Vectorvoorstelling van een lijn

In de figuur is $O$ de oorsprong. De plaatsvectoren van $A$ en $B$ zijn, net als in paragraaf Op zoek naar evenwicht, geschreven als $\vec{a}$ en $\vec{b}$ .
Verder is er nog een vector $\vec{v}$ getekend.

Teken op het werkblad de punten $X$ met $\vec{x} = \vec{a} + t \cdot \vec{v}$ voor alle mogelijke getallen $t$ .

Teken op het werkblad de punten $X$ met $\vec{x} = \vec{b} + t \cdot \vec{v}$ voor alle mogelijke getallen $t$ .

Teken op het werkblad de punten $X$ met $\vec{x} = \vec{b} + t \cdot \vec{a}$ voor alle mogelijke getallen $t$ .

In onderdeel a krijg je de lijn door $A$ evenwijdig met de vector $\vec{v}$ , in b de lijn door $B$ evenwijdig met de vector $\vec{v}$ en in c de lijn door $B$ evenwijdig met de vector $\vec{a}$ .

Door in $\vec{x} = \vec{p} + t \cdot \vec{q}$ alle mogelijke getallen voor $t$ in te vullen, krijg je de plaatsvectoren van alle punten op de lijn $k$ door $P$ evenwijdig met $\vec{q}$ .
We noemen $\vec{x} = \vec{p} + t \cdot \vec{q}$ een vectorvoorstelling van $k$ .
We noemen in deze schrijfwijze $\vec{p}$ de startvector (of ook wel steunvector) en $\vec{q}$ de richtingsvector van $k$ .

Het plaatje naast het theorieblok staat ook op het werkblad.

Teken op het werkblad de lijnen met vectorvoorstelling:

$\vec{x} = \vec{p} + \vec{q} + t \cdot \vec{q}$	$\vec{x} = 2 \vec{p} + t \cdot \vec{q}$
$\vec{x} = \vec{p} + t \cdot ‐ \vec{q}$	$\vec{x} = \vec{p} + t \cdot 2 \vec{q}$

Welke vectorvoorstellingen uit a zijn een vectorvoorstelling van $k$ ? Hoe komt het dat je in die gevallen dezelfde lijn krijgt (terwijl de vectorvoorstelling er anders uitziet)?

Tijdens een onderdeel van de vlootschouw zijn drie schepen in actie. De schepen $A$ en $B$ varen met constante snelheid en richting (niet dezelfde). Schip $C$ heeft van de leiding de opdracht gekregen op elk moment precies midden tussen de schepen $A$ en $B$ in te varen (om esthetische redenen). $A_{0}$ en $B_{0}$ zijn de startposities van $A$ en $B$ ; $A_{1}$ en $B_{1}$ de posities van $A$ en $B$ na $1$ minuut, enzovoort.

Zoek uit waar schip $C$ zich na $1$ , $2$ , $3$ , $...$ minuten bevindt. Geef die plaatsen op het werkblad aan met $C_{1}$ , $C_{2}$ , $C_{3}$ , $...$ . De plaats $C_{0}$ is al aangegeven.

Het ziet er naar uit dat schip $C$ zich over een rechte lijn beweegt. We kunnen dit inzien door gebruik te maken van vectoren.
Er is een oorsprong gekozen. De plaatsvector van $A_{0}$ noemen we ${\vec{a}}_{0}$ en die van $B_{0}$ noemen we ${\vec{b}}_{0}$ , de snelheidsvector van schip $A$ noemen we $\vec{v}$ en die van schip $B$ $\vec{w}$ .

Druk de plaatsvector van het punt waar schip $A$ zich op tijdstip $t$ bevindt uit in $t$ . Doe dat ook voor de schip $B$ .

Nu kun je ook de plaatsvector waar $C$ zich op tijdstip $t$ bevindt in $t$ uitdrukken.

Doe dat. Je krijgt zo een vectorvoorstelling van een lijn. Welke vector is startvector? En welke vector richtingsvector?

Veronderstel dat $B$ twee keer zo snel gaat als $A$ en dat de richtingen waarin ze varen loodrecht op elkaar staan.
Hoeveel keer zo snel (exact) gaat $C$ als $A$ ?

Een richtingsvector van lijn $A B$ in de figuur is $\vec{b} - \vec{a}$ .
Dus $\vec{x} = \vec{a} + t \cdot (\vec{b} - \vec{a})$ is een vectorvoorstelling van lijn $A B$ .

Ga dat na.

Waar liggen de punten $X$ met als je voor $t$ alleen getallen neemt met $0 \leq t \leq 1$ ? En als je voor $t$ alleen getallen neemt met $t \leq 0$ ?

Van welke lijn is $\vec{x} = \vec{b} + t \cdot (\vec{b} - \vec{a})$ een vectorvoorstelling?

Door de regels voor het rekenen met vectoren te gebruiken, kun je $\vec{x} = \vec{a} + t \cdot (\vec{b} - \vec{a})$ herschrijven als: $\vec{x} = (1 - t) \cdot \vec{a} + t \cdot \vec{b}$ , ofwel $\vec{x} = s \cdot \vec{a} + t \cdot \vec{b}$ , met $s + t = 1$ .

