5.2 Vectoren >

Hoofdstukken > De kracht van vectoren

Vectoren optellen

Om vectoren van getallen te onderscheiden, noteren we ze als een letter met een pijl erboven, bijvoorbeeld $\vec{v}$ .

Het plaatje staat ook op het werkblad. Er zijn twee vectoren $\vec{v}$ en $\vec{w}$ en een object ✹ getekend.

Het object wordt eerst over $\vec{v}$ en daarna over $\vec{w}$ verschoven.

Teken de nieuwe plaats van het object.
Teken ook de vector (met een pijl) die hoort bij de samengestelde verschuiving.

Je kunt het object ook eerst over $\vec{w}$ en daarna over $\vec{v}$ verschuiven.

Teken de bijbehorende vector.

De verschuiving eerst over $\vec{v}$ en daarna over $\vec{w}$ noteren we met $\vec{v} + \vec{w}$ .

Op het werkblad staan drie vectoren en een punt $P$ zoals hiernaast. Je kunt het punt $P$ in zes verschillende volgordes volgens de drie vectoren verplaatsen. Hieronder is er één getekend.

Teken de andere vijf.

Dat je in opgave 3 in alle zes de gevallen hetzelfde resultaat krijgt, is een gevolg van de volgende regels die voor het optellen van vectoren gelden.

Regels voor het optellen van vectoren
$\vec{a} + (\vec{b} + \vec{c}) = (\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c}$
$\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$

Stan en Ollie duwen een zware kast. Ollie duwt drie keer zo hard als Stan. Ollie duwt tegen de linkerzijkant en Stan duwt tegen de voorkant van de kast. De krachten van Ollie en Stan kun je voorstellen door vectoren. Maak de vector bij Stan $1$ cm lang.

Hoe lang moet je de vector bij Ollie maken?

Teken in een bovenaanzicht heel precies de vector die hoort bij de kracht waarmee de kast verschoven wordt.

De vector die je in opgave 4b getekend hebt, wordt in de natuurkunde de resultante van de vectoren bij de krachten van Ollie en Stan genoemd. Het is de somvector van de kracht waarmee Stan en de kracht waarmee Ollie duwt.

Vier touwen zijn aan elkaar geknoopt. Aan elk van de touwen trekt een krachtpatser. De trekkrachten worden voorgesteld door de vectoren $\vec{a}$ , $\vec{b}$ , $\vec{c}$ en $\vec{d}$ . Hiervan zijn $\vec{a}$ , $\vec{b}$ en $\vec{c}$ al getekend.

Welke van de drie trekkrachten is het grootst?

De vier krachtpatsers houden elkaar precies in evenwicht.

Teken de vector $\vec{d}$ op het werkblad.

De vector met lengte $0$ geven we aan met $\vec{0}$ . We noemen dit de nulvector. Er geldt: $\vec{v} + \vec{0} = \vec{v}$ voor elke vector $\vec{v}$ .

Opmerking:

In opgave 5 geldt: $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d} = 0$ .

Met de vector $‐ \vec{v}$ bedoelen we de vector die dezelfde lengte heeft als $\vec{v}$ , maar tegengestelde richting.

Er geldt: $\vec{v} + ‐ \vec{v} = \vec{0}$ .

We noemen $‐ \vec{v}$ de tegengestelde vector van $\vec{v}$ .

De vector die het punt $A$ naar het punt $B$ verplaatst, noteren we met $\vec{A B}$ .

Wat kun je zeggen over $\vec{A B} + \vec{B C} + \vec{C A}$ ?

Wat kun je zeggen over $\vec{A B}$ en $\vec{B A}$ ?

Welke vector is $\vec{A B} + ‐ \vec{A C}$ ?

In plaats van $\vec{v} + ‐ \vec{w}$ schrijven we meestal $\vec{v} - \vec{w}$ .

$A B C D$ is een parallellogram. We korten af: $\vec{A B} = \vec{v}$ en $\vec{A D} = \vec{w}$ .

