Gemiddelde helling

Drie meisjes hebben hetzelfde traject van $18$ km gewandeld. De wandeling heeft ze alle drie $3$ uur gekost. Hiernaast zijn de grafieken van die wandelingen getekend.

Wat kun je over de gemiddelde snelheden zeggen waarmee de wandelingen zijn afgelegd?

Het derde meisje heeft het eerste anderhalf uur met constante snelheid gelopen. Met welke? Het laatste anderhalf uur heeft ze ook met constante snelheid gelopen. Met welke snelheid?

Op welke momenten ongeveer liepen het eerste en het derde meisje even hard, denk je? Hoe heb je dat met behulp van de grafiek bepaald?

We bekijken de rit van een auto (auto1) vanaf een bepaald moment ( $t = 0$ ). Hiernaast en op het werkblad zie je de grafiek van de afstand $s$ (in meters) die de auto na $t$ sec heeft afgelegd. Er geldt: $s = t^{2}$ .

Heeft de auto een constante snelheid, gaat hij steeds sneller of gaat hij steeds langzamer rijden? Hoe zie je dat aan de grafiek?

Bepaal met behulp van de formule de gemiddelde snelheid op het tijdsinterval $[1,3]$ , dat wil zeggen de tijden $t$ , waarvoor $1 \leq t \leq 3$ .

Het punt op de grafiek met $t = 1$ noemen $A$ en het punt met $t = 3$ noemen we $B$ .

Wat is het verband tussen de gemiddelde snelheid op het interval $[1,3]$ en lijn $A B$ ?

Veronderstel dat de auto vanaf $t = 1$ met dezelfde snelheid zou zijn doorgereden als die hij op $t = 1$ had.

Teken op het werkblad zo goed mogelijk de grafiek die je dan krijgt.
Hoeveel meter zou de auto op $t = 5$ dan in totaal afgelegd hebben?

Een andere auto (auto2) rijdt met constante snelheid van $5 m/s$ . Zijn afgelegde afstand na $t$ seconden is $s_{2}$ .

Teken op het werkblad de grafiek van $s_{2}$ in dezelfde figuur als de grafiek van $s$ .

Op welk moment (ongeveer) reden beide auto's even snel? Hoe heb je dat tijdstip bepaald?

Je kunt je antwoord controleren met deze "GeoGebra-applet" .

Met het interval $[‐ 1,6]$ bedoelen we alle getallen $x$ met
$‐ 1 \leq x \leq 6$ .

De skipiste hieronder is vanaf het laagste punt verdeeld in horizontale stukken van $10$ m.

De hoogte noemen we $y$ , de horizontale afstand $x$ (beide in m).
Zoals je ziet neemt $y$ op de piste niet overal even snel toe.

Over $130$ meter horizontaal neemt de hoogte $65$ meter toe.

Hoeveel is dat gemiddeld per meter horizontaal?

Dat is de gemiddelde stijging van de hele piste.

Bepaal de gemiddelde stijging van het stukje piste tussen $x = 20$ en $x = 30$ .

Ook voor het stukje tussen $x = 50$ en $x = 60$ .
En voor het stukje tussen $x = 60$ en $x = 70$ .

Hoe steil ongeveer is de helling op de plaats waar de skiër zicht bevindt (zie plaatje); dat is dus bij $x = 65$ ?

Hiernaast is de groei van een zonnebloem in beeld gebracht.
De grafiek staat ook op het werkblad.
$t$ is de tijd in weken en $y$ de lengte in cm.
Gedurende een bepaalde periode was de groei nagenoeg constant.

Gedurende welke periode? Hoe heb je dat in de grafiek gevonden?

Bereken de gemiddelde groeisnelheid (in cm/week) van de zonnebloem van de tweede tot en met de zevende week (dat zijn zes weken!).

Op welk moment groeide de zonnebloem het snelst?
Hoe heb je dat antwoord in de grafiek gevonden?

Gegeven een functie $f$ . De gemiddelde helling van $f$ tussen $a$ en $b$ (of op het interval $[a, b]$ ) is: $\frac{f (b) - f (a)}{b - a}$ .
In plaats van gemiddelde helling spreken we ook van gemiddelde steilheid of van gemiddelde groeisnelheid.

