Iemand heeft zeven blokken op elkaar gestapeld. De stapel helt gevaarlijk naar rechts over. Maar hij valt niet om! Hoe dat te begrijpen is, daar gaat deze paragraaf over.

Massa’s schuiven

We maken in deze paragraaf gebruik van het schuifprincipe uit de natuurkunde.
Het evenwicht wordt niet verstoord als je twee gelijke massa’s tegengesteld aan elkaar over dezelfde afstand verplaatst:
$\to \leftarrow of \leftarrow \to$

Het schuifprincipe is ons uitgangspunt. Als je een balans tot je beschikking hebt, kun je experimenteel vaststellen dat dit juist is. Uitgaande van dit natuurkundige principe, gaan we wiskundig redeneren.

Het mobiel in situatie 1 hieronder is in evenwicht. De zeven massa’s zijn allemaal even groot.
De tweede situatie krijg je door twee van de massa’s in tegengestelde richting te verplaatsen.
De derde situatie krijg je door daarna twee massa’s tegengesteld aan elkaar te verplaatsen over dezelfde afstand en dat daarna nog eens te doen.
In de derde situatie zie je goed dat het mobiel inderdaad in evenwicht is.

situatie 1

situatie 2

situatie 3

Ga deze twee verplaatsingen na.

Zoek uit waar je de mobielen 1, 2, 3 en 4 moet ophangen opdat zij in evenwicht zijn. De mobielen staan ook op het werkblad.
De lengte van de ophangtouwtjes is niet van belang.

In plaats van één massa $2$ eenheden te verplaatsen, kun je ook twee massa’s $1$ eenheid verplaatsen (in dezelfde richting).

mobiel 1	mobiel 2
mobiel 3	mobiel 4

In mobiel 4 van de vorige opgave was de afstand tussen de linker en de rechter massa’s $10$ .

We verplaatsen elk van de linker massa’s $3$ plaatsen naar rechts en elk van de drie rechter massa’s $2$ plaatsen naar links. Dan houden we evenwicht. Doen we dat nog een keer dan hangen alle vijf de massa’s op dezelfde plaats. Die plaats verdeelt de oorspronkelijke afstand in stukken die zich verhouden als $6 : 4$ .

Het punt waar de staaf met massa’s moet worden opgehangen om de staaf in evenwicht te krijgen, noemen we het zwaartepunt of massamiddelpunt van de staaf met massa’s.

In $A$ en $B$ bevinden zich twee massa's van grootte $a$ en $b$ . Het zwaartepunt $Z$ van de twee massa’s ligt op lijnstuk $A B$ , zodat $A Z : B Z = b : a$ .

Opmerking:

Het achterliggende natuurkundige principe is de zogenaamde momentenwet.
Een kracht die op een afstand van een draaipunt of ophangpunt werkt oefent een moment uit: $m o m e n t = k r a c h t \cdot a r m$ .
Een moment kan linksdraaiend (tegen de wijzers van de klok in) of rechtsdraaiend (met de wijzers van de klok mee) zijn. Denk bijvoorbeeld aan een wip, balans of een mobile.
Als er evenwicht is, dan geldt: moment linksom = moment rechtsom.

Voorbeeld:
Als ten opzichte van het draaipunt (of zwaartepunt) aan de linkerzijde op afstand $x$ gewicht $a$ hangt en aan de rechterzijde op afstand $y$ gewicht $b$ dan geldt dus:
$moment linksom = x \cdot a$ en $moment rechtsom = y \cdot b$ , dus de momentenwet zegt dan $x \cdot a = y \cdot b$ $\to$ $\frac{x}{y} = \frac{b}{a}$ $\to$ $x : y = b : a$ .

Conclusie: de afstanden ten opzichte van het zwaartepunt (of draaipunt) zijn omgekeerd evenredig met de grootte van de massa's.

Aan de massaloze staaf in figuur 1 hangen twee massa’s van grootte $2$ en $6$ .

