x = 1 .