Regels voor het rekenen met logaritmen

In hoofdstuk 1 hebben we de regels voor het rekenen met machten gezien (regel 1 tot en met 4 hieronder).
Logaritmische en exponentiële functies zijn elkaars inverse.
Dat komt tot uitdrukking in de regel die we in paragraaf 2 van dit hoofdstuk gezien hebben, die staat als regel 5 hieronder.
Door deze vijf regels te combineren, vinden we in deze paragraaf regels voor het rekenen met logaritmen.

Rekenregels voor machten

$a^{p} \cdot a^{q} = a^{p + q}$
$a^{p} : a^{q} = a^{p - q}$
${(a^{p})}^{q} = a^{p \cdot q}$
${(a \cdot b)}^{p} = a^{p} \cdot b^{p}$
$g^{{}^{g} log (x)}$ $= x$ en ${}^{g} log (g^{x}) = x$

Deze regels gelden voor alle positieve getallen $a$ , $b$ , en willekeurige getallen $p$ en $q$ .
Verder: $x > 0$ en $g > 0$ en $g \neq 1$ .
Regel 1 wordt wel de hoofdeigenschap voor het rekenen met machten genoemd.

$2^{{}^{2} log (3) + {}^{2} log (7)}$ is een mooi getal, namelijk $21$ .
Dat kun je met een berekening laten zien door regel 1 en 5 te combineren.

Doe dat.

Uit a kun je concluderen: ${}^{2} log (3) + {}^{2} log (7) = {}^{2} log (21)$ .

Hoe?

$7^{{}^{7} log (3) + {}^{7} log (8)}$ is ook een mooi getal.

Heb je enig idee welk?

Kun je dat ook bewijzen?

Conclusie:
${}^{7} log (3) + {}^{7} log (8) = {}^{7} log (24)$ .

$2^{{}^{2} log (15) - {}^{2} log (3)}$ is ook een mooi getal, namelijk $5$ .

Laat zien dat je dat kunt vinden door regels hierboven te combineren.

Bekijk het getal $2^{4 \cdot {}^{2} log (3)}$ .
Dit is gelijk aan $3^{4}$ . Dat kun je als volgt inzien.

Volgens welke regels geldt:
$2^{4 \cdot {}^{2} log (3)}$ $=$ ${(2^{{}^{2} log (3)})}^{4} = 3^{4}$ ?

Maar ook geldt volgens regel 5:
$2^{{}^{2} log (3^{4})} = 3^{4}$ .
Dus: $4 \cdot {}^{2} log (3) = {}^{2} log (3^{4})$ .

Opmerking:

Op je GR zit een knop [log].
Het grondtal van deze logaritme is $10$ .
Controleer maar door bijvoorbeeld $log (100)$ , $log (100.000)$ en $log (\frac{1}{\sqrt{10}})$ in te toetsen.
Dus $log (x) =$ ${}^{10} log (x)$ .
Dat je met de knop [log] ook logaritmen met andere grondtallen kunt berekenen volgt uit de volgende opgave.

Bereken op de GR:
$\frac{log (8)}{log (2)}$ , $\frac{log (36)}{log (6)}$ en $\frac{log (81)}{log (3)}$ .

Mooie uitkomsten. Ze zijn gelijk aan ${}^{2} log (8)$ , ${}^{6} log (36)$ en ${}^{3} log (81)$ , dat zien we in de volgende vraag.

Laat met de regels zien dat:
$10^{log (2) \cdot^{2} log (8)}$ $=$ ${(10^{log (2)})}^{{}^{2} log (8)} =$ $8$ .

Omdat $8 = 10^{log (8)}$ , volgt hieruit dat $log (2) \cdot {}^{2} log (8) = log (8)$ , dus dat (deel beide kanten van de laatste gelijkheid door $log (2)$ ):
${}^{2} log (8) = \frac{log (8)}{log (2)}$ .

In de vorige vier opgaven heb je gezien dat onderstaande regels volgen uit de regels voor het rekenen met machten.