Waar moet de staaf worden opgehangen opdat hij in evenwicht is?

figuur 1

figuur 2

Aan de massaloze staaf in figuur 2 hangen twee massa’s van grootte $a$ en $b$ .

Waar moet de staaf moet worden opgehangen, opdat hij in evenwicht is?

Aan een massaloze staaf hangen twee massa's van grootte $3$ en $7$ .
Bepaal de plaats van het zwaartepunt $Z$ op twee manieren:

door te schuiven,

door bovenstaande stelling toe te passen.

In de situatie van twee massa's met grootte $a$ (links) en $b$ (rechts) op onderlinge afstand $L$ van elkaar, dan bevindt zich het zwaartepunt $Z$ van grootte $a + b$ op afstand $x = \frac{b}{a + b} \cdot L$ vanaf de linkerkant en afstand $y = \frac{a}{a + b} \cdot L$ vanaf de rechterkant (en $L = x + y$ ).

Nu we weten hoe we het zwaartepunt van twee massa’s kunnen bepalen, gaan we een systeem van drie massa’s op één lijn aanpakken.

Aan een massaloze staaf hangen drie massa’s van grootte $1$ , $2$ en $3$ op onderling gelijke afstanden, en in deze volgorde.

Waar ligt het zwaartepunt gemeten vanaf het ophangpunt van het gewicht met grootte $1$ ?

En waar ligt het zwaartepunt als je de massa’s van grootte $2$ en $3$ van plaats verwisselt?

Voorbeeld:

figuur 1

Bij drie massa’s kun je er eerst twee samennemen, en vervolgens het resultaat van die twee combineren met de derde massa.
Het zwaartepunt van $5$ en $7$ in figuur 1 ligt op afstand $25$ van $7$ . Dus vervangen we de situatie in figuur 1 door die in figuur 2.

figuur 2

Vervolgens bepalen we het zwaartepunt in figuur 2 van $12$ en $3$ , die een onderlinge afstand $45$ hebben door die in figuur 3.
We vinden het zwaartepunt van de oorspronkelijke drie massa’s op afstand $36$ van de rechter massa.

figuur 3

Ga na dat je dezelfde plek vindt als je begint met de massa’s $3$ en $5$ samen te nemen.

Ook als je begint met de massa’s $7$ en $3$ samen te nemen.

Het kan nog anders. Splits de massa van $7$ in twee massa’s van $5$ en $2$ :

Neem nu eerst de twee massa’s van $5$ samen en de massa’s van $2$ en $3$ . Vind je op deze manier weer hetzelfde zwaartepunt?

Bij elk aantal massa’s op een lijn vind je altijd hetzelfde eindpunt, hoe je ook de tweetallen kiest die je achtereenvolgens samenneemt. Dat betekent dat je terecht kunt spreken van het zwaartepunt. Verderop zul je – met behulp van vectoren – begrijpen waarom je altijd hetzelfde eindpunt vindt.

Bepaal het zwaartepunt van:

Hoe gaat het als de massa’s niet op één lijn liggen? Ook dan verschuiven we massa’s naar elkaar toe, tot dat alles in een "centrum" samenklontert: als dat punt weer altijd hetzelfde is, mag dat het zwaartepunt heten.

We bekijken een voorbeeld met drie massa’s: $1$ , $2$ en $3$ . Voor het gemak hebben we een driehoekjesrooster aangebracht, waarbij de afstanden tussen een tweetal massa’s verdeeld is in $15$ ’en.

Bepaal op het werkblad het zwaartepunt door eerst de massa’s $2$ en $3$ samen te nemen.

Ook door eerst $1$ en $2$ samen te nemen.

En door eerst $1$ en $3$ samen te nemen.

Waarom vind je steeds hetzelfde punt?

