Functies van de vorm
heten veeltermfuncties.
Een kwadratische functie is bijvoorbeeld een veeltermfunctie.
is een veeltermfunctie.
Wat moet je hierboven voor , , en kiezen om deze functie krijgen?
Ook de functie is een veeltermfunctie.
Wat moet je hierboven voor , , en kiezen om deze functie te krijgen?
Noem een paar functies die geen veeltermfunctie zijn.
We gaan delen door .
Ga na dat bovenstaande juist is.
De gekleurde uitdrukkingen in regel 1 en 2 zijn gelijk, evenals die in regel 3 en 4 en die in regel 5 en 6.
Dus:
We zeggen ook:
gedeeld door is:
rest .
Gegeven de veeltermfunctie met
.
Neem over en zet de juiste getallen op de invulplaatsen.
Het getal op de laatste invulplaats in de vier onderdelen van opgave 3 noemen we de rest.
In onderdeel b is de rest bij deling van
door gelijk aan
.
We zeggen
is deelbaar door .
Stelling
Voor elke veeltermfunctie en elk getal
is er een veeltermfunctie en een getal met:
.
heet de rest bij deling van
door .
Als , dan heet
deelbaar door .
We bekijken nog eens de veeltermfunctie met
uit
opgave 3.
Daar heb je gezien dat .
Zonder te rekenen, kun je zeggen: .
Leg dat uit.
Uit de stelling hierboven volgt dat er een veeltermfunctie is zó, dat . Zonder de deling uit te voeren kun je gemakkelijk uitrekenen dat moet gelden .
Hoe?
De rest bij deling door van kun je ook uitrekenen zonder de deling uit te voeren zoals je dat in opgave 3d gedaan hebt.
Hoe?
Zonder een deling uit te voeren, kun je weten dat
deelbaar is door .
Hoe?
Ga na dat .
Voor welke waarde van is deelbaar door ?
is deelbaar door .
Door welk getal in te vullen kun je dat zien?
In plaats van een deling uit te voeren, kun je ook ontbinden.
Doe dat.
In de ontbinding zie je ook dat
deelbaar is door .
Als
voor veeltermfuncties
en en getallen
en , dan:
.
In woorden: als je de veeltermfunctie door deelt, is de rest
.
Voor een veeltermfunctie en een getal geldt:
deelbaar door
.
Gegeven de functie en de functie met . Zie opgave 3b.
Teken de grafieken van de functies en op je GR.
Zijn de grafieken van en hetzelfde?
De grafiek van heeft een perforatie.
Geef langs algebraïsche weg de coördinaten van de perforatie.
Bepaal exact .
Gegeven is de functie met
.
Er geldt:
voor een of andere veeltermfunctie en een getal .
Bepaal en .
Je kunt een vermoeden krijgen van door voor een getal net kleiner dan in in te vullen, bijvoorbeeld .
Wat denk je is ?
Wat denk je is ?
Een redenering bij de antwoorden op de vorige twee vragen gaat als volgt.
Als , dan
en
,
je moet 'bijna' delen door een negatief getal steeds dichter bij , dus je gaat naar .
Als ,
dan
en , dus je moet 'bijna' delen door een positief getal steeds dichter bij , dus je gaat naar .
Dus:
en
.
De grafiek van heeft een verticale asymptoot , zie plaatje.
Teken de grafiek van op de GR of in GeoGebra. Zorg daarbij dat je de lijn in het WINDOW hebt.
Zonder te delen op kun je nagaan of de grafiek van de functie , met een verticale asymptoot heeft in het punt met eerste coördinaat .
Hoe?
Er is een getal waarvoor de functie een perforatie heeft.
Bepaal het getal en de coördinaten van de perforatie.
Gegeven is de functie met
.
Als , dan
geldt voor de teller:
en voor de noemer: .
Dus .
Als , dan
geldt voor de teller:
en voor de noemer: .
Dus .
Conclusie:
de grafiek van heeft een verticale asymptoot .
Gegeven is de functie met .
Voor wordt gelijk aan
.
Dan heeft de grafiek van de functie
een perforatie met eerste coördinaat .
Gegeven de functie .
Wat is het domein van ?
Teken de grafiek van in GeoGebra of op de GR.
Je kunt aan de getekende grafiek niet zien dat
niet in het domein zit.
Zo te zien moet de grafiek van wel een perforatie hebben en dus zal
wel bestaan.
Door voor een getal heel dicht bij in te vullen, bijvoorbeeld
, kun je de coördinaten van de perforatie benaderen.
Doe dat.
Wat denk je is ?
We gaan de coördinaten van de perforatie van de functie
uit de vorige opgave exact berekenen.
Je kunt 'ontbinden'.
Als volgt:
Wat moet er ingevuld worden?
Hoe kun je nu exact berekenen?
Je kunt ook anders berekenen.
Ga na
als .
Uit bovenstaande volgt:
We berekenen
.
Als we voor invullen,
levert dit in teller en noemer op, dus teller en noemer zijn volgens de factorstelling deelbaar
door .
We halen in teller en noemer de factor
buiten haakjes. Je krijgt:
.
Vervolgens vereenvoudig je en vul je voor de waarde
in.
We berekenen .
Als we voor invullen,
levert dit in teller en noemer op.
De factor in de noemer kun je 'zichtbaar' maken door
met
te vermenigvuldigen.
.
Vervolgens vereenvoudig je en vul je voor de waarde
in.
Bereken exact:
|
|
|
|
Bereken exact:
|
|
|
|
Gegeven de veeltermfunctie
met .
Er geldt: .
Laat dat zien.
Bepaal welke getallen je in moet vullen.