De helling in een punt

Hieronder zie je de profielschets van een bergje getekend door een computer. We willen nauwkeurig weten hoe steil de berg is in het punt $P (2,2 \frac{1}{2})$ .

Controleer met een berekening dat de gemiddelde stijging van de berg tussen $A$ en $P$ gelijk is aan $1,25$ .
Hoe groot is de gemiddelde stijging tussen $P$ en $B$ ?

Deze twee gemiddeldes geven nog maar weinig informatie over de steilte van de berg in de onmiddellijke omgeving van $P$ .
Om die te vinden gaan we "inzoomen" op een omgeving van $P$ .

Het omkaderde deel in het linker plaatje is vergroot weergegeven in het rechter plaatje.

Hoe groot ongeveer is de gemiddelde stijging van de berg op het interval $[1,50; 2,50]$ in het rechter plaatje? Schrijf je berekening op.

Het inzoomen en vergroten herhalen we nog twee keer. Zodoende krijgen we een steeds beter beeld van de steilte van de berg ter plekke $P$ .

Bepaal in elk van de twee rechter plaatjes de gemiddelde stijging.

De grafiek in het laatste plaatje is bijna recht. Dit plaatje geeft daarom een goed beeld van de steilte van de berg ter plekke $P$ .

Hoe groot is die dus?

Opmerking:

Als je de grafiek van een functie op de grafische rekenmachine hebt getekend, kun je ook herhaald inzoomen op een bepaald punt van de grafiek.
Zoek uit hoe dat op jouw GR werkt.

Hieronder is een grafiek getekend. In vier punten $A$ , $B$ , $C$ en $D$ is de grafiek sterk uitvergroot.

De stukjes grafiek zien er dan praktisch als een rechte lijn uit. Dat zie je in de vier plaatjes naast de grafiek.

Waar liggen de punten $A$ , $B$ , $C$ en $D$ op de grafiek?
Wat zijn de $x$ -coördinaten van $A$ , $B$ , $C$ en $D$ ongeveer?

Meet hoe steil de grafiek is in elk van deze punten.

Opmerking:

De raaklijn aan de grafiek in een punt is de lijn die in dat punt het beste aansluit bij de grafiek. Dat zie je beter naarmate je meer op dit punt inzoomt.
Dat kan bijvoorbeeld met de GR of in GeoGebra.
Dit is nog geen precieze definitie van de raaklijn. Dat komt nog wel.

Op de grafiek hieronder is het punt $P$ aangegeven. Er zijn zes lijnen getekend door $P$ , genummerd 1 t/m 6.

Welk van de lijnen is de raaklijn?

Wat is de steilte van de grafiek in het punt $P$ ?

In GeoGebra applet "auto1" is de grafiek van auto1 met daarop het punt $A (1,1)$ getekend. Met de schuifknop kun je de lijn door $A$ draaien.

Wanneer sluit deze lijn zo goed mogelijk aan bij de grafiek van auto1? Je kunt inzoomen.

Groeisnelheid

figuur 1

figuur 2

Een voorwerp beweegt. De afgelegde weg $s$ is een functie van de tijd $t$ . Neem voor het gemak maar even aan dat $s$ in meters en $t$ in seconden is gegeven. We willen de snelheid van het voorwerp op een zeker moment bepalen.
Als de grafiek van $s$ een rechte lijn is, zoals in figuur 1, dan is dat niet zo moeilijk: de snelheid is dan de richtingscoëfficiënt oftewel de helling van die lijn. Een snelheid van $3$ m/s betekent dat de afgelegde afstand $3$ keer zo snel toeneemt als de tijd. (In $t$ seconden wordt $3 t$ meter afgelegd.)
Als de grafiek gebogen is, zoals in figuur 2, is het veel moeilijker: de snelheid verandert dan steeds. In de grafiek kun je de snelheid op bijvoorbeeld $t = 1$ bepalen door in het punt bij $t = 1$ de helling van de raaklijn te meten.
Dat de snelheid op $t = 1$ bijvoorbeeld $2$ is, betekent dat op dat moment de afstand $2$ keer zo snel toeneemt als de tijd.
Plaats, tijd en snelheid zijn begrippen uit de natuurkunde.
In de wiskunde werken we meestal met functies zonder fysische betekenis. We willen het begrip (gemiddelde) snelheid ook op dit soort functies overdragen en spreken over de (gemiddelde) groeisnelheid van een functie.

