3.8  Rekentechniek
Delen door x a

Functies van de vorm y = a + b x + c x 2 + d x 3 + heten veeltermfuncties.
Een kwadratische functie is bijvoorbeeld een veeltermfunctie.

1

y = 1 2 ( x 2 ) 2 is een veeltermfunctie.

a

Wat moet je hierboven voor a , b , c en d kiezen om deze functie krijgen?

Ook de functie y = 1 3 x 3 x + 2 is een veeltermfunctie.

b

Wat moet je hierboven voor a , b , c en d kiezen om deze functie te krijgen?

c

Noem een paar functies die geen veeltermfunctie zijn.

2

We gaan x 3 4 x 2 + 5 x 6 delen door x 2 .

x 3 4 x 2 + 5 x 6 =
x 2 ( x 2 ) + 2 x 2 4 x 2 + 5 x 6 =
x 2 ( x 2 ) + 2 x 2 + 5 x 6 =
x 2 ( x 2 ) + 2 x ( x 2 ) 4 x + 5 x 6 =
x 2 ( x 2 ) + 2 x ( x 2 ) + x 6 =
x 2 ( x 2 ) 2 x ( x 2 ) + ( x 2 ) 4 =

( x 2 2 x + 1 ) ( x 2 ) 4

Ga na dat bovenstaande juist is.

(hint)

De gekleurde uitdrukkingen in regel 1 en 2 zijn gelijk, evenals die in regel 3 en 4 en die in regel 5 en 6.

Dus: x 3 4 x 2 + 5 x 6 x 2 = ( x 2 2 x + 1 ) ( x 2 ) 4 x 2 = ( x 2 2 x + 1 ) ( x 2 ) x 2 4 x 2 = x 2 2 x + 1 4 x 2
We zeggen ook:
x 3 4 x 2 + 5 x 6 gedeeld door x 2 is:
x 2 2 x + 1 rest 4 .

3

Gegeven de veeltermfunctie f met
f ( x ) = 2 x 4 3 x 3 + 4 x 2 2 x 1 .
Neem over en zet de juiste getallen op de invulplaatsen.

a

f ( x ) = ( ... x 3 + ... x 2 + ... x + ... ) ( x + 3 ) + ...

b

f ( x ) = ( ... x 3 + ... x 2 + ... x + ... ) ( x 1 ) + ...

c

f ( x ) = 2 x ( ... x 3 + ... x 2 + ... x + ... ) + ...

d

f ( x ) = ( ... x 3 + ... x 2 + ... x + ... ) ( x + 2 ) + ...

Het getal op de laatste invulplaats in de vier onderdelen van opgave 3 noemen we de rest.
In onderdeel b is de rest bij deling van 2 x 4 3 x 3 + 4 x 2 2 x 1 door x 1 gelijk aan 0 .
We zeggen 2 x 4 3 x 3 + 4 x 2 2 x 1 is deelbaar door x 1 .

Stelling
Voor elke veeltermfunctie f en elk getal a is er een veeltermfunctie g en een getal c met:
f ( x ) = g ( x ) ( x a ) + c .
c heet de rest bij deling van f ( x ) door x a .
Als c = 0 , dan heet f ( x ) deelbaar door x a .

4

We bekijken nog eens de veeltermfunctie f met
f ( x ) = 2 x 4 3 x 3 + 4 x 2 2 x 1 uit opgave 3. Daar heb je gezien dat f ( x ) = ( 2 x 3 9 x 2 + 31 x 95 ) ( x + 3 ) + 284 .

Zonder te rekenen, kun je zeggen: f ( 3 ) = 284 .

a

Leg dat uit.

Uit de stelling hierboven volgt dat er een veeltermfunctie g is zó, dat f ( x ) = g ( x ) ( x 1 ) + c . Zonder de deling uit te voeren kun je gemakkelijk uitrekenen dat moet gelden c = 0 .

b

Hoe?

De rest bij deling door x + 2 van 2 x 4 3 x 3 + 4 x 2 2 x 1 kun je ook uitrekenen zonder de deling uit te voeren zoals je dat in opgave 3d gedaan hebt.

c

Hoe?

