1

a

De driehoeken $F D C$ en $A D B$ zijn gelijkvormig, dus $\frac{F C}{A B} = \frac{C D}{B D} = \frac{1}{3}$ .
Net zo is $\frac{G C}{A B} = \frac{C E}{E A} = \frac{1}{3}$ .

b

De driehoeken $F S C$ en $A S X$ zijn gelijkvormig, dus $\frac{F C}{A X} = \frac{C S}{S X}$ .
Net zo is $\frac{G C}{B X} = \frac{C S}{S X}$ . Dus $\frac{F C}{A X} = \frac{G C}{B X}$ .
Uit a volgt dan dat $A X = B X$ .

2

$\frac{A X}{X B} \cdot \frac{B D}{D C} \cdot \frac{C E}{E A} = 1$ , verder $\frac{B D}{D C} \cdot \frac{C E}{E A} = 1$ , dus $\frac{A X}{X B} = 1$ .

3

a

Er geldt: $\frac{A F}{F B} = \frac{b}{a}$ en $\frac{B D}{D C} = \frac{c}{b}$ , dus uit $\frac{A F}{F B} \cdot \frac{B D}{D C} \cdot \frac{C E}{E A} = 1$ volgt dat $\frac{C E}{E A} = \frac{a}{c}$ , dus is $E$ het zwaartepunt van de massa's in $C$ en $A$ .

b

$Z$ ligt op lijn $C F$ , dat zie als je bij de bepaling van het zwaartepunt eerst de massa's in $A$ en $B$ samenneemt.
Evenzo ligt $Z$ ook op de andere twee lijnen.

c

Omdat $Z$ het zwaartepunt van de drie massa's is en daarom het zwaartepunt van de massa's in $A$ en $C$ op lijn $B Z$ moet liggen.

d

$\frac{A F}{F B} = \frac{b}{a}$ , $\frac{B D}{D C} = \frac{c}{b}$ en $\frac{C E}{E A} = \frac{a}{c}$ , dus $\frac{A F}{F B} \cdot \frac{B D}{C D} \cdot \frac{C E}{A E} = \frac{b}{a} \cdot \frac{c}{b} \cdot \frac{a}{c} = 1$

4

a

$\frac{A O}{O B} = \frac{1}{2} = \frac{b}{4}$ , dus $b = 2$ .
$\frac{C D}{D B} = \frac{2}{3} = \frac{b}{c} = \frac{2}{c}$ , dus $c = 3$ .

b

$X$ is het zwaartepunt van de massa's in $A$ en $C$ , dus $\frac{A X}{X C} = \frac{3}{4}$ .

c

$Z$ is het zwaartepunt van de massa's $7$ in $X$ en $2$ in $B$ .
Dus $\frac{X Z}{Z B} = \frac{2}{7}$ .

5

a

$\frac{A E}{E O} \cdot \frac{O D}{D B} \cdot \frac{F B}{A F} = \frac{9}{6} \cdot \frac{9}{27} \cdot \frac{F B}{A F} = 1$ , dus $\frac{F B}{A F} = \frac{2}{1}$ .
$\vec{A F} = \frac{1}{3} \vec{A B}$ , dus van $A$ naar $F$ moet je $12$ eenheden naar rechts en $5$ eenheden naar beneden, dus $F = (0 + 12,15 - 5) = (12,10)$ .

b

Noem het snijpunt $Z$ . We leggen in $O$ , $A$ en $B$ geschikte massa's, bijvoorbeeld $1$ in $B$ , $2$ in $A$ en $3$ in $O$ . Dan is $Z$ het zwaartepunt van de drie massa's. Neem de massa's in $A$ en $B$ samen. Dat geeft massa $3$ in $F$ . $Z$ is dan het zwaartepunt van de massa's $3$ en $3$ in $O$ en $F$ , dus het midden van $O F$ . Dus $Z = (6,5)$ .

6

$\frac{B D}{D C} = \frac{1}{3}$ en $\frac{C E}{E A} = \frac{1}{1}$ , $\frac{A F}{F B} \cdot \frac{B D}{D C} \cdot \frac{C E}{E A} = 1$ , dus $\frac{A F}{F B} = \frac{3}{1}$ , dus $\vec{B F} = \frac{1}{4} \cdot \vec{B A}$ , dus van $B$ naar $F$ moet je $4 \frac{1}{2}$ eenheden naar links en $1 \frac{1}{2}$ eenheden naar beneden, dus $F = (9 - 4 \frac{1}{2},0 - 1 \frac{1}{2}) = (4 \frac{1}{2}, ‐ 1 \frac{1}{2})$ .
Om de coördinaten van $X$ te vinden, leg je weer geschikte massa's in $A$ , $B$ en $C$ , resp. $1$ , $3$ en $1$ . Breng bijvoorbeeld eerst de massa's in $B$ en $C$ bij elkaar in $D$ . $X$ is dan het zwaartepunt van een massa $1$ in $A$ en een massa $4$ in $D$ , dus $\vec{D X} = \frac{1}{5} \cdot \vec{D A}$ , dus om van $D$ naar $X$ te komen, moet je $3$ naar links en $1 \frac{4}{5}$ naar beneden, dus $X = (3,1 \frac{1}{5})$ .

7

Het snijpunt van $C X$ met $A B$ noemen we $F$ .
Dan $C X$ gaat door het midden van $A B \Leftrightarrow \frac{A F}{F B} = 1$ .
Verder: $\frac{A F}{F B} \cdot \frac{B D}{D C} \cdot \frac{C E}{E A} = 1$ . Dus $\frac{A F}{F B} = 1 \Leftrightarrow$ $\frac{B D}{D C} \cdot \frac{C E}{E A} = 1$ $\Leftrightarrow$ $\frac{B D}{D C} = \frac{E A}{C E}$ .

8

a

Noem de hoekpunten van de driehoek $A$ , $B$ en $C$ en de speciale verdeelpunten (zie plaatje), $D$ , $E$ en $F$ . Dan geldt: $\frac{A F}{F B} \cdot \frac{B D}{D C} \cdot \frac{C E}{E A} = \frac{4}{2} \cdot \frac{3}{3} \cdot \frac{2}{4} = 1$ , dus gaan de lijnen $A D$ , $B E$ en $C F$ door één punt.

figuur bij opgave 38

b

Ga zo te werk als in a. Je moet dan positieve gehele getallen $x$ , $y$ en $z$ zoeken zó, dat $\frac{x}{7 - x} \cdot \frac{y}{7 - y} \cdot \frac{z}{7 - z} = 1$ .
Na wat proberen, zie je dat dat niet gaat. Je kunt ook wel bewijzen dat die $x$ , $y$ en $z$ niet te vinden zijn als volgt.
Dan moet $x y z = (7 - x) (7 - y) (7 - z)$ , dus
$x y z = 343 + 7 x y + 7 x z + 7 y z - 49 x - 49 y - 49 z - x y z$ oftewel:
$2 x y z = 343 + 7 x y + 7 x z + 7 y z - 49 x - 49 y - 49 z$ .
De rechterkant van de laatste vergelijking is deelbaar door $7$ , want alle termen zijn deelbaar door $7$ . De linkerkant moet dan ook deelbaar zijn door $7$ . Dit kan alleen als $x$ , $y$ of $z = 7$ .

9

Leg massa's $1$ in de hoekpunten!