Hiernaast en op het werkblad is de grafiek van een functie $f$ getekend.

Lees de gemiddelde groeisnelheid van $f$ op het interval $[‐ 1,1]$ af uit de grafiek.

De toename van x noteren we met $Δ x$ (en de toename van $y$ met $Δ y$ ).
Op het interval $[‐ 1,1]$ is $Δ x = 2$ en $Δ y = 6$ .
De gemiddelde groeisnelheid van $y$ op $[‐ 1,1]$ is $\frac{Δ y}{Δ x} = 3$ .
Deze is gelijk aan de gemiddelde helling van de grafiek op het interval $[‐ 1,1]$ .

Geef $Δ x$ en $Δ y$ in de grafiek aan.

Bepaal $Δ x$ en $Δ y$ op $[‐ 1,2]$ en bereken daarmee de gemiddelde groeisnelheid van $y$ op $[‐ 1,2]$ .

Hoe kun je (zonder te rekenen) in de grafiek zien dat de gemiddelde groeisnelheid van $y$ op $[‐ 1,1]$ groter is dan de gemiddelde groeisnelheid op $[‐ 2,1]$ ?

$g$ is de functie die door $(0,0)$ gaat en constante groeisnelheid $1$ heeft.

Teken de grafiek van $g$ op het werkblad en geef een formule voor $g$ .

Bepaal de punten van de grafiek van $f$ waar de groeisnelheid van $f$ even groot is als de groeisnelheid van $g$ .
Hoe heb je dat gedaan?

Een formule voor $f (x)$ is: $f (x) = ‐ x^{3} + 4 x$ .
Waarschijnlijk heb je bij vraag f het punt op de grafiek van $f$ gezocht waar die even steil loopt als de grafiek van $g$ .
Dat gebeurt ongeveer in de punten met eerste coördinaat $‐ 1$ en $1$ .

Je kunt dat controleren met de GR door inzoomen.
Je kunt dit onderdeel ook in een "GeoGebra-applet" bekijken.
Met de schuifknop kun je de lijn $y = x$ naar het punt $(1,3)$ schuiven.
Als je uitvergroot zie je dat beide grafieken ongeveer even steil lopen.

Als je ver genoeg inzoomt op de grafiek van $f$ in $(1,3)$ , zie je (bijna) geen verschil meer tussen de grafiek van $f$ en de lijn door $(1,3)$ met helling $1$ . De helling van $f$ in $(1,3)$ is $1$ (ongeveer) en de lijn $y = x + 2$ is een vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van $f$ in dat punt.

Je kunt de helling van de grafiek in een punt goed 'zien' op de GR door in te zoomen. Een berekening van die helling kun je maken door de gemiddelde groeisnelheid te bepalen op een heel klein interval waar de eerste coördinaat van dat punt in ligt.

Bereken met behulp van de formule van $f (x)$ de gemiddelde groeisnelheid op het interval $[0,99; 1,01]$ .

De groeisnelheid van de functie $f$ in het punt met eerste coördinaat $a$ is de helling van de raaklijn aan de grafiek in dat punt.
Als je een formule van $f (x)$ hebt, dan kun je de helling in het punt met eerste coördinaat $a$ goed benaderen door de gemiddelde groei van de functie op een klein interval waar $a$ in ligt uit te rekenen.
In plaats van groeisnelheid kun je ook spreken van helling of van steilheid.

Opmerking:

Met de $Δ$ -notatie kunnen we dit ook zó zeggen: $Δ x = b - a$ en $Δ y = f (b) - f (a)$ en dus $\frac{f (b) - f (a)}{b - a} = \frac{Δ y}{Δ x}$ .

De gemiddelde helling van een functie $f$ op het interval $[a, b]$ is een quotiënt van twee verschillen namelijk $Δ y = f (b) - f (a)$ gedeeld door $Δ x = b - a$ .
Daarom noemt men $\frac{f (b) - f (a)}{b - a}$ en $\frac{Δ y}{Δ x}$ ook wel een differentiequotiënt.

