Vectorvoorstelling van een lijn
1

In de figuur is O de oorsprong. De plaatsvectoren van A en B zijn, net als in paragraaf Op zoek naar evenwicht, geschreven als a en b .
Verder is er nog een vector v getekend.

a

Teken op het werkblad de punten X met x = a + t v voor alle mogelijke getallen t .

b

Teken op het werkblad de punten X met x = b + t v voor alle mogelijke getallen t .

c

Teken op het werkblad de punten X met x = b + t a voor alle mogelijke getallen t .

In onderdeel a krijg je de lijn door A evenwijdig met de vector v , in b de lijn door B evenwijdig met de vector v en in c de lijn door B evenwijdig met de vector a .

Door in x = p + t q alle mogelijke getallen voor t in te vullen, krijg je de plaatsvectoren van alle punten op de lijn k door P evenwijdig met q .
We noemen x = p + t q een vectorvoorstelling van k .
We noemen in deze schrijfwijze p de startvector (of ook wel steunvector) en q de richtingsvector van k .

2

Het plaatje naast het theorieblok staat ook op het werkblad.

a

Teken op het werkblad de lijnen met vectorvoorstelling:

x = p + q + t q

x = 2 p + t q

x = p + t q

x = p + t 2 q

b

Welke vectorvoorstellingen uit a zijn een vectorvoorstelling van k ? Hoe komt het dat je in die gevallen dezelfde lijn krijgt (terwijl de vectorvoorstelling er anders uitziet)?

3

Tijdens een onderdeel van de vlootschouw zijn drie schepen in actie. De schepen A en B varen met constante snelheid en richting (niet dezelfde). Schip C heeft van de leiding de opdracht gekregen op elk moment precies midden tussen de schepen A en B in te varen (om esthetische redenen). A 0 en B 0 zijn de startposities van A en B ; A 1 en B 1 de posities van A en B na 1  minuut, enzovoort.

a

Zoek uit waar schip C zich na 1 , 2 , 3 , ... minuten bevindt. Geef die plaatsen op het werkblad aan met C 1 , C 2 , C 3 ,... . De plaats C 0 is al aangegeven.

Het ziet er naar uit dat schip C zich over een rechte lijn beweegt. We kunnen dit inzien door gebruik te maken van vectoren.
Er is een oorsprong gekozen. De plaatsvector van A 0 noemen we a 0 en die van B 0 noemen we b 0 , de snelheidsvector van schip A noemen we v en die van schip B w .

b

Druk de plaatsvector van het punt waar schip A zich op tijdstip t bevindt uit in t . Doe dat ook voor de schip B .

Nu kun je ook de plaatsvector waar C zich op tijdstip t bevindt in t uitdrukken.

c

Doe dat. Je krijgt zo een vectorvoorstelling van een lijn. Welke vector is startvector? En welke vector richtingsvector?

d

Veronderstel dat B twee keer zo snel gaat als A en dat de richtingen waarin ze varen loodrecht op elkaar staan.
Hoeveel keer zo snel (exact) gaat C als A ?

4

Een richtingsvector van lijn A B in de figuur is b a .
Dus x = a + t ( b a ) is een vectorvoorstelling van lijn A B .

a

Ga dat na.

b

Waar liggen de punten X met als je voor t alleen getallen neemt met 0 t 1 ? En als je voor t alleen getallen neemt met t 0 ?

c

Van welke lijn is x = b + t ( b a ) een vectorvoorstelling?

Door de regels voor het rekenen met vectoren te gebruiken, kun je x = a + t ( b a ) herschrijven als: x = (1 t ) a + t b , ofwel x = s a + t b , met s + t = 1 .

d

Ga dat na.

Een vectorvoorstelling van lijn A B is: x = a + t ( b a )
ook wel: x = s a + t b , met s + t = 1 .

Een parametervoorstelling van een lijn

In het vervolg werken we in een rooster, met daarin een x -as en y -as. Elk punt in het vlak kan worden aangeven door een tweetal getallen (een getallenpaar). Het getekende punt in het rooster heeft eerste coördinaat 2 en tweede coördinaat 1 ; we noteren het als ( 2,1 ) .
Een vector geven we ook met een getallenpaar, maar dan verticaal genoteerd. Zo geven we de getekende vector aan met ( 3 1 ) . De getallen 3 en 1 noemen we de kentallen van de vector.

De plaatsvector van het punt ( a , b ) is ( a b ) .

5

In het rooster is een aantal vectoren getekend. Verder is een roosterhokje oker gemaakt.

a

Geef de kentallen van de vier vectoren en bereken van elke vector de exacte lengte.

Het oker hokje wordt verplaatst over vectoren van de vorm k v + m w , waarbij k en m gehele getallen zijn.

b

Geef op het werkblad met oker aan welke hokjes bereikt worden.

c

Ontbind de vectoren a en b in componenten in de richtingen van v en w en geef de getallen k en m zó dat a = k v + m w , respectievelijk b = k v + m w .
Je kunt het werkblad gebruiken.

6

v = ( 2 3 ) en w = ( 1 2 )

a

Teken de vectoren v , w en v + w .
Wat zijn de kentallen van v + w ?

b

Teken 2 v .
Wat zijn de kentallen van 2 v ?

Voorbeeld:

Als a = ( 2 3 ) en b = ( 1 2 ) , dan
2 a 3 b = ( 2 2 3 1 2 3 3 2 ) = ( 7 0 ) .

Als je een vector met een getal vermenigvuldigt, moet je beide kentallen met dat getal vermenigvuldigen.
Als je twee vectoren optelt, moet je de kentallen plaatsgewijs optellen.
In formules:
Als v = ( a b ) en w = ( c d ) en k een getal, dan:
v + w = ( a + c b + d ) en k v = ( k a k b ) .