Waarom vind je altijd hetzelfde eindpunt als je massa’s twee aan twee samenneemt? De volgorde waarin je daarbij te werk gaat, doet niet ter zake. Dit kun je begrijpen door met vectoren te werken!

We kiezen een vast punt $O$ in het vlak. Dit noemen we de oorsprong.
In het vervolg schrijven we voor $\vec{O A}$ , $\vec{O B}$ enzovoort: $\vec{a}$ , $\vec{b}$ , enzovoort; dat is gemakkelijker.
We noemen $\vec{a}$ , $\vec{b}$ , enzovoort de plaatsvector van $A$ , $B$ , enzovoort.

Druk $\vec{A B}$ uit in $\vec{a}$ en $\vec{b}$ .

Het punt $C$ verdeelt het lijnstuk $A B$ zó, dat $A C : B C = 3 : 2$ .

Ontbind $\vec{c}$ in de richtingen $\vec{a}$ en $\vec{b}$ en toon aan dat
$\vec{c} = \frac{2}{5} \vec{a} + \frac{3}{5} \vec{b}$ .

(hint)

Teken lijnen door

C

evenwijdig aan

O A

O B

en gebruik gelijkvormigheid.
Of: schrijf

\vec{A C}

als veelvoud van

\vec{a}

\vec{b}

en gebruik:

\vec{O C} = \vec{a} + \vec{A C}

Het punt $D$ verdeelt het lijnstuk $A B$ zó, dat $A D : B D = 3 : 5$ .

Ontbind $\vec{d}$ in de richtingen $\vec{a}$ en $\vec{b}$ en bereken de getallen $k$ en $m$ waarvoor geldt dat $\vec{d} = k \vec{a} + m \vec{b}$ .

Gegeven zijn de punten $A$ en $B$ en een punt $Z$ op lijnstuk $A B$ zó, dat $A Z : Z B = b : a$ .
Kies een willekeurig punt $O$ als oorsprong.
Dan:

$\vec{A B} = \vec{b} - \vec{a}$
$\vec{O Z} = \frac{a}{a + b} \vec{O A} + \frac{b}{a + b} \vec{O B}$ .

Gevolg
Als zich in $A$ en $B$ massa's $a$ en $b$ bevinden, dan heeft het zwaartepunt $Z$ plaatsvector $\vec{O Z} = \frac{a}{a + b} \vec{O A} + \frac{b}{a + b} \vec{O B}$ .

Speciaal geval
Voor het midden $M$ van $A B$ geldt: $\vec{O M} = \frac{1}{2} \vec{O A} + \frac{1}{2} \vec{O B}$ .

Bewijs

$\vec{O Z} = \vec{O A} + \frac{b}{a + b} \vec{A B} = \vec{O A} + \frac{b}{a + b} (\vec{O B} - \vec{O A}) = (1 - \frac{b}{a + b}) \vec{O A} + \frac{b}{a + b} \vec{O B} = \frac{a}{a + b} \vec{O A} + \frac{b}{a + b} \vec{O B}$

Opmerking

Het speciaal geval heb je in opgave 9 al gezien.

Hoe luidt 'het gevolg' (vorige bladzijde) als we voor $O$ het punt $A$ kiezen?

Hoe luidt 'het gevolg' als we voor $O$ het punt $Z$ kiezen?

In de punten $A$ en $B$ bevinden zich de massa's $a$ en $b$ . Geef op het werkblad de plaats van het zwaartepunt aan in de volgende gevallen.

$a = 0$ en $b = 6$ ,
$a = 1$ en $b = 5$ ,
$a = 2$ en $b = 4$ ,
$a = 3$ en $b = 3$ ,
$a = 4$ en $b = 2$ ,
$a = 5$ en $b = 1$ ,
$a = 6$ en $b = 0$ .

