1

a

b

c

$a = 1$ en $b = 2$ , want $\vec{p} + 2 \vec{q}$ krijg je uit: $k :$ $\vec{x} = \vec{p} + t \cdot \vec{q}$ door voor $t = 2$ te nemen en uit $m :$ $\vec{x} = \vec{s} + t \cdot \vec{p}$ door voor $t = -1$ te nemen.

d

De componenten zijn $\vec{x}$ en $\vec{y}$ .

e

$\vec{v} = 2 (\vec{u} + \vec{w}) \Leftrightarrow 2 \vec{w} = \vec{v} - 2 \vec{u} \Leftrightarrow \vec{w} = \frac{1}{2} \vec{v} - \vec{u}$ , dus $\vec{x} = \frac{1}{2} \vec{v}$ en $\vec{y} = ‐ \vec{u}$ .

2

a

$(x, y) = (3 - t, ‐ 3 + 7 t)$ en $(x, y) = (3 t,3 t + 1)$

b

$\sqrt{50} = 5 \sqrt{2}$ en $\sqrt{18} = 3 \sqrt{2}$

c

$3 t + 1 = ‐ 3 \Leftrightarrow t = ‐ 1 \frac{1}{3}$ , dus in $B (‐ 4, ‐ 3)$ .

d

De driehoeken $P Q S$ en $B A S$ zijn gelijkvormig, want $P Q$ en $A B$ zijn evenwijdig. Verder: $P Q = 1$ en $A B = 7$ , dus $y_{S} = 4 - \frac{1}{8} (y_{P} - y_{A}) = 3 \frac{1}{8}$ .

e

Voor het tijdstip $t$ waarop het punt $X$ $S$ passeert geldt: $‐ 3 + 7 t = 3 \frac{1}{8} \Leftrightarrow t = \frac{7}{8}$ .
(Je kunt ook zeggen: in $A$ op $t = 0$ en in $P$ op $t = 1$ , dus in $S$ op $t = \frac{7}{8}$ .)
Op $t = ‐ 1 \frac{1}{3}$ is $Y$ in $B$ en op $t = 1$ is $Y$ in $Q$ , dus op $t = 1 - \frac{1}{8} (1 + 1 \frac{1}{3}) = \frac{17}{24}$ in $S$ .

3

a

We nemen eerst de massa's in $A$ en $B$ samen tot een massa $3$ in in $O (0,0)$ . Het zwaartepunt ligt dus in het punt $P$ op lijnstuk $O C$ zó, dat $O P : P C = 2 : 1$ , dus $P$ is het punt $(1 \frac{1}{3},4)$ .
Of, met de stelling voorafgaand aan opgave 30:
het zwaartepunt is $(\frac{1}{9} \cdot ‐ 6 + \frac{2}{9} \cdot 3 + \frac{6}{9} \cdot 2, \frac{1}{9} \cdot 0 + \frac{2}{9} \cdot 0 + \frac{6}{9} \cdot 6) = (1 \frac{1}{3},4)$ .

b

Bij het overdragen van de massa blijft de $y$ -coördinaat van $Z$ gelijk, dus $Z = (0,4)$ .
Lijn $C Z$ snijdt de $x$ -as in $D (‐ 4,0)$ . Omdat $A D : D B = 2 : 7$ is de massa in $A$ nu $\frac{7}{9} \cdot 3 = 2 \frac{1}{3}$ . Er is dus massa $1 \frac{1}{3}$ van $B$ naar $A$ gebracht.
Of, met vectoren:
Stel massa in $A$ is $a$ , dan in $B$ massa $3 - a$ . Voor de $x$ -coördinaat van $Z$ geldt dan: $\frac{a}{9} \cdot ‐ 6 + \frac{3 - a}{9} \cdot 3 + \frac{6}{9} \cdot 2 = 0$ $\to$ ... $\to$ $a = 2 \frac{1}{3}$ . Er is dus massa $1 \frac{1}{3}$ van $B$ naar $A$ gebracht.

4

a

$M$ en $N$ zijn de middens van $O P$ en $O Q$ .
$Z$ ligt op lijnstuk $M N$ zó, dat $Z M = 2 \cdot Z N$ .

b

$\vec{O N} = \frac{1}{2} \vec{q}$ en $\vec{O M} = \frac{1}{2} \vec{p}$ .
$\vec{z} = \vec{n} + \frac{1}{3} \cdot (\vec{m} - \vec{n}) = \frac{1}{2} \cdot \vec{q} + \frac{1}{6} \cdot \vec{p} - \frac{1}{6} \cdot \vec{q} = \frac{1}{6} \cdot \vec{p} + \frac{1}{3} \cdot \vec{q}$

5

a

$p = b \cdot cos α$ , $q = c \cdot cos β$ , $r = a \cdot cos γ$ , $s = a \cdot cos β$ , $t = b \cdot cos γ$ , $u = c \cdot cos α$

b

Uit a volgt dat $p \cdot q \cdot r = s \cdot t \cdot u$ , want beide zijn gelijk aan $a \cdot b \cdot c \cdot cos α \cdot cos β \cdot cos γ$ .

6

Het snijpunt van de diagonalen noemen we $M$ .
Er geldt $\vec{m} = \vec{p} + \frac{3}{5} (\vec{r} - \vec{p}) = (\begin{matrix} 10 \\ 11 \end{matrix}) + \frac{3}{5} \cdot (\begin{matrix} ‐ 2 \\ 14 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 8 \frac{4}{5} \\ 19 \frac{2}{5} \end{matrix})$ .
$\vec{M Q}$ krijg je door $\frac{1}{2} (\vec{r} - \vec{p})$ een kwartslag rechtsom te draaien (want de diagonalen van de vlieger zijn even lang),
dus $\vec{M Q} = (\begin{matrix} 7 \\ 1 \end{matrix})$ en dan $\vec{M S} = (\begin{matrix} ‐ 7 \\ ‐ 1 \end{matrix})$ , dus:
$Q$ is $(8 \frac{4}{5} + 7,19 \frac{2}{5} + 1) = (15 \frac{4}{5},20 \frac{2}{5})$ en
$S$ is $(8 \frac{4}{5} - 7,19 \frac{2}{5} - 1) = (1 \frac{4}{5},18 \frac{2}{5})$ .

7

Zie de figuur hieronder.

$P$ is het midden van de rechthoek met hoekpunten $C$ , $D$ en $E$ . $Q$ is het midden van de rechthoek met hoekpunten $A$ , $B$ en $H$ . Als oorsprong kiezen we $O$ , het midden van het overblijvende blauwe stuk, een vierkant. $S$ is een roosterpunt.
De massa's van de rechthoeken en het vierkant zijn gelijk, dus het gevraagde zwaartepunt is het meetkundig zwaartepunt van driehoek $O P Q$ . Voor dat zwaartepunt $Z$ geldt: $\vec{z} = \frac{1}{3} (\vec{o} + \vec{p} + \vec{q}) = \frac{1}{3} (\vec{p} + \vec{q}) = \frac{1}{3} \vec{s}$ .
Dus $Z$ ligt op lijnstuk $O S$ zó, dat $S Z = 2 \cdot Z O$ .