Druk $\vec{C B}$ , $\vec{A C}$ en $\vec{B D}$ in $\vec{v}$ en $\vec{w}$ uit.

We komen terug op het onderzoek aan het begin van de paragraaf.
We noemen de hoekpunten van de zeshoek $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , $E$ en $F$ , zie figuur.

Wat kun je zeggen van
$\vec{A B} + \vec{B C} + \vec{C D} + \vec{D E} + \vec{E F} + \vec{F A}$ ?

Wat kun je zeggen als de oker zijden een gesloten driehoek vormen (na verschuiven)?

Trek je conclusie over driehoek met de blauwe zijden.
Licht je antwoord toe.

Opmerking:

Bij vraag c moet je $\vec{A B} + \vec{B C} + \vec{C D} + \vec{D E} + \vec{E F} + \vec{F A}$ schrijven als $\vec{A B} + \vec{C D} + \vec{E F} + \vec{B C} + \vec{D E} + \vec{F A}$ . Hierbij gebruik je de twee regels voor het rekenen met vectoren die voor opgave 4 staan.

Nu heb je een achthoek waarvan je de zijden om en om oker en blauw kleurt. Veronderstel dat de oker zijden zo verschoven kunnen worden dat ze een gesloten vierhoek vormen. Kan dat dan ook met de blauwe zijden?

Geef een bewijs van je antwoord.

Misschien heb je de conclusie van je onderzoek aan het begin van de paragraaf kunnen onderbouwen, zonder vectoren te gebruiken. Voor de achthoek in opgave d zal het bewijs je veel moeilijker vallen als je geen vectoren tot je beschikking hebt.
Vandaar: De kracht van vectoren.
Verderop zullen we die kracht weer voelen.

Ook bij een vierhoek kun je de zijden om en om blauw en oker kleuren. Als de oker zijden een gesloten figuur vormen, doen de blauwe zijden dat ook. Daar heb je nu geen vectoren voor nodig.

Ga dat na.

Vectoren met een getal vermenigvuldigen

In plaats van $\vec{v} + \vec{v} + \vec{v}$ schrijven we $3 \cdot \vec{v}$ en in plaats van $‐ \vec{v} + ‐ \vec{v}$ schrijven we $‐ 2 \cdot \vec{v}$ . De vector $3 \cdot \vec{v}$ is $3$ keer zo lang als $\vec{v}$ en heeft dezelfde richting. De vector $‐ 2 \cdot \vec{v}$ is $2$ keer zo lang als $\vec{v}$ en heeft tegengestelde richting. De vector $‐ 2 \frac{1}{2} \cdot \vec{v}$ is $2 \frac{1}{2}$ keer zo lang als $\vec{v}$ en heeft tegengestelde richting. Enzovoort.

Voor elk getal $k$ en elke vector $\vec{v}$ is $k \cdot \vec{v}$ de vector die $| k |$ keer zo lang is als $\vec{v}$ en dezelfde richting heeft als $\vec{v}$ als $k > 0$ en tegengestelde richting als $k < 0$ .

$A B C D$ is een parallellogram. $P$ , $Q$ , $R$ en $S$ zijn middens van zijden en $M$ is het snijpunt van de diagonalen. We korten af: $\vec{A B} = \vec{v}$ en $\vec{A D} = \vec{w}$ .

Druk de volgende vectoren in $\vec{v}$ en $\vec{w}$ uit.
$\vec{A S}$ , $\vec{A M}$ , $\vec{A Q}$ en $\vec{R Q}$ .

In opgave 9 kun je $\vec{A M}$ zien als $\frac{1}{2} \vec{A C} = \frac{1}{2} (\vec{v} + \vec{w})$ , maar ook als $\vec{A P} + \vec{A S} = \frac{1}{2} \vec{v} + \frac{1}{2} \vec{w}$ . Blijkbaar is $\frac{1}{2} (\vec{v} + \vec{w}) = \frac{1}{2} \vec{v} + \frac{1}{2} \vec{w}$ .