Gegeven zijn vijf massa’s in een vlak (of in de ruimte, of op een lijn): $2$ , $3$ , $5$ , $7$ en $10$ , op de plaatsen $A_{1}$ , $A_{2}$ , $A_{3}$ , $A_{4}$ en $A_{5}$ . Kies een oorsprong $O$ .
Om het zwaartepunt te vinden kunnen we (bijvoorbeeld) als volgt te werk gaan:

bepaal het zwaartepunt $Z_{12}$ van de massa’s $2$ en $3$ ,
bepaal het zwaartepunt $Z_{34}$ van de massa’s $5$ en $7$ ,
bepaal het zwaartepunt $Z_{345}$ van het systeem met massa $12$ in $Z_{34}$ en massa $10$ in $A_{5}$ ,
bepaal het zwaartepunt $Z$ van het systeem van massa $5$ in $Z_{12}$ en massa $22$ in $Z_{345}$ .

Welke vector $\vec{O Z}$ vind je op deze manier, uitgedrukt in $\vec{O A_{1}}$ , $\vec{O A_{2}}$ , $\vec{O A_{3}}$ , $\vec{O A_{4}}$ en $\vec{O A_{5}}$ ?

$\vec{O Z}$ is een soort gewogen gemiddelde vector van $\vec{O A_{1}}$ , $\vec{O A_{2}}$ , $\vec{O A_{3}}$ , $\vec{O A_{4}}$ en $\vec{O A_{5}}$ . Hoe "zwaar" elk van die vectoren in het gemiddelde meetelt, hangt af van de grootte van massa op de betreffende plaats.

We gaan nu het algemene geval bekijken.

Voor drie massa’s

Gegeven zijn drie massa’s $a_{1}$ , $a_{2}$ , $a_{3}$ op de plaatsen $A_{1}$ , $A_{2}$ , $A_{3}$ . We kiezen een willekeurig punt $O$ als oorsprong en berekenen de som van de massa’s: $a = a_{1} + a_{2} + a_{3}$ .
Dan vinden we het zwaartepunt $Z$ als volgt:
$\vec{O Z} = \frac{a_{1}}{a} \vec{O A_{1}} + \frac{a_{2}}{a} \vec{O A_{2}} + \frac{a_{3}}{a} \vec{O A_{3}}$ .

Bewijs

De som van de drie massa's noemen we $a$ .
Stel dat we eerst de massa’s $a_{1}$ en $a_{2}$ samennemen. Die twee kunnen we vervangen door de massa $b = a_{1} + a_{2}$ in hun zwaartepunt $Z_{12}$ met $\vec{O Z_{12}} = \frac{a_{1}}{b} \vec{O A_{1}} + \frac{a_{2}}{b} \vec{O A_{2}}$ .
Dit gecombineerd met massa $a_{3}$ geeft het punt $Z$ met
$\vec{O Z} = \frac{b}{b + a_{3}} \vec{O Z_{12}} + \frac{a_{3}}{b + a_{3}} \vec{O A_{3}}$
$\vec{O Z} = \frac{b}{b + a_{3}} (\frac{a_{1}}{b} \vec{O A_{1}} + \frac{a_{2}}{b} \vec{O A_{2}}) + \frac{a_{3}}{b + a_{3}} \vec{O A_{3}}$
$\vec{O Z} = \frac{a_{1}}{a} \vec{O A_{1}} + \frac{a_{2}}{a} \vec{O A_{2}} + \frac{a_{3}}{a} \vec{O A_{3}}$ .
Omdat in het eindantwoord de drie massa’s en de drie plaatsen volkomen symmetrisch voorkomen, is de volgorde waarin de massa’s zijn samengenomen kennelijk niet van belang!

Voor vier massa’s

Gegeven zijn vier massa’s $a_{1}$ , $a_{2}$ , $a_{3}$ , $a_{4}$ op de plaatsen $A_{1}$ , $A_{2}$ , $A_{3}$ , $A_{4}$ . We kiezen een willekeurig punt $O$ als oorsprong en berekenen de som van de massa’s: $a = a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4}$ .
Dan vinden we het zwaartepunt $Z$ als volgt: $\vec{O Z} = \frac{a_{1}}{a} \vec{O A_{1}} + \frac{a_{2}}{a} \vec{O A_{2}} + \frac{a_{3}}{a} \vec{O A_{3}} + \frac{a_{4}}{a} \vec{O A_{4}}$ .

