Regels voor het rekenen met vectoren

Voor alle getallen $k$ en $m$ en alle vectoren $\vec{a}$ , $\vec{b}$ en $\vec{c}$ geldt:

$\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$	$k \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = k \cdot \vec{a} + k \cdot \vec{b}$
$\vec{a} + (\vec{b} + \vec{c}) = (\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c}$	$k \cdot (m \cdot \vec{a}) = (k \cdot m) \cdot \vec{a}$

$0$ is een getal en $\vec{0}$ is de vector met lengte $0$ .
$‐ \vec{v}$ is vector die tegengestelde gericht is aan $\vec{v}$ en dezelfde lengte heeft als $\vec{v}$ .
Er geldt: $\vec{v} + ‐ \vec{v} = \vec{0}$ .
In plaats van $\vec{v} + ‐ \vec{w}$ schrijven we wel $\vec{v} - \vec{w}$ .
$\vec{A B}$ is de vector die het punt $A$ naar het punt $B$ verplaatst.
Er geldt: $\vec{A B} = \vec{b} - \vec{a}$ , zie figuur 1.
Als er een oorsprong $O$ is gekozen, noemen we $\vec{O P}$ de plaatsvector van het punt $P$ . In plaats van $\vec{O P}$ schrijven we ook wel $\vec{p}$ .
We zeggen dat twee vectoren, beide niet $\vec{0}$ , (onderling) afhankelijk zijn als ze dezelfde of tegengestelde richting hebben.

In figuur 2 is de vector $\vec{v}$ ontbonden in zijn componenten langs de lijnen $a$ en $b$ , dat wil zeggen: de twee (unieke) vectoren $\vec{a}$ evenwijdig aan lijn $a$ ,en $\vec{b}$ evenwijdig aan lijn $b$ zijn bepaald zó, dat $\vec{v} = \vec{a} + \vec{b}$ .

figuur 1

figuur 2

figuur 3

In figuur 3 is de vector $\vec{O P}$ in zijn componenten $\vec{u}$ en $\vec{v}$ langs de lijnen $O A$ en $O B$ ontbonden.
Als $A P = 6$ en $B P = 4$ , dan volgt uit gelijkvormigheid:
$\vec{O P} = \frac{2}{5} \cdot \vec{O A} + \frac{3}{5} \cdot \vec{O B}$ .
De lengte van de vector $\vec{v}$ noteren we met $| \vec{v} |$ .

Het zwaartepunt van massa’s

De massa’s $a_{1}$ , $a_{2}$ , … , $a_{n}$ bevinden zich op de plaatsen
$A_{1}$ , $A_{2}$ , … , $A_{n}$ . Het zwaartepunt noemen we $Z$ .
Dan: $\vec{O Z} = \frac{a_{1}}{a} \vec{O A_{1}} + \frac{a_{2}}{a} \vec{O A_{2}} + ... + \frac{a_{n}}{a} \vec{O A_{n}}$ .
Hierbij is $a = a_{1} + a_{2} + ... + a_{n}$ .

Stelling van Ceva

In driehoek $A B C$ liggen punten $D$ , $E$ en $F$ op de zijden $B C$ , $C A$ en $A B$ , zie figuur 4. Dan komen de volgende twee dingen op hetzelfde neer.

figuur 4

figuur 5

$\frac{A F}{F B} \cdot \frac{B D}{D C} \cdot \frac{C E}{E A} = 1$
De lijnen $A D$ , $B E$ en $C F$ gaan door één punt.

Voorbeeld

In driehoek $A B C$ liggen punten $D$ , $E$ en $F$ op de zijden $B C$ , $C A$ en $A B$ . De lijnen $A D$ , $B E$ en $C F$ gaan door één punt, zie figuur 5. De lengte van $5$ van de $6$ stukken waarin de punten $D$ , $E$ en $F$ de zijden verdelen staan in het plaatje.

Voor de lengte van het zesde stuk geldt: $\frac{A F}{F B} \cdot \frac{B D}{D C} \cdot \frac{C E}{E A} = 1$ , dus: $\frac{3}{4} \cdot \frac{5}{C D} \cdot \frac{2}{3} = 1$ , dus $C D = 2 \frac{1}{2}$ .

Afspraak

figuur 6

Een (meetkundige) zwaartelijn van een driehoek verbindt een hoekpunt met het midden van de tegenoverliggende zijde, zie figuur 6.

Een speciaal geval van de stelling van Ceva is het volgende.