We vegen de regels bij elkaar.

Voor alle getallen $k$ en $m$ en alle vectoren $\vec{a}$ , $\vec{b}$ en $\vec{c}$ geldt:

$•$ $\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$

$•$ $\vec{a} + (\vec{b} + \vec{c}) = (\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c}$

$•$ $k \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = k \cdot \vec{a} + k \cdot \vec{b}$

$•$ $k \cdot (m \cdot \vec{a}) = (k \cdot m) \cdot \vec{a}$

Als $k = 3$ en $m = 2$ , zegt de laatste regel: als je de vector $\vec{a}$ eerst $2$ keer zo lang maakt en daarna $3$ keer zo lang, komt dat op hetzelfde neer als hem $3 \cdot 2$ maal zo lang te maken.
De een na laatste regel volgt uit gelijkvormigheid, zie hiervoor de volgende opgave.

De ene figuur is met factor $2 \frac{1}{2}$ uitvergroot tot de andere.

Druk de vectoren $\vec{p}$ en $\vec{q}$ in $\vec{a}$ en $\vec{b}$ uit.

Vector $\vec{r}$ kun je op twee manieren schrijven, één keer door op te merken dat hij $2 \frac{1}{2}$ keer zo lang is als $\vec{c}$ en één keer door hem als som van de vectoren $\vec{p}$ en $\vec{q}$ te schrijven.

Ga na dat je zo een voorbeeld van de een na laatste regel krijgt.

Het plaatje staat ook op het werkblad.
We bekijken de punten $X$ met: $\vec{S X} = \vec{S A} + k \cdot \vec{A B}$ , waarbij $k$ elk getal kan zijn.

Teken op het werkblad de punten $X$ die horen bij $k = ‐ 2$ , $‐ 1$ , $0$ , $1$ en $2$ .

Als je de punten bij elke waarde van $k$ zou tekenen, wat krijg je dan?

Ontbinden van vectoren

Een beek stroomt met constante snelheid en richting, weergegeven door de horizontale vector in figuur 1.
Sien zwemt met constante snelheid en richting in de beek.
De snelheidsvector waarmee Sien zwemt is de andere vector in figuur 1.

figuur 1

figuur 2

Sien neemt aan beide bewegingen tegelijk deel.

Teken op het werkblad de snelheidsvector waarmee Sien beweegt.

Sien verandert van richting en snelheid. Op gegeven moment is de situatie zoals in figuur 2. De snelheidsvector waarmee Sien beweegt is getekend. (De stroomsnelheidsvector van de beek is hetzelfde.) De zwemrichting van Sien is met een stippellijn aangegeven.

Teken nauwkeurig de vector die de snelheid en de richting aangeeft waarmee Sien zwemt.

Teken twee vectoren, één op lijn $a$ en één op lijn $b$ , zó dat de som van de vectoren die je getekend hebt de vector $\vec{v}$ in het plaatje oplevert.

In opgave 13 heb je de vector $\vec{v}$ ontbonden langs de lijnen $a$ en $b$ .

Een veerboot vaart loodrecht de rivier over, doordat de veerman de boot schuin tegen de stroom in stuurt. De stroomsnelheid van de rivier is $3$ km/u en wordt weergegeven door een vector $\vec{s}$ van $3$ cm. De pijl $\vec{u}$ daar loodrecht op is $3,75$ cm lang. Hij geeft de beweging van de veerboot weer.

Neem de figuur over en teken de vector $\vec{v}$ zó, dat $\vec{s} + \vec{v} = \vec{u}$ .

Bereken de lengte van $\vec{v}$ in mm en de hoek die $\vec{v}$ met $\vec{s}$ maakt in graden nauwkeurig.
Welke snelheid moet de veerboot uit zichzelf maken?

