1

De vectoren $\vec{p}$ en $\vec{q}$ staan ook op het werkblad.

a

Teken daarop de vectoren $\vec{r} = \vec{p} - \vec{q}$ en $\vec{s} = 2 \vec{p} + 2 \vec{q}$ .

b

Teken op het werkblad de lijnen $k$ en $m$ met vectorvoorstelling:
$k : \vec{x} = \vec{p} + t \cdot \vec{q}$ en $m : \vec{x} = \vec{s} + t \cdot \vec{p}$ .

Het snijpunt van $k$ en $m$ noemen we $T$ .

c

Bepaal de getallen $a$ en $b$ waarvoor geldt: $\vec{O T} = a \cdot \vec{p} + b \cdot \vec{q}$ .
Bewijs je antwoord.

We bekijken de componenten langs de lijnen $O U$ en $O V$ van $\vec{w}$ .

d

Het plaatje hiernaast staat ook op het werkblad. Construeer daarin die componenten.

Veronderstel dat $\vec{v} = 2 (\vec{u} + \vec{w})$ .

e

Druk die componenten uit in $\vec{u}$ en $\vec{v}$ .
Bewijs je antwoord.

2

Een punt $X$ maakt met constante snelheid een rechtlijnige beweging. Op tijdstip $t = 0$ is $X$ in $A (3, ‐ 3)$ en op tijdstip $t = 1$ in $P (2,4)$ . Een ander punt $Y$ maakt ook met constante snelheid een rechtlijnige beweging en is op tijdstip $t = 0$ in $(0,1)$ en op tijdstip $t = 1$ in $Q (3,4)$ .

a

Geef de coördinaten van $X$ en $Y$ op tijdstip $t$ .

b

Geef de grootte van de snelheidsvectoren waarmee $X$ en $Y$ bewegen.

Op $t = 0$ passeert $X$ de lijn $y = ‐ 3$ in $A$ .

c

Bereken op welk tijdstip $Y$ de lijn $y = ‐ 3$ passeert.
Het punt waar dit gebeurt noemen we $B$ .

Het snijpunt van de lijnen waarover $X$ en $Y$ bewegen noemen we $S$ .

d

Bereken de tweede coördinaat van $S$ met behulp van gelijkvormigheid van de driehoeken $P Q S$ en $A B S$ .

e

Bereken de tijdstippen waarop $X$ en $Y$ het punt $S$ passeren.

3

In de punten $A (‐ 6,0)$ , $B (3,0)$ en $C (2,6)$ zitten achtereenvolgens massa's $1$ , $2$ en $6$ .

a

Bereken de coördinaten van het massazwaartepunt exact.

Een deel van de massa in $B$ wordt naar $A$ overgebracht en wel zo dat het zwaartepunt van de drie massa's op de $y$ -as komt te liggen.

b

Bereken exact hoeveel massa er van $B$ naar $A$ is overgebracht.

4

In het plaatje is een homogene staaf met uiteinden $P$ en $Q$ getekend met een knik (in $O$ ).

Het stuk $O Q$ is twee keer zo lang als het stuk $O P$ .

a

Construeer het zwaartepunt $Z$ van de geknikte staaf.
Verklaar je werkwijze.

b

Druk $\vec{z}$ uit in $\vec{p}$ en $\vec{q}$ . Schrijf je berekening op.

5

In deze opgave bewijzen we dat de hoogtelijnen van een scherphoekige driehoek door één punt gaan met behulp van de stelling van Ceva.
In driehoek $A B C$ zijn de hoogtelijnen getekend. Zij verdelen de zijde in stukken van lengte $p$ , $q$ , $r$ , $s$ , $t$ en $u$ , verder zie plaatje.

a

Druk $p$ , $q$ , $r$ , $s$ , $t$ en $u$ uit in de lengten van de zijden $a$ , $b$ en $c$ van driehoek $A B C$ en de hoeken α, β en γ.

b

Bewijs nu met behulp van de stelling van Ceva dat de hoogtelijnen van driehoek $A B C$ door één punt gaan.

6

In een assenstelsel is een vlieger getekend.
Die heeft even lange diagonalen. De diagonaal (symmetrieas) $P R$ wordt door de diagonaal $Q S$ verdeeld in stukken die zich verhouden als $2 : 3$ , zie plaatje.
Er geldt: $P (10,11)$ en $R (8,25)$ .

Bereken de coördinaten van $S$ en $Q$ .
Schrijf je berekening op.

7

Gegeven is een veelhoek $A B C D E F G H$ . Deze veelhoek is ontstaan door uit vierkant $A B C D$ met zijde $4$ , het vierkant $H G F E$ met zijde $2$ weg te laten. Hierbij liggen $E$ en $H$ beide op $A D$ met $A H = D E$ . Zie de figuur.

Om het zwaartepunt van deze veelhoek te vinden, kan de veelhoek bijvoorbeeld worden verdeeld in drie rechthoeken die vervolgens worden opgevat als drie puntmassa’s. Het zwaartepunt van de drie puntmassa’s valt dan samen met het zwaartepunt van de veelhoek.

Teken in de figuur op het werkblad met behulp van vectoren de plaats van het zwaartepunt van de veelhoek. Licht je werkwijze toe.