1

a

$y = \frac{1}{2} {(x - 2)}^{2} = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + 2$ , dus $a = 2$ , $b = ‐ 2$ , $c = \frac{1}{2}$ en $d = 0$ .

b

$a = 2$ ; $b = ‐ 1$ ; $c = 0$ ; $d = \frac{1}{3}$

c

$y = \frac{1}{x}$ , $y = \sqrt{x}$ , $y = \sqrt{x} + x^{2}$ , exponentiële functies

2

-

3

a

$(2 x^{3} - 9 x^{2} + 31 x - 95) (x + 3) + 284$

b

$(2 x^{3} - x^{2} + 3 x + 1) (x - 1) + 0$

c

$2 x (x^{3} - 1 \frac{1}{2} x^{2} + 2 x - 1) - 1$

d

$(2 x^{3} - 7 x^{2} + 18 x - 38) (x + 2) + 75$

4

a

$(2 x^{3} - 9 x^{2} + 31 x - 95) (x + 3)$ is gelijk aan $0$ als je voor $x = ‐ 3$ invult.

b

$f (x) = g (x) (x - 1) + c$ ;
Omdat $f (1) = 0$ en $g (x) (x - 1)$ ook $0$ is voor $x = 1$ , geldt: $c = 0$ .

c

De rest krijg je door $‐ 2$ in te vullen in $2 x^{4} - 3 x^{3} + 4 x^{2} - 2 x - 1$ .

5

a

$x^{10} - 1 = 0$ als $x = 1$

b

Werk de haakjes aan de rechterkant weg.

c

$1024$

d

$x = ‐ 2$ ; er moet dan $0$ uit komen.

e

$x^{3} + 5 x^{2} + 6 x = x (x^{2} + 5 x + 6) = x (x + 2) (x + 3)$

6

a

Nee, ze zien er misschien wel hetzelfde uit op de GR, maar in het domein van $f$ zit het getal $1$ niet.

b

$\frac{2 x^{4} - 3 x^{3} + 4 x^{2} - 2 x - 1}{x - 1} = g (x)$ als $x \neq 1$ en $g (1) = 5$ , dus de perforatie is $(1,5)$ .

c

$5$

7

a

$g (x) = x^{2} + 1$ en $c = 1$

b

$‐ \infty$

c

$\infty$

d

-

e

Door voor $x = 3$ in te vullen in $x^{3} - 3 x^{2} + x - 4$ .
Als dat een getal $\neq 0$ oplevert, krijg je een verticale asymptoot $x = 3$ , zie de redenering aan het einde van onderdeel d.

f

Dan moet $h (3) = 0$ , dus $a = 3$ , dan krijg je: $h (x) = g (x) = x^{2} + 1$ als $x \neq 3$ , dus de perforatie is $(3,10)$ .

8

a

Het domein bestaat uit de getallen $x$ met $x \geq 0$ en $x \neq 4$ .

b

-

c

-

d

$4$

9

a

$\sqrt{x} + 2$

b

$\lim_{x \to 4} f (x) = \lim_{x \to 4} \frac{(\sqrt{x} + 2) (\sqrt{x} - 2)}{\sqrt{x} - 2} = \lim_{x \to 4} (\sqrt{x} + 2) = 4$

c

$\frac{(x - 4) (\sqrt{x} + 2)}{x - 4} = \sqrt{x} + 2$

10

$\frac{2}{3}$ ;	bestaat niet want: $\lim_{x ↑ 0} \frac{2 x^{3}}{3 x^{4}} = ‐ \infty$ en $\lim_{x ↓ 0} \frac{2 x^{3}}{3 x^{4}} = \infty$
$0$ ;	$\lim_{x \to 0} \frac{2 x^{2} - x}{3 x} = \lim_{x \to 0} \frac{2 x - 1}{3} = ‐ \frac{1}{3}$

11

$\lim_{x \to 1} \frac{x^{2} + x - 2}{x - 2} = \frac{0}{‐ 1} = 0$

$\lim_{x \to 1} \frac{x^{2} + x - 2}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x + 2) (x - 1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (x + 2) = 3$

$\lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{x^{2} - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{(x - 1) (x + 1)} = \lim_{x \to 1} \frac{1}{x + 1} = \frac{1}{2}$

$\lim_{x \to 1} \frac{x - \sqrt{x}}{x^{2} - x} = \lim_{x \to 1} \frac{x - \sqrt{x}}{x^{2} - x} \cdot \frac{x + \sqrt{x}}{x + \sqrt{x}} = \lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - x}{(x^{2} - x) (x + \sqrt{x})} = \lim_{x \to 1} \frac{1}{x + \sqrt{x}} = \frac{1}{2}$ of
$\lim_{x \to 1} \frac{x - \sqrt{x}}{x^{2} - x} = \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 1)}{x (\sqrt{x} + 1) (\sqrt{x} - 1)} = \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x}}{x (\sqrt{x} + 1)} = \frac{1}{2}$

12

a

Vermenigvuldig bijvoorbeeld beide kanten met $x^{2} + 1$ .

b

$x^{2} + 2 x + 1 + \frac{3 x + 1}{x^{2}}$