Uit: Nollet, Leçons de Physique Experimentale, M.DCC.LIII

Trekschuit
Reinier Nooms rond 1650

Een jaagpad of trekpad is een pad langs een kanaal of rivier dat vroeger werd gebruikt om schepen, gewoonlijk vrachtschepen, als de wind niet gunstig was, vooruit te trekken. Dit voorttrekken werd jagen genoemd, vandaar de naam. Gewoonlijk gebeurde dit door de schipper, zijn vrouw of samen met hun kinderen. Trekschuiten werden altijd gejaagd. Als er geld voor was, kon voor het jagen een paard met begeleider ingehuurd worden.
Uit: Wikipedia

De kracht waarmee het paard op het jaagpad de schuit voorttrekt, loopt niet in de richting waarin de schuit zich verplaatst. De trekkracht van het paard geven we weer met de vector $\vec{v}$ . Neem aan dat deze een hoek maakt van $30 °$ met de richting waarin de schuit zich verplaatst.

Ontbind $\vec{v}$ in een vector $\vec{u}$ in de vaarrichting en een vector $\vec{w}$ in de richting daar loodrecht op.

De component $\vec{w}$ van $\vec{v}$ draagt niet bij aan de snelheid waarmee de schuit beweegt. Hij wordt 'opgevangen'.
De component $\vec{u}$ bepaalt de snelheid van de schuit.

De lengte van een vector $\vec{v}$ noteren we als $| \vec{v} |$ .
In de plaat uit het natuurkundeboek van Nollet, zie hierboven wordt de component $\vec{w}$ 'opgevangen' met een stok door de man die naast de schuit op het jaagpad loopt.

Bereken $| \vec{u} |$ en $| \vec{w} |$ exact als $| \vec{v} | = 3$ .

De lengte van een vector $\vec{v}$ noteren we als $| \vec{v} |$ .

figuur 1

figuur 2

Een knikker die op een hellend vlak ligt, rolt naar beneden door werking van de zwaartekracht. Hoe groter de helling van het vlak, hoe sneller de knikker rolt.

De zwaartekracht werkt verticaal. In figuur 1 is deze weergegeven door een vector.

Ontbind de zwaartekrachtvector langs de lijnen $a$ en $b$ .

Lijn $b$ staat loodrecht op het vlak $V$ waarlangs de knikker rolt. We noemen lijn $b$ een normaal van $V$ . Een vector die loodrecht op een vlak staat noemen we normaalvector van dat vlak. De component langs $b$ die je in a getekend hebt is een normaalvector van $V$ . De component in de richting van $b$ drukt op het vlak. We nemen aan dat deze component geen invloed op de beweging van de knikker heeft. (In de natuurkunde zegt men: de rolweerstand wordt verwaarloosd.) De component in de richting van $a$ zorgt voor de beweging van de knikker. Deze component is groter naarmate de helling van het vlak groter is.

In figuur 2 is de helling van het vlak waarop de knikker ligt $37 °$ . De lengte van de zwaartekrachtvector is $12$ .

Leg uit dat de hoek tussen de zwaartekrachtvector en lijn $b$ ook $37 °$ is en benader de component van de zwaartekrachtvector langs $b$ in twee decimalen.

De vector $\vec{v}$ in het plaatje is ontbonden in twee onderling loodrechte componenten $\vec{x}$ en $\vec{y}$ .
Er geldt: $| \vec{x} | = | \vec{v} | \cdot cos (α)$ en $| \vec{y} | = | \vec{v} | \cdot sin (α)$ .

Een auto wordt een helling op getrokken. De trekkracht en de zwaartekracht die op de auto uitgeoefend worden, zijn weergegeven door pijlen.

Ontbind de zwaartekrachtvector in een component in de richting van het hellend vlak en in de richting van een normaal van het vlak.

Vergelijk de lengte van de pijlen. Krijgt hij de auto de helling op? (De rolweerstand wordt verwaarloosd.)