Ga dat na.

Een vectorvoorstelling van lijn $A B$ is: $\vec{x} = \vec{a} + t \cdot (\vec{b} - \vec{a})$
ook wel: $\vec{x} = s \cdot \vec{a} + t \cdot \vec{b}$ , met $s + t = 1$ .

Een parametervoorstelling van een lijn

In het vervolg werken we in een rooster, met daarin een $x$ -as en $y$ -as. Elk punt in het vlak kan worden aangeven door een tweetal getallen (een getallenpaar). Het getekende punt in het rooster heeft eerste coördinaat $‐ 2$ en tweede coördinaat $1$ ; we noteren het als $(‐ 2,1)$ .
Een vector geven we ook met een getallenpaar, maar dan verticaal genoteerd. Zo geven we de getekende vector aan met $(\begin{matrix} 3 \\ ‐ 1 \end{matrix})$ . De getallen $3$ en $‐ 1$ noemen we de kentallen van de vector.

De plaatsvector van het punt $(a, b)$ is $(\begin{matrix} a \\ b \end{matrix})$ .

In het rooster is een aantal vectoren getekend. Verder is een roosterhokje oker gemaakt.

Geef de kentallen van de vier vectoren en bereken van elke vector de exacte lengte.

Het oker hokje wordt verplaatst over vectoren van de vorm $k \cdot \vec{v} + m \cdot \vec{w}$ , waarbij $k$ en $m$ gehele getallen zijn.

Geef op het werkblad met oker aan welke hokjes bereikt worden.

Ontbind de vectoren $\vec{a}$ en $\vec{b}$ in componenten in de richtingen van $\vec{v}$ en $\vec{w}$ en geef de getallen $k$ en $m$ zó dat $\vec{a} = k \cdot \vec{v} + m \cdot \vec{w}$ , respectievelijk $\vec{b} = k \cdot \vec{v} + m \cdot \vec{w}$ .
Je kunt het werkblad gebruiken.

$\vec{v} = (\begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix})$ en $\vec{w} = (\begin{matrix} ‐ 1 \\ ‐ 2 \end{matrix})$

Teken de vectoren $\vec{v}$ , $\vec{w}$ en $\vec{v} + \vec{w}$ .
Wat zijn de kentallen van $\vec{v} + \vec{w}$ ?

Teken $2 \cdot \vec{v}$ .
Wat zijn de kentallen van $2 \cdot \vec{v}$ ?

Voorbeeld:

Als $\vec{a} = (\begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix})$ en $\vec{b} = (\begin{matrix} ‐ 1 \\ 2 \end{matrix})$ , dan
$2 \vec{a} - 3 \vec{b} = (\begin{matrix} 2 \cdot 2 - 3 \cdot ‐ 1 \\ 2 \cdot 3 - 3 \cdot 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 7 \\ 0 \end{matrix})$ .

Als je een vector met een getal vermenigvuldigt, moet je beide kentallen met dat getal vermenigvuldigen.
Als je twee vectoren optelt, moet je de kentallen plaatsgewijs optellen.
In formules:
Als $\vec{v} = (\begin{matrix} a \\ b \end{matrix})$ en $\vec{w} = (\begin{matrix} c \\ d \end{matrix})$ en $k$ een getal, dan:
$\vec{v} + \vec{w} = (\begin{matrix} a + c \\ b + d \end{matrix})$ en $k \cdot \vec{v} = (\begin{matrix} k \cdot a \\ k \cdot b \end{matrix})$ .

Op tijdstip $t = 0$ wordt vanuit het punt $P (0,1)$ een kogel afgeschoten.
De kogel beweegt in een rechte lijn, per seconde $5$ eenheden in de $x$ -richting en $2$ eenheden in de $y$ -richting. Na $t$ seconden is de kogel in $X_{t}$ .

Er geldt: $\vec{O X_{t}} = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix})$ , dus $X_{t} = (5 t, 1 + 2 t)$ .

Ga dat na.

Ergens tussen $t = 2$ en $t = 3$ komt de kogel tegen de wand (de lijn $x = 14$ ).

Na hoeveel seconden precies? In welk punt?

Opmerking:

Het antwoord op b kun je ook als volgt vinden. De kogel komt op de wand als zijn eerste coördinaat $14$ is, dus $5 t = 14$ , dus $t = 2 \frac{4}{5}$ . Het punt waar de kogel zich dan bevindt, vind je door $t = 2 \frac{4}{5}$ in te vullen in $(5 t,1 + 2 t)$ . Je vindt het punt $(14,6 \frac{3}{5})$ .

We noemen $(x, y) = (0,1) + t \cdot (5,2)$ of $(x, y) = (5 t,1 + 2 t)$ een parametervoorstelling (pv) van de lijn waarlangs de kogel uit de vorige opgave beweegt. We noemen $t$ de parameter.
We schrijven de pv ook wel als: ${\begin{cases} x = 5 t \\ y = 1 + 2 t \end{cases}$ .

