Inleiding

Na de Middeleeuwen kwam in Europa het wetenschappelijke denken weer op gang. De oude Grieken werden bestudeerd, met name de werken van Archimedes. Allerlei problemen stonden in de belangstelling, meestal mechanische of meetkundig van aard.
Vaak kwamen de vragen neer op het berekenen van de steilte van een grafiek, de lengte van een grafiek of de oppervlakte onder een grafiek. Uiteindelijk is hier in de zeventiende eeuw een mooie theorie uit ontstaan: de differentiaal- en integraalrekening.

We stellen de drie typen vragen die hierboven werden genoemd voor het eenvoudige voorbeeld van de parabool $y = x^{2}$ .

Hoe steil loopt de parabool in het punt $(\frac{1}{2}, \frac{1}{4})$ ?
Hoe lang is de parabool tussen $(0,0)$ en $(1,1)$ ?
Hoe groot is de oppervlakte onder de parabool tussen
$x = 0$ en $x = 1$ ?

Dit soort vragen hoort thuis in de Analyse. In de zeventiende eeuw hielden zich maar enkele intellectuelen daarmee bezig. Tegenwoordig is dit een groot onderdeel van wiskunde B voor het vwo. Een groot verschil tussen toen en nu is de rekenkracht waarover we nu kunnen beschikken: computer, grafische rekenmachine. Dankzij deze snelle rekenapparatuur hebben wij niet de rekenproblemen van de wetenschappers van 3 à 4 eeuwen geleden. Zo kunnen wij gemakkelijk (?) antwoorden op de drie vragen over de parabool vinden. Maar dat zijn wel benaderingen. Het is belangrijk dat je leert hoe en vooral waarom die werken. In die benaderingsmethoden zit de sleutel tot de exacte antwoorden, en daar gaat het ons om. In dit hoofdstuk houden we ons met vragen van het eerste type bezig. De andere vragen komen in vwo5 en vwo6 aan bod.

Snelheid

Trajectcontrole is een methode die de overheid gebruikt om het naleven van de maximumsnelheid te controleren (uit Wikipedia). Neem aan: op twee punten die $1$ km van elkaar liggen wordt het tijdstip gemeten waarop een voertuig passeert. Er geldt een maximum snelheid van $120$ km/u.

Wat is de minimale tijd die een auto over die afstand moet doen om de maximum snelheidslimiet niet te overtreden?

Wat is er aan te merken op dit soort meting?

Een automobilist rijdt op de eerste $500$ m van het traject gemiddeld $150$ km/u.

Wat moet zijn gemiddelde snelheid op de tweede $500$ meter zijn om niet gesnapt te worden? ( $90$ km/u is niet het juiste antwoord!)

Twee foto's vanuit hetzelfde standpunt van dezelfde auto: stilstaand en rijdend. De rijdende auto werd gefotografeerd met een sluitertijd van $\frac{1}{15}$ sec. De auto is $4,36$ meter lang.

Op de rechter foto is de auto $30$ % langer.

Bereken de snelheid van de auto in km/u.

In opgave 1 en 2 worden snelheden gemeten.
Beide zijn gemiddelde snelheden. In opgave 2 heb je een goede benadering voor de snelheid op een bepaald moment, de momentane snelheid genoemd. Wij spreken meestal van groeisnelheid.
In dit hoofdstuk gaat het om het berekenen van groeisnelheid. Dat hoeft niet de snelheid van een auto (in km/u) te zijn, het kan ook de groeisnelheid van kapitaal (in euro per euro) zijn, of de snelheid waarmee een vat leeg loopt (in liter per minuut).