Regels voor het rekenen met logaritmen

${}^{g} log (x) + {}^{g} log (y) = {}^{g} log (x \cdot y)$
${}^{g} log (x) - {}^{g} log (y) = {}^{g} log (\frac{x}{y})$
$r \cdot {}^{g} log (x) = {}^{g} log (x^{r})$
${}^{g} log (x) =$ $\frac{{}^{a} log (x)}{{}^{a} log (g)}$ (overstappen op een ander grondtal namelijk van $g$ op $a$ )

De regels gelden voor alle positieve getallen $x$ , $y$ , $a$ , $g$ en willekeurige getallen $r$ , waarbij $a$ en $g$ niet $1$ mogen zijn.

Regels toepassen

Benader op je rekenmachine in drie decimalen:

${}^{4} log (5)$	${}^{4} log (25)$
${}^{4} log (\frac{1}{5})$	${}^{4} log (20)$
${}^{\frac{1}{4}} log (5)$	${}^{\frac{1}{4}} log (1 \frac{1}{4})$

In het vorige onderdeel heb je berekend: ${}^{4} log (5) = 1,161$ .
Hiermee kun je zonder GR alle andere logaritmen uit het vorige onderdeel berekenen met behulp van de rekenregels.

Doe dat.

Los de volgende vergelijkingen algebraïsch op, in drie decimalen nauwkeurig.

$7^{x} = 11$	$11^{x} = 7$
$2^{x - 1} = 11$	$2^{x^{2}} = 11$
$2^{\sqrt{x}} = 111$	${\sqrt{2}}^{x} = 111$
${1,1}^{x} = 1$	$11 \cdot {1,1}^{x} = 1$

Een kapitaal van $€ 5432, -$ staat uit tegen $10$ % rente per jaar op de bank. De groei van het kapitaal is exponentieel.

Wat is de groeifactor per jaar?

(hint)

$10$ % erbij optellen komt op hetzelfde neer als vermenigvuldigen met een zekere factor. Welke factor?

Geef een formule voor het kapitaal $K (t)$ in euro na $t$ jaar.

Zodra het kapitaal is aangegroeid tot $€ 10.000, -$ wordt het van de bank gehaald.

Hoelang duurt dat (in maanden nauwkeurig)?

Een glasplaat van $1$ cm dikte neemt $20$ % van het erop vallend licht weg.

Leg uit dat door een glasplaat van $2$ cm dikte $64$ % van het licht wordt doorgelaten.

Hoeveel procent van het licht wordt doorgelaten door een glasplaat van $x$ cm?

Hoe dik moet je een glasplaat maken om slechts $40$ procent van het licht door te laten (in mm nauwkeurig)?

Uit wikipedia.
In $1804$ woonden er één miljard mensen op de wereld.
In $1927$ waren dat er twee miljard. Eind jaren $50$ in de vorige eeuw groeide de wereldbevolking tot drie miljard personen.
Op $11$ juli $1987$ werd het Kroatische jongetje Matej Gaspar symbolisch uitgeroepen tot vijfmiljardste wereldburger.
Op $19$ juli $1999$ werd volgens de Verenigde Naties de $6$ miljardste mens geboren. Een jongen uit Sarajevo kreeg de eer. Dit was uiteraard een symbolische keuze, omdat het niet was na te gaan wie daadwerkelijk de zesmiljardste wereldburger werd. De VN koos voor Sarajevo om te tonen dat de regio zich herstelde. Op $31$ oktober $2011$ , iets meer dan $12$ jaar later, werd de $7$ miljardste mens geboren.
Men schatte in $1999$ dat de wereldbevolking elk jaar toeneemt met $1,9$ %.

Als er in $1999$ de $6$ miljardste mens geboren werd en de schatting van $1,9$ % juist is, hoeveel mensen zouden er $12$ jaar later zijn?

Uit bovenstaande volgt dat in $1804$ de verdubbelingstijd van de wereldbevolking $123$ jaar was.

Hoe groot is de verdubbelingstijd met een groeipercentage van $1,9$ % per jaar?
Bereken deze tijd algebraïsch in jaren nauwkeurig.

