Vectorvoorstelling van een lijn
1
a

De punten X vormen de lijn door A evenwijdig met de vector v .

b

De punten X vormen de lijn door B evenwijdig met de vector v .

c

De punten X vormen de lijn door B evenwijdig met de vector a .

2
a

Zie figuur, in alle gevallen krijg je de figuur hieronder links, behalve in het geval in de eerste rij rechts. Dan krijg je de figuur hieronder rechts.

b

Alleen de tweede niet.
x = p + q + t q = p + ( t + 1 ) q
x = p + t q = p + t q
x = p + t 2 q = p + 2 t q
En als t alle mogelijke waarden aanneemt, dan t + 1 , t en 2 t ook.

3
a
b

x = a 0 + t v , x = b 0 + t w

c

x = 1 2 ( a 0 + t v + b 0 + t w ) = 1 2 ( a 0 + b 0 ) + t 1 2 ( v + w ) , startvector 1 2 ( a 0 + b 0 ) en richtingsvector 1 2 ( v + w ) .

d

1 2 5 , zie figuur, want v + w is 5 keer zo lang als v .

4
a

Als je voor t = 0 invult, krijg je de plaatsvector van A en als je voor t = 1 invult, krijg je de plaatsvector van B . Omdat je een vectorvoorstellng van een rechte lijn hebt, is het er een van lijn A B .

b

Tussen A en B ; alle punten ‘rechts’ (niet aan de kant van B ) op de lijn A B .

c

Van de lijn A B .

d

-

Een parametervoorstelling van een lijn
5
a

a = ( 2 5 ) , b = ( 1 6 ) , v = ( 1 0 ) , w = ( -3 3 )
lengte 29 , 37 , 1 , 18 = 3 2

b

Zie figuur links bij opgave 45.

c

a = 3 v + 1 2 3 w , b = 7 v + 2 w

6
a

( 1 1 ) , zie rechter figuur.

figuur bij opgave 44
figuur bij opgave 45
b

( 4 6 )

7
a

-

b

t = 2 4 5 in ( 14,6 3 5 )

8
a

-

b

( x , y ) = ( 2 + 3 t ,1 + t ) , maar er zijn nog vele andere antwoorden mogelijk.
We komen daar op terug.

c

y = 1 + t = 4 als t = 5 , dan x = 2 + 3 5 = 17

d

t = 1 , t = 2 3 . Met de x -as: ( 5,0 ) , met de y -as: ( 0,1 2 3 ) .

9
a
b

De bijbehorende vectorvoorstellingen hebben richtingsvectoren ( 1 2 ) en ( 2 4 ) en die zijn veelvouden van elkaar.

c

( x , y ) = ( 2,3 ) + t ( 1, 2 ) of ( x , y ) = ( 2,3 ) + t ( 1,2 ) of ....

d

Dezelfde lijn als m .

10
a

a = 1 , b = 4

b

a = 4 5 , b = 2 4 5

11
a

-

b

Dan ( a b ) = t ( c d ) voor een zekere waarde van t .
We veronderstellen dat c 0 (anders d 0 en dan gaat het net zo).
Dan zie je door de bovenste kentallen te vergelijken: t = a c , dus (onderste kentallen): b = a c d b c = a d .
Omgekeerd (we veronderstellen weer dat c 0 ): als b c = a d , neem dan t = a c , dan ( a b ) = t ( c d ) .

12
a

( x , y ) = ( 3,0 ) + t ( 3, 2 ) of ( x , y ) = ( 0,2 ) + t ( 3, 2 ) of ....

b

( x , y ) = ( 2 , 2 ) + t ( 3 , -2 ) of ....

c

( x , y ) = ( 2,2 ) + t ( 3, 2 ) = ( 2 + 3 t ,2 2 t ) is pv van m .
Snijpunt met de x -as: dan y = 0 2 2 t = 0 t = 1 .
Dit geeft het punt ( 5,0 ) .
Snijpunt met de y -as: dan x = 0 2 + 3 t = 0 t = 2 3 .
Dit geeft het punt ( 0,3 1 3 ) .

13

Het midden van A B is M ( 4,2 ) , dus een richtingsvector van de zwaartelijn is ( 4 0 2 10 ) = ( 4 8 ) oftewel ( 1 2 ) . Een pv is dan: ( x , y ) = ( 0,10 ) + t ( 1, 2 ) .