Bewijs
Eerst nemen we de massa’s in $A_{1}$ , $A_{2}$ en $A_{3}$ samen. Die kunnen we vervangen door massa $b = a_{1} + a_{2} + a_{3}$ in plaats $Z_{123}$ , waarbij $\vec{O Z_{123}} = \frac{a_{1}}{b} \vec{O A_{1}} + \frac{a_{2}}{b} \vec{O A_{2}} + \frac{a_{3}}{b} \vec{O A_{3}}$ .
Dit nemen we samen met massa $a_{4}$ in $A_{4}$ . Dat geeft ons het zwaartepunt $Z$ , waarvoor:
$\vec{O Z} = \frac{b}{a_{4} + b} \vec{O Z_{123}} + \frac{a_{4}}{a_{4} + b} \vec{O A_{4}}$
$\vec{O Z} = \frac{b}{a_{4} + b} (\frac{a_{1}}{b} \vec{O A_{1}} + \frac{a_{2}}{b} \vec{O A_{2}} + \frac{a_{3}}{b} \vec{O A_{3}}) + \frac{a_{4}}{a_{4} + b} \vec{O A_{4}}$
$\vec{O Z} = \frac{a_{1}}{a} \vec{O A_{1}} + \frac{a_{2}}{a} \vec{O A_{2}} + \frac{a_{3}}{a} \vec{O A_{3}} + \frac{a_{4}}{a} \vec{O A_{4}}$
Weer is het antwoord volkomen symmetrisch in de vier massa’s en plaatsen. Kennelijk is de volgorde van samennemen niet van belang.

En zo gaat dat door voor vijf, zes, … massa’s. Algemeen vinden we voor elk aantal massa’s $a_{1}$ , $a_{2}$ , … , $a_{n}$ op de plaatsen $A_{1}$ , $A_{2}$ , … , $A_{n}$ het zwaartepunt $Z$ als volgt:

Stelling
De massa’s $a_{1}$ , $a_{2}$ , … , $a_{n}$ bevinden zich op de plaatsen
$A_{1}$ , $A_{2}$ , … , $A_{n}$ . Het zwaartepunt noemen we $Z$ .
Dan: $\vec{O Z} = \frac{a_{1}}{a} \vec{O A_{1}} + \frac{a_{2}}{a} \vec{O A_{2}} + ... + \frac{a_{n}}{a} \vec{O A_{n}}$ .
Hierbij is $a = a_{1} + a_{2} + ... + a_{n}$ .

Opmerking:

We zien dat $\vec{O Z}$ een soort gewogen gemiddelde vector is van $\vec{O A_{1}}$ , $\vec{O A_{2}}$ , … , $\vec{O A_{n}}$ . Hierbij bepaalt een massa op een plaats hoe zwaar die plaats meetelt.

Het doet er niet toe in hoeveel dimensies we werken. De punten mogen best op een rechte lijn liggen, maar dat hoeft niet. En als drie punten een driehoek in de ruimte vormen, hoeft de gekozen oorsprong niet in het vlak van de driehoek te liggen. De werkwijze met vectoren is dus algemeen geldig: de kracht van vectoren.

Anneke heeft achtereenvolgens de volgende cijfers voor wiskunde gehaald: $7$ , $6$ , $5$ , $9$ , $9$ , $10$ , $6$ , $7$ , $7$ .
Ze heeft de cijfers uitgezet op de getallenlijn.

Bepaal haar gemiddelde wiskundecijfer.

Opmerking:

Merk de analogie op tussen het gemiddelde cijfer en het zwaartepunt.