1

a

Alle drie hebben gemiddelde snelheid $18 : 3 = 6$ km/u.

b

$12 : 1 \frac{1}{2} = 8$ km/u ; $6 : 1 \frac{1}{2} = 4$ km/u.

c

$t = \frac{1}{2}$ en $t = 2$ . Met behulp van de raaklijn aan grafiek 1. Die moet evenwijdig zijn aan een van de stukken van grafiek 3.

2

a

Steeds sneller. De grafiek gaat steeds steiler lopen.

b

$8 : 2 = 4$ m/s

c

De gemiddelde snelheid op $[1,3]$ is gelijk aan de richtingscoëfficiënt van $A B$ .

d

Teken de raaklijn in $(1,1)$ aan de grafiek ; $9$ m, zie figuur.

e

Teken een rechte lijn door $(0,0)$ en $(1,5)$ , zie figuur.

f

$t = 2 \frac{1}{2}$ . Zoek de raaklijn die evenwijdig is aan de tweede grafiek, zie figuur.

figuur bij opgave 4d

figuur bij opgave 4e,f

3

a

$0,5$

b

$0,6$

c

$1$ ; $0,5$

d

Tussen de $0,6$ en $0,7$ .

4

a

Als $4 \leq t \leq 6$ (of iets ruimer). Daar is de grafiek nagenoeg recht.

b

$\frac{210 - 25}{6} = 30,8$ cm/week

c

Als $t = 6$ . Daar loopt de raaklijn het steilst.

5

a

$\frac{3}{4}$

b

$\frac{2,80 - 2,20}{2,50 - 1,50} = 0,6$

c

$0,8$ ; $1,1$

d

Ongeveer $1,1$ .

6

a

punt	$A$	$B$	$C$	$D$
$x$ -coördinaat	$1$	$5$	$2,5$	$‐ 1,5$

b

punt	$A$	$B$	$C$	$D$
steilte	$0$	$‐ 1$	$‐ 0,5$	$3$

7

a

Lijn 3.

b

$0,6$

8

Als $a = 2$ .

9

a

$6 : 2 = 3$

b

c

$Δ x = 3$ en $Δ y = 3$ , de groeisnelheid is $\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{3}{3} = 1$ .

d

Het groene lijnstuk loopt steiler dan het blauwe.

e

Zie de gele lijn in de figuur: $g (x) = x$ .

f

De punten op de grafiek van $f$ zoeken waar de raaklijn evenwijdig aan de grafiek van $g$ is. Dat is ongeveer in de punten met eerste coördinaat $1$ en $‐ 1$ .

g

-

h

$f (0,99) = 2,989701$ en $f (1,01) = 3,009699$ , dus $Δ x = 0,02$ en $Δ y = 0,019998$ , dus $\frac{Δ y}{Δ x} = 0,9999$ .

10

a

$‐ 14,76$

b

Met eerste coördinaat $‐ 2 \frac{1}{2}$ .

c

Het tijdstip was $t = 2 \frac{1}{2}$ . De gemiddelde helling bepaald op $[2,49; 2,51]$ .

11

a

Oppervlakte driehoek $O A B = \frac{1}{2} \cdot t \cdot 2 = t$ en
oppervlakte driehoek $A B C = \frac{1}{2} \cdot t \cdot (t + 2) = \frac{1}{2} t^{2} + t$ .

b

$4$ ; $5$

c

$5,05$

12

a

$Δ t = 0,01$ ,dan $Δ B = 0,05005$ , dus $\frac{Δ B}{Δ t} = 5,005$ .
$Δ t = ‐ 0,001$ , dan $Δ B = ‐ 0,0049995$ ,
dus $\frac{Δ B}{Δ t} = 4,9995$ .

b

$10,5 + 5 Δ t + \frac{1}{2} {(Δ t)}^{2}$ , dus $\frac{Δ B}{Δ t} = 5 + \frac{1}{2} Δ t$

c

Als je $Δ t = 0,01$ neemt, dan $\frac{Δ B}{Δ t} = 5 + \frac{1}{2} Δ t = 5 + 0,005 = 5,005$ .
Als je $Δ t = ‐ 0,001$ neemt, dan $\frac{Δ B}{Δ t} = 5 + \frac{1}{2} Δ t = 5 + ‐ 0,0005 = 4,9995$ .
Klopt.

d

Tot $5$ .

13

$t = 8$	$\to$	$B = 48$
$\underline{t = 8 + Δ t}$	$\to$	$\underline{B = 48 + 10 Δ t + \frac{1}{2} {(Δ t)}^{2}}$
$Δ t$	$\to$	$Δ B = 10 Δ t + \frac{1}{2} {(Δ t)}^{2}$

$\frac{Δ B}{Δ t} = 10 + \frac{1}{2} Δ t$ , groeisnelheid $10$ .

$t = 2$	$\to$	$B = 6$
$\underline{t = 2 + Δ t}$	$\to$	$\underline{B = 6 + 4 Δ t + \frac{1}{2} {(Δ t)}^{2}}$
$Δ t$	$\to$	$Δ B = 4 Δ t + \frac{1}{2} {(Δ t)}^{2}$

$\frac{Δ B}{Δ t} = 4 + \frac{1}{2} Δ t$ , groeisnelheid $4$ .

14

$\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (2 \frac{1}{2} + Δ x) - f (2 \frac{1}{2})}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0} \frac{{(2 \frac{1}{2} + Δ x)}^{2} - 6 \frac{1}{4}}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0} \frac{{(Δ x)}^{2} + 5 Δ x}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0} Δ x + 5 = 5$

of
$\lim_{t \to 2 \frac{1}{2}} \frac{t^{2} - 6 \frac{1}{4}}{t - 2 \frac{1}{2}} = \lim_{t \to 2 \frac{1}{2}} \frac{(t - 2 \frac{1}{2}) (t + 2 \frac{1}{2})}{t - 2 \frac{1}{2}} = \lim_{t \to 2 \frac{1}{2}} (t + 2 \frac{1}{2}) = 5$ .