Bekijk de GeoGebra-applet "groeisnelheid" .
Hierin kun je met de schuifknop het linker en rechter eindpunt van het interval instellen waarover je de groeisnelheid van de functie $f$ met $f (x) = ‐ x^{3} + 4 x$ uit opgave 11 wil bepalen.

Bepaal met de applet de gemiddelde groeisnelheid van $f$ op het interval $[‐ 2,6; ‐ 2,4]$ .

Het getal uit a is een goede benadering voor de helling van een raaklijn aan de grafiek van $f$ .

In welk punt?

In de applet kun je de formule van de functie $f$ veranderen door in het invoerveld te schrijven: $f (x) = …$ .
In opgave 4f heb je het moment gezocht waarop auto1 een snelheid van $5$ m/s had.

Controleer met de applet of het antwoord (ongeveer) klopt.
(Daarvoor moet je $f (x) = x^{2}$ nemen.)
Licht je antwoord toe.

Rekenschema

In een assenstelsel met eenheid $1$ cm is de lijn met vergelijking $y = x + 2$ getekend. Op tijdstip $0$ ligt een strook papier langs de $y$ -as. De tijd $t$ rekenen we in seconden. We trekken de strook met een snelheid van $1$ cm/s naar rechts. De oppervlakte van het gebied tussen de strook, de lijn $y = x + 2$ , de $x$ -as en de $y$ -as op tijdstip $t$ noemen we $B (t)$ (in ${cm}^{2}$ ).

Laat zien dat $B (t) = \frac{1}{2} t^{2} + 2 t$ .

(hint)

Het vlakdeel is een trapezium. Verdeel dit in twee driehoeken met hoogte

t

Op het werkblad is de grafiek van $B$ getekend.

Meet in de figuur de groeisnelheid van $B$ op tijdstip $t = 2$ , dat is met hoeveel ${cm}^{2}$ $B$ dan per seconde toeneemt.
Meet ook hoe snel $B$ groeit op $t = 3$ (in ${cm}^{2} /s$ ).

Bereken de gemiddelde groeisnelheid van $B$ op $[3; 3,1]$ .

Gegeven de functie $B$ met $B (t) = \frac{1}{2} t^{2} + 2 t$ .
Om de helling van de grafiek van $B$ in het punt met $t = 3$ te benaderen, kun je een rekenschema gebruiken:

$t = 3$	$\to$	$B = 10,5$
$\underline{t = 3,1}$	$\to$	$\underline{B = 11,005}$
$Δ t = 0,1$	$\to$	$Δ B = 0,505$

dus $\frac{Δ B}{Δ t} = 5,05$ .

We werken verder met de functie $B$ uit opgave 13.

Bereken $\frac{Δ B}{Δ t}$ als $t$ toeneemt van $3$ tot $3,01$ .
Ook als $t$ (negatief) toeneemt van $3$ tot $2,999$ (in dit geval $Δ t = ‐ 0,001$ ).

Als $t$ toeneemt van $3$ tot $3 + Δ t$ , dan neemt $B$ toe van $10,5$ tot $\dots$ (uitdrukken in $Δ t$ ), dus $\frac{Δ B}{Δ t} = 5 + \frac{1}{2} Δ t$ .

Reken dat na.

Ga na dat deze uitdrukking in overeenstemming is met wat je in a berekend hebt.

Tot welk getal nadert $5 + \frac{1}{2} Δ t$ als $Δ t$ nadert tot $0$ ?

Vier keer hetzelfde gezegd voor het geval $t = 3$ .

$\frac{Δ B}{Δ t}$ nadert tot de limiet $5$ , als $Δ t$ nadert tot $0$ ;

Anders geschreven: $\lim_{Δ t \to 0} \frac{Δ B}{Δ t} = 5$ .
De oppervlakte $B$ neemt toe met snelheid $5 {cm}^{2} /s$ .
De groeisnelheid van $B$ is $5 {cm}^{2} /s$ .
De raaklijn aan de grafiek van $B$ heeft richtingscoëfficiënt $5$ .