Los op in drie decimalen nauwkeurig:

$7^{x} = 4$	$7^{y} = \frac{1}{4}$
${(\frac{1}{2})}^{x} = \frac{7}{3}$	${(\frac{1}{2})}^{y} = \frac{3}{7}$

Verklaar het opvallende verband tussen $x$ en $y$ .

Los de volgende vergelijkingen op in twee decimalen nauwkeurig.

$2^{x} = 101$	$8^{y} = 101$
$2^{x} = 0,78$	$8^{y} = 0,78$

Verklaar het opvallende verband tussen $x$ en $y$ .

${}^{g} log (x) + {}^{g} log (y) = {}^{g} log (x \cdot y)$
Deze regel is de hoofdeigenschap van logaritmen.
We controleren de hoofdeigenschap voor enkele gevallen.

Bereken ${}^{5} log (625) + {}^{5} log (\frac{1}{5})$ op twee manieren, beide zonder rekenmachine.

Door ${}^{5} log (625)$ en ${}^{5} log (\frac{1}{5})$ apart uit te rekenen.
Door ${}^{5} log (625) + {}^{5} log (\frac{1}{5})$ met de hoofdeigenschap eerst te schrijven als ${}^{5} log (...)$ .

Bereken op twee manieren met je rekenmachine:
$log (20) + log (5)$ en $log (5) - log (\frac{1}{2})$ .

Bereken zonder rekenmachine; gebruik de hoofdeigenschap:

${}^{3} log (6) + {}^{3} log (1 \frac{1}{2})$	${}^{5} log (2 \frac{1}{2}) + {}^{5} log (0,08)$
${}^{\frac{1}{4}} log (0,4) + {}^{\frac{1}{4}} log (10)$	${}^{30} log (2) + {}^{30} log (3) + {}^{30} log (5)$
${}^{2} log (\frac{1}{4} x) + {}^{2} log (\frac{1}{x})$	${}^{2} log (5^{x}) + {}^{2} log (5^{‐ x})$

Bereken zonder rekenmachine:

${}^{4} log (640) - {}^{4} log (10)$	${}^{5} log (2 \frac{1}{2}) - {}^{5} log (\frac{1}{2})$
${}^{0,7} log (10) - {}^{0,7} log (7)$	${}^{7} log (84 x) - {}^{7} log (2 x) - {}^{7} log (6)$
${}^{5} log (6) - {}^{5} log (5) - {}^{5} log (3) - {}^{5} log (2)$

Controleer regel 3 met je rekenmachine in de volgende gevallen:

$log (1000^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2} log (1000)$
en $log (7^{4}) = 4 log (7)$ .

Bereken zonder rekenmachine; schrijf ook je tussenstappen op.

${}^{4} log (2^{11})$	${}^{3} log ({(\frac{1}{9})}^{11})$
${}^{\frac{1}{4}} log (2^{11})$	${}^{\frac{1}{3}} log ({(\frac{1}{9})}^{11})$

Leg uit hoe uit regel 3 volgt: ${}^{g} log (\frac{1}{x}) = ‐ {}^{g} log (x)$ .

Van de getallen $a$ , $b$ en $c$ is gegeven: ${}^{a} log (b) = 5$ en ${}^{a} log (c) = 3$ .
(Je kan deze opgave ook op een speelse manier maken: mini-loco logaritmen .)
Bereken zonder rekenmachine:

${}^{a} log (b^{2})$	${}^{a} log (b c)$
${}^{a} log (b \sqrt{c})$	${}^{a} log (b^{2} c^{3})$
${}^{a} log (\frac{b}{c})$	${}^{a} log (\frac{1}{c})$
${}^{a} log (\frac{1}{b^{3}})$	${}^{a} log (\sqrt{b c})$

$a$ , $b$ en $c$ zijn positieve getallen.

Bewijs: $log (a b) + log (b c) + log (c a) = 2 log (a b c)$ .

Bewijs: $log (\frac{a}{b}) + log (\frac{b}{c}) + log (\frac{c}{a}) = 0$ .