5

y = x 10 1
Zonder een deling uit te voeren, kun je weten dat x 10 1 deelbaar is door x 1 .

a

Hoe?

b

Ga na dat x 10 1 = ( x 9 + x 8 + x 7 + x 2 + x + 1 ) ( x 1 ) .

c

Voor welke waarde van a is x 10 a deelbaar door x 2 ?

x 3 + 5 x 2 + 6 x is deelbaar door x + 2 .

d

Door welk getal in te vullen kun je dat zien?

In plaats van een deling uit te voeren, kun je x 3 + 5 x 2 + 6 x ook ontbinden.

e

Doe dat.
In de ontbinding zie je ook dat x 3 + 5 x 2 + 6 x deelbaar is door x + 2 .

Als f ( x ) = g ( x ) ( x a ) + c voor veeltermfuncties f en g en getallen a en c , dan: c = f ( a ) .
In woorden: als je de veeltermfunctie f door x a deelt, is de rest f ( a ) .

Factorstelling
Voor een veeltermfunctie f en een getal a geldt:
f ( x ) deelbaar door x a f ( a ) = 0 .

Perforaties
6

Gegeven de functie f : x 2 x 4 3 x 3 + 4 x 2 2 x 1 x 1 en de functie g met g ( x ) = 2 x 3 x 2 + 3 x + 1 . Zie opgave 3b.

a

Teken de grafieken van de functies f en g op je GR.
Zijn de grafieken van f en g hetzelfde?

De grafiek van f heeft een perforatie.

b

Geef langs algebraïsche weg de coördinaten van de perforatie.

c

Bepaal exact lim x 1 2 x 4 3 x 3 + 4 x 2 2 x 1 x 1 .

7

Gegeven is de functie f met f ( x ) = x 3 3 x 2 + x 2 x 3 .
Er geldt: f ( x ) = g ( x ) ( x 3 ) + c x 3 voor een of andere veeltermfunctie g en een getal c .

a

Bepaal g ( x ) en c .

Je kunt een vermoeden krijgen van lim x 3 f ( x ) door voor x een getal net kleiner dan 3 in f ( x ) in te vullen, bijvoorbeeld 2,9999 .

b

Wat denk je is lim x 3 f ( x ) ?

c

Wat denk je is lim x 3 f ( x ) ?

Een redenering bij de antwoorden op de vorige twee vragen gaat als volgt.
Als x 3 , dan x 3 3 x 2 + x 2 1 en x 3 0 , je moet 'bijna' 1 delen door een negatief getal steeds dichter bij 0 , dus je gaat naar .
Als x 3 , dan x 3 3 x 2 + x 2 1 en x 3 0 , dus je moet 'bijna' 1 delen door een positief getal steeds dichter bij 0 , dus je gaat naar .
Dus: lim x 3 f ( x ) = en lim x 3 f ( x ) = .

De grafiek van f heeft een verticale asymptoot x = 3 , zie plaatje.

d

Teken de grafiek van f op de GR of in GeoGebra. Zorg daarbij dat je de lijn x = 3 in het WINDOW hebt.

Zonder x 3 te delen op x 3 3 x 2 + x 4 kun je nagaan of de grafiek van de functie k , met k ( x ) = x 3 3 x 2 + x 4 x 3 een verticale asymptoot heeft in het punt met eerste coördinaat 3 .

e

Hoe?

Er is een getal a waarvoor de functie h : x x 3 3 x 2 + x a x 3 een perforatie heeft.

f

Bepaal het getal a en de coördinaten van de perforatie.

Voorbeeld:

Gegeven is de functie f met f ( x ) = x 3 3 x 2 + x 2 x 3 .

Als x 3 , dan

  1. geldt voor de teller: x 3 3 x 2 + x 2 1

  2. en voor de noemer: x 3 0 .

Dus lim x 3 f ( x ) = .


Als x 3 , dan

  1. geldt voor de teller: x 3 3 x 2 + x 2 1

  2. en voor de noemer: x 3 0 .