7

Op tijdstip t = 0 wordt vanuit het punt P ( 0,1 ) een kogel afgeschoten.
De kogel beweegt in een rechte lijn, per seconde 5 eenheden in de x -richting en 2 eenheden in de y -richting. Na t seconden is de kogel in X t .

Er geldt: O X t = ( 0 1 ) + t ( 5 2 ) , dus X t = ( 5 t , 1 + 2 t ) .

a

Ga dat na.

Ergens tussen t = 2 en t = 3 komt de kogel tegen de wand (de lijn x = 14 ).

b

Na hoeveel seconden precies? In welk punt?

Opmerking:

Het antwoord op b kun je ook als volgt vinden. De kogel komt op de wand als zijn eerste coördinaat 14 is, dus 5 t = 14 , dus t = 2 4 5 . Het punt waar de kogel zich dan bevindt, vind je door t = 2 4 5 in te vullen in ( 5 t ,1 + 2 t ) . Je vindt het punt ( 14,6 3 5 ) .

We noemen ( x , y ) = ( 0,1 ) + t ( 5,2 ) of ( x , y ) = ( 5 t ,1 + 2 t ) een parametervoorstelling (pv) van de lijn waarlangs de kogel uit de vorige opgave beweegt. We noemen t de parameter.
We schrijven de pv ook wel als: { x = 5 t y = 1 + 2 t .

Voor elke waarde van t krijg je een punt van de lijn en bij elk punt van de lijn is er een waarde van t te vinden waarvoor je dat punt krijgt.

8
a

Teken in een rooster de punten A ( 2,1 ) en B ( 1,2 ) .

b

Geef een pv van de lijn A B .

Het punt ( 17, 4 ) ligt op lijn A B .

c

Hoe zie je dat met behulp van de pv van lijn A B ?

Een punt van de lijn A B is ( 2 + 3 t ,1 + t ) . Als je in b een andere pv hebt gegeven, controleer dan dat deze pv ook goed is.

d

Voor welke waarde van t is ( 2 + 3 t ,1 + t ) een punt van de x -as? En voor welke waarde van t een punt van de y -as?
Wat zijn dus de coördinaten van de snijpunten van lijn A B met de x -as en de y -as?

9

k is de lijn met pv ( x , y ) = ( 2,1 ) + t ( 1, 2 ) = ( 2 + t ,1 2 t ) en m de lijn met pv ( x , y ) = ( 2,0 ) + t ( 2,4 ) = ( 2 2 t ,4 t ) .

a

Teken de lijnen k en m in een rooster, door eerst wat punten van die lijnen te berekenen.

De lijnen k en m zijn evenwijdig. Dit kun je aan de pv van die lijnen zien.

b

Hoe?

c

Geef een pv van de lijn door ( 2,3 ) evenwijdig aan k en m .

d

Teken de lijn met pv ( x , y ) = ( 0,4 ) + t ( 1,2 ) .

De lijn die je in d getekend hebt is m . Verschillende pv's kunnen dus dezelfde lijn voorstellen.

We zeggen dat twee vectoren, beide niet 0 , (onderling) afhankelijk zijn als ze dezelfde of tegengestelde richting hebben, oftewel veelvouden van elkaar zijn.

Opmerking:

In het plaatje zijn v en w afhankelijk, u en w niet.

10
a

Voor welk getal a zijn de vectoren ( a 2 ) en ( 2 4 ) afhankelijk?
Voor welk getal b zijn de vectoren ( b 8 ) en ( 2 4 ) afhankelijk?

b

Voor welk getal a zijn de vectoren ( a 2 ) en ( 2 5 ) afhankelijk?
Voor welk getal b zijn de vectoren ( b 7 ) en ( 2 5 ) afhankelijk?

Stelling
( a b ) en ( c d ) zijn afhankelijk a d b c = 0 .

11
a

Ga na dat bovenstaande juist is in de gevallen van opgave 49.

b

Bewijs bovenstaande bewering.

Voorbeeld:

Zie figuur.

  1. Een pv van de lijn door A ( 3,3 ) en B ( 2,0 ) vind je zo.
    Een richtingsvector is A B = ( 3 2 3 0 ) = ( 1 3 ) .
    Een vectorvoorstelling is: ( x y ) = ( 2 0 ) + t ( 1 3 ) .
    Een pv is dan: ( x , y ) = ( 2,0 ) + t ( 1,3 ) ofwel: { x = 2 + t y = 3 t .

  2. Gegeven is lijn p met pv ( x , y ) = ( 0,1 ) + t ( 3,1 ) .
    Een pv van de lijn n door A ( 3,3 ) evenwijdig met p is:
    ( x , y ) = ( 3,3 ) + t ( 3,1 ) .
    Je kunt voor p en n dezelfde richtingsvectoren nemen.

12

Lijn k snijdt de x -as in ( 3,0 ) en de y -as in ( 0,2 ) .

a

Geef een pv van k .

m gaat door A ( 2,2 ) en is evenwijdig met k .

b

Geef een pv van m .

c

Bereken de coördinaten van de snijpunten van m met de x -as en de y -as.

In opgave 26 heb je gezien: 1 2 ( a + b ) is plaatsvector van het midden van A B . Hieruit kunnen we het volgende concluderen.

Het midden van lijnstuk A B met A ( a 1 , a 2 ) en B ( b 1 , b 2 ) is het punt ( 1 2 a 1 + 1 2 b 1 , 1 2 a 2 + 1 2 b 2 ) .

13

Gegeven zijn de punten A ( 2,0 ) , B ( 6,4 ) en C ( 0,10 ) .

Geef een pv van de zwaartelijn uit C van driehoek A B C .