Stelling

De zwaartelijnen van een driehoek $A B C$ gaan door één punt, het meetkundig zwaartepunt $Z$ van de driehoek.
Het zwaartepunt verdeelt de zwaartelijnen in de verhouding $1 : 2$ .
Er geldt: $\vec{z} = \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c}$ .

Vectorvoorstelling van een lijn

Door in $\vec{x} = \vec{p} + t \cdot \vec{q}$ alle mogelijke getallen voor $t$ in te vullen, krijg je de plaatsvectoren van alle punten op de lijn $k$ door $P$ evenwijdig met $\vec{q}$ , als $\vec{q} \neq 0$ .
We noemen $\vec{x} = \vec{p} + t \cdot \vec{q}$ een vectorvoorstelling van $k$ , zie figuur 7.
We noemen in deze schrijfwijze $\vec{p}$ de startvector (of ook wel steunvector) en $\vec{q}$ de richtingsvector van $k$ .

figuur 7

figuur 8

Een vectorvoorstelling van lijn $A B$ is: $\vec{x} = \vec{a} + t \cdot (\vec{b} - \vec{a})$
ook wel: $\vec{x} = s \cdot \vec{a} + t \cdot \vec{b}$ , met $s + t = 1$ , zie figuur 8.

In een assenstelsel

Het inproduct $\vec{v} \cdot \vec{w}$ van twee vectoren $\vec{v} = (\begin{matrix} a \\ b \end{matrix})$ en
$\vec{w} = (\begin{matrix} c \\ d \end{matrix})$ is: $a c + b d$ .
Er geldt: als $\vec{v}$ en $\vec{w}$ beide niet $\vec{0}$ , dan $\vec{v} \cdot \vec{w} = 0 \Leftrightarrow \vec{v}$ en $\vec{w}$ staan loodrecht op elkaar.
Verder geldt: $\vec{v} \cdot \vec{v} = {| \vec{v} |}^{2}$ .
We noemen twee vectoren (beide niet de nulvector) afhankelijk als ze veelvoud van elkaar zijn.
$(\begin{matrix} a \\ b \end{matrix})$ en $(\begin{matrix} c \\ d \end{matrix})$ zijn afhankelijk $\Leftrightarrow a d - b c = 0$ , als $a$ en $b$ niet beide $0$ en $c$ en $d$ niet beide $0$ ).
Neem aan: $\vec{v} = (\begin{matrix} a \\ b \end{matrix})$ .

figuur 9

De vector die je krijgt door $\vec{v}$ over $90 °$ linksom te draaien, noemen we ${\vec{v}}_{L}$ ;
de vector die je krijgt door $\vec{v}$ over $90 °$ rechtsom te draaien, noemen we ${\vec{v}}_{R}$ , zie figuur 9.
Er geldt: ${\vec{v}}_{L} = (\begin{matrix} ‐ b \\ a \end{matrix})$ en ${\vec{v}}_{R} = (\begin{matrix} b \\ ‐ a \end{matrix})$ .

De punten $(1 + 3 t,2 + 4 t)$ vormen de rechte lijn door het punt $(1,2)$ met richtingsvector $(\begin{matrix} 3 \\ 4 \end{matrix})$ .
We schrijven ook wel:
${\begin{matrix} x = 1 + 3 t \\ y = 2 + 4 t \end{matrix}$ en noemen dit een parametervoorstelling van die lijn ( $t$ is de parameter).
De bijbehorende vectorvoorstelling is: $(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 3 \\ 4 \end{matrix})$ .
We geven nog enkele voorbeelden.

Voorbeelden

Gegeven zijn de punten $A (0,1)$ , $B (‐ 3,4)$ en $C (0, ‐ 2)$ .
Een parametervoorstelling van lijn $A B$ is bijvoorbeeld: $(x, y) = (0 - 3 t,1 + 3 t)$ .
Een parametervoorstelling van de lijn door $A$ evenwijdig met de lijn $B C$ is bijvoorbeeld: $(x, y) = (0 + 3 t,1 - 6 t)$ .
Een parametervoorstelling van de lijn door $A$ loodrecht op $B C$ is bijvoorbeeld: $(x, y) = (0 + 6 t,1 + 3 t)$ .

Neem aan: in de punten $A (0,1)$ , $B (‐ 3,4)$ en $C (0, ‐ 2)$ zitten massa’s $2$ , $3$ en $1$ .

De coördinaten van het zwaartepunt met dit massasysteem zijn: $(x, y) = (\frac{1}{3} \cdot 0 + \frac{1}{2} \cdot ‐ 3 + \frac{1}{6} \cdot 0, \frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot 4 + \frac{1}{6} \cdot ‐ 2) = (‐ 1 \frac{1}{2},2)$ .