5.4  De stelling van Ceva >
De stelling van Ceva bewijzen
1
a

De driehoeken F D C en A D B zijn gelijkvormig, dus F C A B = C D B D = 1 3 .
Net zo is G C A B = C E E A = 1 3 .

b

De driehoeken F S C en A S X zijn gelijkvormig, dus F C A X = C S S X .
Net zo is G C B X = C S S X . Dus F C A X = G C B X .
Uit a volgt dan dat A X = B X .

2

A X X B B D D C C E E A = 1 , verder B D D C C E E A = 1 , dus A X X B = 1 .

3
a

Er geldt: A F F B = b a en B D C D = c b , dus uit A F F B B D D C C E E A = 1 volgt dat C E A E = a c , dus is E het zwaartepunt van de massa's in C en A .

b

Z ligt op lijn C F , dat zie als je bij de bepaling van het zwaartepunt eerst de massa's in A en B samenneemt.
Evenzo ligt Z ook op de andere twee lijnen.

c

Omdat Z het zwaartepunt van de drie massa's is en daarom het zwaartepunt van de massa's in A en C op lijn B Z moet liggen.

d

A F F B = b a , B D D C = c b en C E E A = a c , dus A F F B B D C D C E A E = b a c b a c = 1

De stelling van Ceva toepassen
4
a

A O O B = 1 2 = b 4 , dus b = 2 .
C D D B = 2 3 = b c = 2 c , dus c = 3 .

b

X is het zwaartepunt van de massa's in A en C , dus A X X C = 3 4 .

c

Z is het zwaartepunt van de massa's 7 in X en 2 in B .
Dus X Z Z B = 2 7 .

5
a

A E E O O D D B F B A F = 9 6 9 27 F B A F = 1 , dus F B A F = 2 1 .
A F = 1 3 A B , dus van A naar F moet je 12 eenheden naar rechts en 5 eenheden naar beneden, dus F = ( 0 + 12,15 5 ) = ( 12,10 ) .

b

Noem het snijpunt Z . We leggen in O , A en B geschikte massa's, bijvoorbeeld 1 in B , 2 in A en 3 in O . Dan is Z het zwaartepunt van de drie massa's. Neem de massa's in A en B samen. Dat geeft massa 3 in F . Z is dan het zwaartepunt van de massa's 3 en 3 in O en F , dus het midden van O F . Dus Z = ( 6,5 ) .

6

B D D C = 1 3 en C E E A = 1 1 , A F F B B D D C C E E A = 1 , dus A F F B = 3 1 , dus B F = 1 4 B A , dus van B naar F moet je 4 1 2 eenheden naar links en 1 1 2 eenheden naar beneden, dus F = ( 9 4 1 2 ,0 1 1 2 ) = ( 4 1 2 , 1 1 2 )
Om de coördinaten van X te vinden, leg je weer geschikte massa's in A , B en C , resp. 1 , 3 en 1 . Breng bijvoorbeeld eerst de massa's in B en C bij elkaar in D . X is dan het zwaartepunt van een massa 1 in A en een massa 4 in D , dus D X = 1 5 D A , dus om van D naar X te komen, moet je 3 naar links en 1 4 5 naar beneden, dus X = ( 3,1 1 5 ) .

7

Het snijpunt van C X met A B noemen we F .
Dan C X gaat door het midden van A B A F F B = 1 .
Verder: A F F B B D D C C E E A = 1 . Dus A F F B = 1 B D D C C E E A = 1 B D D C = E A C E .

8
a

Noem de hoekpunten van de driehoek A , B en C en de speciale verdeelpunten (zie plaatje), D , E en F . Dan geldt: A F F B B D D C C E E A = 4 2 3 3 2 4 = 1 , dus gaan de lijnen A D , B E en C F door één punt.

figuur bij opgave 38
b

Ga zo te werk als in a. Je moet dan positieve gehele getallen x , y en z zoeken zó, dat x 7 x y 7 y z 7 z = 1 .
Na wat proberen, zie je dat dat niet gaat. Je kunt ook wel bewijzen dat die x , y en z niet te vinden zijn als volgt.
Dan moet x y z = ( 7 x ) ( 7 y ) ( 7 z ) , dus
x y z = 343 + 7 x y + 7 x z + 7 y z 49 x 49 y 49 z x y z oftewel:
2 x y z = 343 + 7 x y + 7 x z + 7 y z 49 x 49 y 49 z .
De rechterkant van de laatste vergelijking is deelbaar door 7 , want alle termen zijn deelbaar door 7 . De linkerkant moet dan ook deelbaar zijn door 7 . Dit kan alleen als x , y of z = 7 .

Het meetkundige zwaartepunt van een driehoek
9

Leg massa's 1 in de hoekpunten!