Voor elke waarde van $t$ krijg je een punt van de lijn en bij elk punt van de lijn is er een waarde van $t$ te vinden waarvoor je dat punt krijgt.

Teken in een rooster de punten $A (‐ 2,1)$ en $B (1,2)$ .

Geef een pv van de lijn $A B$ .

Het punt $(‐ 17, ‐ 4)$ ligt op lijn $A B$ .

Hoe zie je dat met behulp van de pv van lijn $A B$ ?

Een punt van de lijn $A B$ is $(‐ 2 + 3 t,1 + t)$ . Als je in b een andere pv hebt gegeven, controleer dan dat deze pv ook goed is.

Voor welke waarde van $t$ is $(‐ 2 + 3 t,1 + t)$ een punt van de $x$ -as? En voor welke waarde van $t$ een punt van de $y$ -as?
Wat zijn dus de coördinaten van de snijpunten van lijn $A B$ met de $x$ -as en de $y$ -as?

$k$ is de lijn met pv $(x, y) = (2,1) + t (1, ‐ 2) = (2 + t,1 - 2 t)$ en $m$ de lijn met pv $(x, y) = (2,0) + t (‐ 2,4) = (2 - 2 t,4 t)$ .

Teken de lijnen $k$ en $m$ in een rooster, door eerst wat punten van die lijnen te berekenen.

De lijnen $k$ en $m$ zijn evenwijdig. Dit kun je aan de pv van die lijnen zien.

Hoe?

Geef een pv van de lijn door $(2,3)$ evenwijdig aan $k$ en $m$ .

Teken de lijn met pv $(x, y) = (0,4) + t (‐ 1,2)$ .

De lijn die je in d getekend hebt is $m$ . Verschillende pv's kunnen dus dezelfde lijn voorstellen.

We zeggen dat twee vectoren, beide niet $\vec{0}$ , (onderling) afhankelijk zijn als ze dezelfde of tegengestelde richting hebben, oftewel veelvouden van elkaar zijn.

Opmerking:

In het plaatje zijn $\vec{v}$ en $\vec{w}$ afhankelijk, $\vec{u}$ en $\vec{w}$ niet.

Voor welk getal $a$ zijn de vectoren $(\begin{matrix} a \\ 2 \end{matrix})$ en $(\begin{matrix} 2 \\ 4 \end{matrix})$ afhankelijk?
Voor welk getal $b$ zijn de vectoren $(\begin{matrix} b \\ ‐ 8 \end{matrix})$ en $(\begin{matrix} 2 \\ 4 \end{matrix})$ afhankelijk?

Voor welk getal $a$ zijn de vectoren $(\begin{matrix} a \\ ‐ 2 \end{matrix})$ en $(\begin{matrix} 2 \\ 5 \end{matrix})$ afhankelijk?
Voor welk getal $b$ zijn de vectoren $(\begin{matrix} b \\ 7 \end{matrix})$ en $(\begin{matrix} 2 \\ 5 \end{matrix})$ afhankelijk?

Stelling
$(\begin{matrix} a \\ b \end{matrix})$ en $(\begin{matrix} c \\ d \end{matrix})$ zijn afhankelijk $\Leftrightarrow a d - b c = 0$ .

Ga na dat bovenstaande juist is in de gevallen van opgave 49.

Bewijs bovenstaande bewering.

Voorbeeld:

Zie figuur.

Een pv van de lijn door $A (3,3)$ en $B (2,0)$ vind je zo.
Een richtingsvector is $\vec{B A} = (\begin{matrix} 3 - 2 \\ 3 - 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 3 \end{matrix})$ .
Een vectorvoorstelling is: $(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 3 \end{matrix})$ .
Een pv is dan: $(x, y) = (2,0) + t (1,3)$ ofwel: ${\begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 3 t \end{matrix}$ .
Gegeven is lijn $p$ met pv $(x, y) = (0,1) + t (3,1)$ .
Een pv van de lijn $n$ door $A (3,3)$ evenwijdig met $p$ is:
$(x, y) = (3,3) + t (3,1)$ .
Je kunt voor $p$ en $n$ dezelfde richtingsvectoren nemen.

Lijn $k$ snijdt de $x$ -as in $(3,0)$ en de $y$ -as in $(0,2)$ .

Geef een pv van $k$ .

$m$ gaat door $A (2,2)$ en is evenwijdig met $k$ .

Geef een pv van $m$ .

Bereken de coördinaten van de snijpunten van $m$ met de $x$ -as en de $y$ -as.

In opgave 26 heb je gezien: $\frac{1}{2} (\vec{a} + \vec{b})$ is plaatsvector van het midden van $A B$ . Hieruit kunnen we het volgende concluderen.

Het midden van lijnstuk $A B$ met $A (a_{1}, a_{2})$ en $B (b_{1}, b_{2})$ is het punt $(\frac{1}{2} a_{1} + \frac{1}{2} b_{1}, \frac{1}{2} a_{2} + \frac{1}{2} b_{2})$ .

Gegeven zijn de punten $A (2,0)$ , $B (6,4)$ en $C (0,10)$ .

Geef een pv van de zwaartelijn uit $C$ van driehoek $A B C$ .