Dus lim x 3 f ( x ) = .


Conclusie:
de grafiek van f heeft een verticale asymptoot x = 3 .

Voorbeeld:

Gegeven is de functie h met h ( x ) = x 3 3 x 2 + x 3 x 3 .
Voor x = 3 wordt x 3 3 x 2 + x 3 gelijk aan 0 .
Dan heeft de grafiek van de functie h een perforatie met eerste coördinaat 3 .

8

Gegeven de functie f : x x 4 x 2 .

a

Wat is het domein van f ?

b

Teken de grafiek van f in GeoGebra of op de GR.

Je kunt aan de getekende grafiek niet zien dat 4 niet in het domein zit.
Zo te zien moet de grafiek van f wel een perforatie hebben en dus zal lim x 4 f ( x ) wel bestaan. Door voor x een getal heel dicht bij 4 in te vullen, bijvoorbeeld 4,001 , kun je de coördinaten van de perforatie benaderen.

c

Doe dat.

d

Wat denk je is lim x 4 f ( x ) ?

9

We gaan de coördinaten van de perforatie van de functie
f : x x 4 x 2 uit de vorige opgave exact berekenen.
Je kunt x 4 'ontbinden'. Als volgt:
x 4 = ( x 2 ) ( )

a

Wat moet er ingevuld worden?

b

Hoe kun je lim x 4 f ( x ) nu exact berekenen?

Je kunt lim x 4 f ( x ) ook anders berekenen.

c

Ga na x 4 x 2 x + 2 x + 2 = x + 2 als x 4 .

Uit bovenstaande volgt:
lim x 4 f ( x ) = lim x 4 ( x + 2 ) = 4

Voorbeeld:

We berekenen lim x 2 x 4 4 x 2 x 3 8
Als we voor x = 2 invullen, levert dit in teller en noemer 0 op, dus teller en noemer zijn volgens de factorstelling deelbaar door x 2 . We halen in teller en noemer de factor x 2 buiten haakjes. Je krijgt:
lim x 2 ( x 3 + 2 x ) ( x 2 ) ( x 2 ) ( x 2 + 2 x + 4 ) .
Vervolgens vereenvoudig je en vul je voor x de waarde 2 in.
lim x 2 ( x 3 + 2 x ) ( x 2 ) ( x 2 ) ( x 2 + 2 x + 4 ) = lim x 2 ( x 3 + 2 x ) ( x 2 + 2 x + 4 ) = 8 + 4 4 + 4 + 4 = 1

Voorbeeld:

We berekenen lim x 4 x 2 4 x x 2 .
Als we voor x = 4 invullen, levert dit in teller en noemer 0 op.
De factor x 4 in de noemer kun je 'zichtbaar' maken door x 2 4 x x 2 met x + 2 x + 2 te vermenigvuldigen.
lim x 4 x 2 4 x x 2 x + 2 x + 2 = lim x 4 x ( x 4 ) ( x + 2 ) x 4
Vervolgens vereenvoudig je en vul je voor x de waarde 4 in.
lim x 4 x ( x 4 ) ( x + 2 ) x 4 = lim x 4 x ( x + 2 ) = 16

10

Bereken exact:

lim x 0 2 x 2 3 x 2

lim x 0 2 x 3 3 x 4

lim x 0 2 x 4 3 x 3

lim x 0 2 x 2 x 3 x

11

Bereken exact:

lim x 1 x 2 + x 2 x 2

lim x 1 x 2 + x 2 x 1

lim x 1 x 1 x 2 1

lim x 1 x x x 2 x

12

Gegeven de veeltermfunctie f met f ( x ) = x 4 + 2 x 3 + x 2 + 3 x + 1 .
Er geldt: f ( x ) x 2 + 1 = x 2 + 2 x + x + 1 x 2 + 1 .

a

Laat dat zien.

f ( x ) x 2 = ... x 2 + ... x + ... + ... x + ... x 2

b

Bepaal welke getallen je in moet vullen.