Opmerking:

Je kunt de waarde van de groeisnelheid voor $t = 3$ bepalen met een rekenschema:

met een concrete waarde voor $Δ t$ , bijvoorbeeld $0,01$ :

$t = 3$	$\to$	$B = 10,5$
$\underline{t = 3,01}$	$\to$	$\underline{B = 10,05005}$
$Δ t = 0,01$	$\to$	$Δ B = 0,05005$

dus $\frac{Δ B}{Δ t} = 5,005 \approx 5$ .
Je krijgt een benadering.

voor willekeurige waarde voor $Δ t$ :

$t = 3$	$\to$	$B = 10,5$
$\underline{t = 3 + Δ t}$	$\to$	$\underline{B = 10,5 + 5 Δ t + \frac{1}{2} {(Δ t)}^{2}}$
$Δ t$	$\to$	$Δ B = 5 Δ t + \frac{1}{2} {(Δ t)}^{2}$

$\frac{Δ B}{Δ t} = 5 + \frac{1}{2} Δ t$ en dit nadert tot $5$ als $Δ t$ nadert tot $0$ .
Je krijgt de exacte waarde.

Bereken de groeisnelheid van $B (t) = \frac{1}{2} t^{2} + 2 t$ als $t = 8$ en als $t = 2$ .
Doe dat met een rekenschema met willekeurige $Δ t$ .

De helling van een functie $f$ in een punt met eerste coördinaat $a$ bereken je met een rekenschema:

$x = a$	$\to$	$y = f (a)$
$\underline{x = a + Δ x}$	$\to$	$\underline{y = f (a + Δ x)}$
$Δ x$	$\to$	$Δ y = f (a + Δ x) - f (a)$

De gemiddelde helling is dan $\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{f (a + Δ x) - f (a)}{Δ x}$ .

De helling van de functie $f$ in het punt met eerste coördinaat $a$ is: $\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (a + Δ x) - f (a)}{Δ x}$ of $\lim_{x \to a} \frac{f (x) - f (a)}{x - a}$ .

Dat de twee limieten hierboven op hetzelfde neerkomen zie je als je $a + Δ x$ vervangt door $x$ .
Als $Δ x \to 0$ , dan $x \to a$ .

Voorbeeld:

Gegeven is de functie $f$ met $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + 2 x$ (dat is de functie van opgave 13).
De helling in het punt met eerste coördinaat $3$ is:
$\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (3 + Δ x) - f (3)}{Δ x} =$ $\lim_{Δ x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(Δ x)}^{2} + 5 Δ x}{Δ x} =$
$\lim_{Δ x \to 0} \frac{1}{2} Δ x + 5 = 5$ of anders:

de helling in het punt met eerste coördinaat $3$ is:
$\lim_{x \to 3} \frac{f (x) - f (3)}{x - 3} =$ $\lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{2} x^{2} + 2 x - 10 \frac{1}{2}}{x - 3} =$
$\lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{2} (x + 7) (x - 3)}{x - 3} = \lim_{x \to 3} \frac{1}{2} (x + 7) = 5$

Voorbeeld

Gegeven is de functie $f$ met $f (x) = x^{2} - 3 x + 3$ .
Dan is de helling in het punt met eerste coördinaat $5$ :
$\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (5 + Δ x) - f (5)}{Δ x} =$
$\lim_{Δ x \to 0} \frac{{(Δ x + 5)}^{2} - 3 (Δ x + 5) - 13}{Δ x} =$
$\lim_{Δ x \to 0} \frac{{(Δ x)}^{2} + 7 Δ x}{Δ x} =$

$\lim_{Δ x \to 0} Δ x + 7 = 7$ .
Of:

$\lim_{x \to 5} \frac{f (x) - f (5)}{x - 5} =$
$\lim_{x \to 5} \frac{x^{2} - 3 x - 10}{x - 5}$ $= \lim_{x \to 5} \frac{(x - 5) (x + 2)}{x - 5} = \lim_{x \to 5} x + 2 = 7$ .

In opgave 4 heb je het punt van de grafiek van $s = t^{2}$ bepaald (ongeveer) waar de snelheid $5$ m/s is (dus de helling van de raaklijn $5$ ).
Dit is in het punt met eerste coördinaat $2 \frac{1}{2}$ .

Bereken in dat punt de helling van de raaklijn.
Gebruik de limiet-notatie.