Vergelijkingen oplossen

Bereken exact voor welke $x$ geldt:

${}^{2} log (x) = 3$	${}^{2} log (x + 1) = 3$
${}^{2} log (2 x) = 3$	${}^{2} log (2 x + 1) = 3$
${}^{2} log (\sqrt{x}) = 3$	${}^{2} log (x^{2} - 1) = 3$
${}^{2} log (\frac{1}{x}) = 3$	${}^{2} log (x^{2} - 2 x) = 3$

Bereken exact voor welke $x$ geldt:

$log (x) = 3 log (6)$	$3 log (x) = log (6)$
$2 log (\frac{1}{x}) = 3 log (4)$	$log (6) + log (\frac{1}{x}) = log (x)$

Los de volgende vergelijkingen in $x$ exact op.

${}^{2} log (x) + {}^{2} log (8) = {}^{2} log (12)$	${}^{2} log (95) - {}^{2} log (x) = {}^{2} log (5)$
${}^{5} log (x) - {}^{5} log (2) = {}^{5} log (7)$	$log (x) + log (40) = 4$
$log (x) - log (5) = 1 + log (7)$	${}^{2} log (x) - {}^{2} log (3) = {}^{2} log (12) - {}^{2} log (x)$

(hint)

1 + log (7) = log (70)

Gegeven drie functies $f : x \to {}^{2} log (x^{2})$ , $g : x \to 2 \cdot {}^{2} log (x)$ en $h : x \to {}^{2} log (\frac{1}{2} x + 3)$ .
In de figuur is de grafiek van $f$ (groen) en die van $h$ (rood) getekend.

Geef het domein van de drie functies.

Hoe volgt uit de regels dat de grafiek van $g$ een deel van de grafiek van $f$ is? Welk deel?

Bereken exact de eerste coördinaten van de snijpunten van de grafieken van $f$ en $h$ .

De vergelijking $2 \cdot {}^{2} log (x) = {}^{2} log (\frac{1}{2} x + 3)$ heeft één oplossing, dat zie je in het plaatje met de grafieken.
De vergelijking los je als volgt op.
$2 \cdot {}^{2} log (x) = {}^{2} log (\frac{1}{2} x + 3)$
${}^{2} log (x^{2}) = {}^{2} log (\frac{1}{2} x + 3)$ , dus $x^{2} = \frac{1}{2} x + 3$
$2 x^{2} - x - 6 = 0$ , dus $x = 2$ of $x = ‐ 1 \frac{1}{2}$ .
Eén van beide oplossingen voldoet niet.

Hoe komt het dat je deze toch vindt?

Opmerking:

Let op
De vergelijking $2 \cdot {}^{2} log (x) = {}^{2} log (\frac{1}{2} x + 3)$ is niet equivalent met (heeft niet dezelfde oplossingen als) de vergelijking ${}^{2} log (x^{2}) = {}^{2} log (\frac{1}{2} x + 3)$ . Want de functie $f : x \to {}^{2} log (x^{2})$ heeft een groter domein dan de functie $g : x \to 2 \cdot {}^{2} log (x)$ .
Controleer daarom de gevonden oplossingen.

Los de volgende vergelijkingen op.

$2 log (x - 2) = 1 + log (\frac{1}{2} x + 4)$

(hint)

$1 = log (10)$
$2 log (x + 1) = 2 + log (x - 8)$
$log (x + 2) - log (x - 7) = log (2 x - 6)$

Gemengde opgaven

Hoe presteert een lange-afstandloper op een kortere afstand? En als je weet hoe snel iemand de $100$ meter loopt, kun je dan ook voorspellen hoelang hij over de $10$ km doet? Daar gaat deze opgave over.
Stel dat een atleet de $10.000$ meter loopt met een snelheid van $20$ km/u. Een andere afstand $s$ meter zal hij afleggen met een andere snelheid, zeg van $v$ km/u.
Er geldt: $v = 20 - {}^{2} log (\frac{s}{10.000})$ .

Bereken $v$ als $s = 400$ . Rond je antwoord af op een geheel getal.

Hoe kun je aan de formule zien dat bij een langere afstand een lagere gemiddelde snelheid hoort?

Bereken algebraïsch wat voor effect verdubbeling van de afstand op de gemiddelde snelheid heeft.

De gegeven formule laat zich herschrijven tot:
$s \cdot 2^{v} \approx 10^{10}$ .
Laat dat zien.

Geluid is een trilling in de lucht die door het gehoororgaan waargenomen wordt. De intensiteit $I$ van geluid wordt uitgedrukt in watt per vierkante meter (W/m²).
Uit experimenten blijkt dat geluid met een intensiteit van één biljoenste ( $10^{‐ 12}$ ) W/m² voor jonge mensen nog net hoorbaar is. Dit wordt de gehoorgrens genoemd. Het andere uiterste is de pijngrens: die ligt bij een geluidsintensiteit van $10$ W/m².
De geluidsintensiteit van het tikken van een horloge op $1$ meter afstand komt ongeveer overeen met de gehoorgrens; het geluid van een opstijgend straalvliegtuig met de pijngrens.
Uit de intensiteit $I$ leidt men een meer praktische grootheid af, het geluidsdrukniveau $L$ , volgens de formule:
$L = 10 \cdot log (\frac{I}{I_{0}})$ , waarbij $I_{0}$ de geluidsintensiteit is die hoort bij de gehoorgrens, dus $I_{0} = 10^{‐ 12}$ W/m². De eenheid van geluidsdrukniveau heet decibel, afgekort dB, genoemd naar Alexander Graham Bell, de uitvinder van de telefoon.

Bereken exact de geluidsdrukniveaus die horen bij de gehoorgrens en de pijngrens.

Op een zekere afstand produceren twee personenauto’s elk een geluidsdrukniveau van $80,0$ dB. De geluidsintensiteit is twee maal de geluidsintensiteit van één personenauto.

Bereken de waarde van hun gezamenlijk geluidsdrukniveau in één decimaal nauwkeurig.

Het verkeerslawaai in de buurt van een verkeersweg is onder meer afhankelijk van de afstand tot de weg. Voor afstanden van $20$ tot $1000$ meter gebruikt men de volgende formule:
$L = L_{0} - 10 log (2 π R)$ , waarbij

$R$ de afstand tot de as van de weg in meters is,
$L_{0}$ het geluidsdrukniveau van het verkeer op de as van de weg is,
$L$ het geluidsdrukniveau op $R$ meter afstand van de as van de weg is.

Bij een afstand van $R = 20$ m behoort een geluidsdrukniveau van $77$ dB.

Bereken in meters nauwkeurig welke afstand $R$ behoort bij een geluidsdrukniveau van $74$ dB.

Het getal $log (2)$ noemen we $p$ .

Druk de volgende getallen exact uit in $p$ .

$log (\frac{1}{5})$	$log (3200)$
${}^{2} log (10)$	${}^{5} log (10)$